​

رویکرد راس [ ویرایش ]

روش دیگر برای حل تبدیل مختصات دکارتی به باری مرکزی، نوشتن رابطه به شکل ماتریس است.

{\displaystyle \mathbf {R} {\boldsymbol {\lambda }}=\mathbf {r} }با{\mathbf {R}}=\left({\begin{matrix}{\mathbf {r}}_{1}|{\mathbf {r}}_{2}|{\mathbf {r}}_{ 3}\end{ماتریس}}\راست)و{\boldsymbol {\lambda }}=\left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)^{\بالا }، یعنی

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\lambda _ {1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}برای به دست آوردن راه حل نرمال شده منحصر به فرد، باید شرط را اضافه کنیم\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=1. بنابراین مختصات باریسنتریک حل سیستم خطی هستند

{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{matrix}}\right) {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}=\left({\begin{matrix}1\\x\\ y\end{ماتریس}}\راست)}که هست

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{pmatrix}}={\frac {1}{2A}}{\ شروع{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}&y_{2}-y_{3}&x_{3}-x_{2}\\x_{3}y_{1}- x_{1}y_{3}&y_{3}-y_{1}&x_{1}-x_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}&y_{1}- y_{2}&x_{2}-x_{1}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\x\\y\end{pmatrix}}}

جایی که

{\displaystyle 2A=\det(1|R)=x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}( y_{1}-y_{2})}

دو برابر مساحت علامت مثلث است. تفسیر ناحیه مختصات باریسنتریک را می توان با اعمال قانون کرامر در این سیستم خطی بازیابی کرد.

تبدیل بین مختصات باریسنتریک و سه خطی [ ویرایش ]

نقطه ای با مختصات سه خطی x : y : z دارای مختصات باری مرکزی است ax : by : cz که در آن a , b , c طول ضلع مثلث هستند. برعکس، یک نقطه با باری مرکزی{\displaystyle \lambda _{1}:\lambda _{2}:\lambda _{3}}سه خطی دارد{\displaystyle \lambda _{1}/a:\lambda _{2}/b:\lambda _{3}/c.}

معادلات در مختصات باریسنتریک [ ویرایش ]

سه ضلع a، b، c به ترتیب دارای معادلات هستند [9]

{\displaystyle \lambda _{1}=0،\quad \lambda _{2}=0،\quad \lambda _{3}=0.}

معادله خط اویلر مثلث [9] است .

{\displaystyle {\begin{vmatrix}\lambda _{1}&\lambda _{2}&\lambda _{3}\\1&1&1\\\tan A&\tan B&\tan C\end{vmatrix}}= 0.}

با استفاده از تبدیل قبلی بین مختصات باری مرکزی و سه خطی، معادلات مختلف دیگر که در مختصات #فرمول های سه خطی داده شده اند را می توان بر حسب مختصات باری مرکزی بازنویسی کرد.

فاصله بین نقاط [ ویرایش ]

بردار جابجایی دو نقطه نرمال شده{\displaystyle P=(p_{1},p_{2},p_{3})}و{\displaystyle Q=(q_{1},q_{2},q_{3})}است [10]

{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=(p_{1}-q_{1},p_{2}-q_{2},p_{3}-q_{3}).}

فاصلهدبینپوس، یا طول بردار جابجایی{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=(x,y,z)}است [9] [10]

{\displaystyle d^{2}=\left|PQ\right|^{2}=-a^{2}yz-b^{2}zx-c^{2}xy={\frac {1}{ 2}}[x^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})+y^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{ 2})+z^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})].}

که در آن a، b، c طول اضلاع مثلث هستند. معادل دو عبارت آخر از{\displaystyle x+y+z=0,}که نگه می دارد زیرا{\displaystyle x+y+z=(p_{1}-q_{1})+(p_{2}-q_{2})+(p_{3}-q_{3})=(p_{1} +p_{2}+p_{3})-(q_{1}+q_{2}+q_{3})=1-1=0.}

مختصات باری مرکزی یک نقطه را می توان بر اساس فاصله d i تا سه رأس مثلث با حل معادله محاسبه کرد.

{\displaystyle \left({\begin{matrix}-c^{2}&c^{2}&b^{2}-a^{2}\\-b^{2}&c^{2}-a^ {2}&b^{2}\\1&1&1\end{matrix}}\right){\boldsymbol {\lambda }}=\left({\begin{matrix}d_{A}^{2}-d_{B }^{2}\\d_{A}^{2}-d_{C}^{2}\\1\end{ماتریس}}\راست).}

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

دو راه حل برای پازل ریختن آب 8، 5 و 3 لیتری با استفاده از یک نمودار باریسنتریک. ناحیه زرد نشان دهنده ترکیباتی است که با کوزه ها قابل دستیابی هستند. مسیرهای قرمز و آبی نقطه چین انتقال قابل ریختن را نشان می دهند. هنگامی که یک راس روی مثلث نقطه چین قرار می گیرد، 4 L اندازه گیری شده است.

تعیین مکان با توجه به مثلث [ ویرایش ]

اگرچه مختصات باریسنتریک بیشتر برای رسیدگی به نقاط داخل مثلث استفاده می شود، اما می توان از آنها برای توصیف نقطه ای خارج از مثلث نیز استفاده کرد. اگر نقطه داخل مثلث نباشد، باز هم می‌توانیم از فرمول‌های بالا برای محاسبه مختصات باری‌مرکزی استفاده کنیم. با این حال، از آنجایی که نقطه خارج از مثلث است، حداقل یکی از مختصات، فرض اصلی ما را نقض می کند.\lambda _{{1...3}}\geq 0. در واقع، با توجه به هر نقطه ای در مختصات دکارتی، می توانیم از این واقعیت برای تعیین اینکه این نقطه نسبت به مثلث کجاست استفاده کنیم.

اگر نقطه ای در داخل مثلث قرار داشته باشد، تمام مختصات باریسنتریک در بازه باز قرار دارند. (0،1). اگر نقطه ای روی یک یال مثلث قرار داشته باشد اما در یک راس نباشد، یکی از ناحیه ها مختصات\lambda_{1...3}(یکی که با راس مخالف مرتبط است) صفر است، در حالی که دو مورد دیگر در بازه باز قرار دارند(0،1).اگر نقطه روی یک راس قرار گیرد، مختصات مربوط به آن راس برابر با 1 و بقیه برابر با صفر است. در نهایت، اگر نقطه خارج از مثلث باشد، حداقل یک مختصات منفی است.

جمع بندی،

نقطه\mathbf {r}اگر و فقط اگر داخل مثلث قرار دارد {\displaystyle 0<\lambda _{i}<1\;\forall \;i{\text{ در }}{1،2،3}}.

\mathbf {r}در لبه یا گوشه مثلث قرار دارد اگر{\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1\;\forall \;i{\text{ در }}{1,2,3}}و{\displaystyle \lambda _{i}=0\;{\text{، برای برخی من در }}{1،2،3}}.

در غیر این صورت،\mathbf {r}خارج از مثلث قرار دارد

به طور خاص، اگر نقطه ای در ضلع دور یک خط قرار داشته باشد، مختصات باریسنتریک نقطه ای در مثلث که روی خط نیست، مقدار منفی خواهد داشت.

درونیابی در یک شبکه بدون ساختار مثلثی [ ویرایش ]

سطح (قسمت بالایی) از درونیابی خطی بر روی یک شبکه مثلثی معین (قسمت پایین) در صفحه x , y به دست می آید . سطح به یک تابع z = f ( x , y ) تقریب می زند، که فقط مقادیر f را در رئوس شبکه داده می شود.

اگرf({\mathbf {r}}_{1})، f({\mathbf {r}}_{2})، f({\mathbf {r}}_{3})مقادیر شناخته شده هستند، اما مقادیرfدر داخل مثلث تعریف شده توسط{\mathbf {r}}_{1}،{\mathbf {r}}_{2}،{\mathbf {r}}_{3}ناشناخته است، آنها را می توان با استفاده از درون یابی خطی تقریب زد . مختصات باریسنتریک روشی مناسب برای محاسبه این درونیابی فراهم می کند. اگر\mathbf {r}نقطه ای در داخل مثلث با مختصات باری مرکزی است\lambda _{{1}}،\lambda _{{2}}،{\displaystyle \lambda _{3}}، سپس

f({\mathbf {r}})\approx \lambda _{1}f({\mathbf {r}}_{1})+\lambda _{2}f({\mathbf {r}}_{ 2})+\lambda _{3}f({\mathbf {r}}_{3})

به طور کلی، با توجه به هر شبکه بدون ساختار یا شبکه چند ضلعی ، می توان از این نوع تکنیک برای تقریب مقدار استفاده کرد.fدر تمام نقاط، تا زمانی که مقدار تابع در تمام رئوس مش مشخص باشد. در این حالت مثلث های زیادی داریم که هر کدام مربوط به قسمت متفاوتی از فضا هستند. برای درون یابی یک تابعfدر یک نقطه\mathbf {r}، ابتدا باید مثلثی پیدا شود که حاوی\mathbf {r}. برای انجام این کار،\mathbf {r}به مختصات باری مرکزی هر مثلث تبدیل می شود. اگر مثلثی پیدا شود که مختصات آن برآورده شود0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \text{ در } 1،2،3، سپس نقطه در آن مثلث یا لبه آن قرار دارد (در قسمت قبل توضیح داده شد). سپس ارزشf(\mathbf{r})همانطور که در بالا توضیح داده شد می توان درون یابی کرد.

این روش ها کاربردهای زیادی دارند، مانند روش اجزای محدود (FEM).

ادغام بر روی یک مثلث یا چهار وجهی [ ویرایش ]

انتگرال یک تابع بر روی دامنه مثلث می تواند برای محاسبه در یک سیستم مختصات دکارتی آزار دهنده باشد. به طور کلی باید مثلث را به دو نیمه تقسیم کرد و به هم ریختگی بزرگی در پی خواهد داشت. در عوض، تغییر متغیرها به هر دو مختصات باریسنتریک، به عنوان مثال، آسان تر است .\lambda _{1}،\lambda _{2}. تحت این تغییر متغیرها،

{\displaystyle \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =2A\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{ 2}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {r} _{2}+(1-\lambda _{1}-\lambda _ {2})\mathbf {r} _{3})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}}

جایی کهآمساحت مثلث است . این نتیجه از این واقعیت ناشی می شود که یک مستطیل در مختصات باریسنتریک با یک چهارضلعی در مختصات دکارتی مطابقت دارد، و نسبت مساحت اشکال مربوطه در سیستم مختصات مربوطه با2A. به طور مشابه، برای ادغام بر روی یک چهار وجهی، به جای شکستن انتگرال به دو یا سه قطعه جداگانه، می توان به مختصات چهار وجهی سه بعدی تحت تغییر متغیرها تغییر داد.

{\displaystyle \int \int _{T}f(\mathbf {r} )\ d\mathbf {r} =6V\int _{0}^{1}\int _{0}^{1-\lambda _{3}}\int _{0}^{1-\lambda _{2}-\lambda _{3}}f(\lambda _{1}\mathbf {r} _{1}+\lambda _ {2}\mathbf {r} _{2}+\lambda _{3}\mathbf {r} _{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{ 3})\mathbf {r} _{4})\ d\lambda _{1}\ d\lambda _{2}\ d\lambda _{3}}جایی که{\displaystyle V}حجم چهار وجهی است.

نمونه هایی از نکات ویژه [ ویرایش ]

سه رأس یک مثلث دارای مختصات باری مرکز هستند1:0:0،{\displaystyle 0:1:0}، و{\displaystyle 0:0:1}. [9]

مرکز دارای باری مرکزی است{\displaystyle 1/3:1/3:1/3.}[9]

مرکز مدار یک مثلث ABC دارای مختصات باری مرکزی است [9] [10] [11] [12]

{\displaystyle a^{2}(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):\;b^{2}(a^{2}-b^{2}+c ^{2}):\;c^{2}(a^{2}+b^{2}-c^{2})}

{\displaystyle =\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C=(1-\cos B\cos C):(1-\cos C\cos A):(1-\cos A\cos B).}

که در آن a , b , c به ترتیب طول یال BC , CA , AB مثلث هستند.

مرکز متعامد دارای مختصات باریسنتریک است [ 9 ] [10]

{\displaystyle (a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):\;(-a^{2 }+b^{2}+c^{2})(a^{2}+b^{2}-c^{2}):\;(a^{2}-b^{2}+c ^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})}

{\displaystyle =\tan A:\tan B:\tan C=a\cos B\cos C:b\cos C\cos A:c\cos A\cos B.}

مرکز دارای مختصات باریسنتریک است [ 10 ] [13]

a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.

باریسنتریک های برون مرکزی [13] است.

{\displaystyle -a:b:c\quad \quad a:-b:c\quad \quad a:b:-c.}

مرکز نه نقطه ای دارای مختصات باری مرکزی است [9] [13]

{\displaystyle a\cos(BC):b\cos(CA):c\cos(AB)=(1+\cos B\cos C):(1+\cos C\cos A):(1+\ cos A\cos B)}

{\displaystyle =[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:[b^{2}( c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:[c^{2}(a^{2}+b^{2} )-(a^{2}-b^{2})^{2}].}

نقطه جرگون مثلثی با طول ضلع های a، b و c و نیم محیط s مقداری برابر با{\displaystyle (sb)(sc):(sc)(sa):(sa)(sb)}.

نقطه ناگل دارای ارزش است{\displaystyle sa:sb:sc}.

نقطه قرینه در واقع شده است{\displaystyle a^{2}:b^{2}:c^{2}}در سیستم مختصات باریسنتریک یک مثلث. [12]

مختصات باریسنتریک روی چهار وجهی [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک را می توان به راحتی تا سه بعد گسترش داد . سیمپلکس سه بعدی یک چهار وجهی است ، یک چند وجهی با چهار وجه مثلثی و چهار راس. یک بار دیگر، چهار مختصات باریسنتریک به گونه ای تعریف می شوند که راس اول\mathbf {r} _{1}نقشه به مختصات باریسنتریک\lambda = (1,0,0,0)،\mathbf{r}_2 \to (0،1،0،0)، و غیره.

این دوباره یک تبدیل خطی است، و ممکن است روش بالا را برای مثلث ها گسترش دهیم تا مختصات باری مرکزی یک نقطه را پیدا کنیم.\mathbf {r}با توجه به چهار وجهی:

{\displaystyle \left({\begin{matrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\end{matrix}}\right)=\mathbf {T} ^ {-1}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{4})}

جایی که\mathbf {T}اکنون یک ماتریس 3×3 است:

\mathbf{T} = \چپ(\شروع{ماتریس} x_1-x_4 & x_2-x_4 & x_3-x_4\\ y_1-y_4 & y_2-y_4 & y_3-y_4\\ z_1-z_4 & z_2-z_4 و z_3- z_4 \end{ماتریس}\راست)

و{\displaystyle \lambda _{4}=1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}}با مختصات دکارتی مربوطه:

{\displaystyle {\begin{matrix}x=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\lambda _{3}x_{3}+(1-\lambda _ {1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})x_{4}\\y=\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\lambda _{3}y_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})y_{4}\\z=\lambda _{1}z_{1 }+\lambda _{2}z_{2}+\lambda _{3}z_{3}+(1-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3})z_{ 4}\\\پایان{ماتریس}}}

یک بار دیگر، مشکل یافتن مختصات باریسنتریک به معکوس کردن یک ماتریس 3×3 کاهش یافته است .

مختصات باریسنتریک سه بعدی ممکن است برای تصمیم گیری در مورد اینکه آیا یک نقطه در داخل یک حجم چهار وجهی قرار دارد یا نه، و برای درونیابی یک تابع در یک شبکه چهار وجهی، به روشی مشابه با روش دو بعدی، استفاده شود. مش های چهار وجهی اغلب در تجزیه و تحلیل اجزای محدود استفاده می شوند زیرا استفاده از مختصات باری مرکزی می تواند درون یابی سه بعدی را تا حد زیادی ساده کند.

مختصات باریسنتریک تعمیم یافته [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک{\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{k})}یک نقطهp \in \mathbb{R}^nکه با توجه به مجموعه ای محدود از k نقطه تعریف می شوند{\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{k}\in \mathbb {R} ^{n}}به جای یک سیمپلکس مختصات باریسنتریک تعمیم یافته نامیده می شوند . برای اینها، معادله

{\displaystyle (\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k})p=\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2 }+\cdots +\lambda _{k}x_{k}}

هنوز برای نگه داشتن مورد نیاز است. [14] معمولاً از مختصات نرمال شده استفاده می شود،{\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots +\lambda _{k}=1}. در مورد یک سیمپلکس، نقاط با مختصات تعمیم یافته نرمال شده غیر منفی ({\displaystyle 0\leq \lambda _{i}\leq 1}) بدنه محدب x 1 ، ...، x n را تشکیل دهید . اگر نقاط بیشتری نسبت به یک سیمپلکس کامل وجود دارد ({\displaystyle k>n+1}) مختصات باریسنتریک تعمیم یافته یک نقطه منحصر به فرد نیستند ، به عنوان سیستم خطی تعیین کننده (در اینجا برای n=2)

{\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1&1&...\\x_{1}&x_{2}&x_{3}&...\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&. ..\end{matrix}}\right){\begin{pmatrix}\lambda _{1}\\\lambda _{2}\\\lambda _{3}\\\vdots \end{pmatrix}}= \left({\begin{matrix}1\\x\\y\end{matrix}}\right)}

کم تعیین شده است . ساده ترین مثال یک چهارضلعی در صفحه است. انواع مختلفی از محدودیت های اضافی را می توان برای تعریف مختصات باریسنتریک منحصر به فرد استفاده کرد. [15]

انتزاع [ ویرایش ]

به طور انتزاعی تر، مختصات باریسنتریک تعمیم یافته یک چند توپ محدب با n راس، بدون توجه به ابعاد، به عنوان تصویر استاندارد بیان می کنند.(n-1)-simplex، که دارای n رأس است - نقشه بر روی:\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.نقشه یک به یک است اگر و فقط اگر پلی توپ یک سیمپلکس باشد، در این صورت نقشه یک هم شکل است. این مربوط به نقطه‌ای است که مختصات باریسنتریک تعمیم‌یافته منحصربه‌فرد ندارد مگر زمانی که P یک سیمپلکس باشد.

مختصات باریسنتریک دوگانه به تعمیم یافته، متغیرهای سستی هستند ، که با میزان حاشیه ای که یک نقطه محدودیت های خطی را برآورده می کند، اندازه گیری می کند و یک جاسازی می دهد. P \hookrightarrow (\mathbf{R}_{\geq 0})^fبه f - orthant ، که در آن f تعداد وجوه است (دو تا رئوس). این نقشه یک به یک است (متغیرهای شل به طور منحصربه‌فرد تعیین می‌شوند) اما نه روی (همه ترکیب‌ها قابل تحقق نیستند).

این استفاده از استاندارد(n-1)-Simplex و F -orthant به عنوان اشیاء استانداردی که به یک polytope نگاشت می شوند یا یک polytope به آن نگاشت باید با استفاده از فضای برداری استاندارد در تضاد قرار گیرند.K^{n}به عنوان شی استاندارد برای فضاهای برداری، و ابرصفحه افین استاندارد \{(x_0،\ldots،x_n) \mid \sum x_i = 1\} \زیر مجموعه K^{n+1}به عنوان شی استاندارد برای فضاهای وابسته، که در هر مورد، انتخاب یک پایه خطی یا پایه وابسته ، یک هم شکلی را ارائه می دهد ، که به همه فضاهای برداری و فضاهای وابسته اجازه می دهد تا برحسب این فضاهای استاندارد، به جای یک روی یا یک به-، در نظر گرفته شوند. یک نقشه (هر پلی توپی یک سیمپلکس نیست). علاوه بر این، n- orthant شی استانداردی است که به مخروط ها نگاشت می شود.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک برای ترکیب سه رنگ در یک ناحیه مثلثی به طور مساوی در گرافیک کامپیوتری استفاده می شود.

مختصات باریسنتریک برای ترکیب سه رنگ در یک ناحیه مثلثی به طور مساوی در گرافیک کامپیوتری استفاده می شود.

مختصات باریسنتریک تعمیم یافته در گرافیک کامپیوتری و به طور خاص در مدل سازی هندسی کاربرد دارد. [16] اغلب، یک مدل سه بعدی را می توان با یک چند وجهی تقریب زد به طوری که مختصات باری مرکزی تعمیم یافته نسبت به آن چند وجهی معنای هندسی داشته باشد. به این ترتیب، پردازش مدل با استفاده از این مختصات معنی دار ساده می شود. مختصات باریسنتریک نیز در ژئوفیزیک استفاده می شود . [17]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Barycentric_coordinate_system