فضایی به سادگی همبند

در توپولوژی ، یک فضای توپولوژیکی به سادگی همبند (یا 1-همبند ، یا 1-به سادگی همبند [1] ) نامیده می شود که به مسیر همبند باشد و هر مسیر بین دو نقطه بتواند به طور پیوسته تبدیل شود (به طور شهودی برای فضاهای تعبیه شده، ماندن در داخل فضا) در هر مسیر دیگری با حفظ دو نقطه پایانی مورد نظر. گروه بنیادی یک فضای توپولوژیکی نشانگر شکست فضا برای اتصال ساده است: یک فضای توپولوژیکی همبند به مسیر به سادگی همبند می شود اگر و تنها در صورتی که گروه بنیادی آن بی اهمیت باشد.

فهرست

تعریف و فرمول های معادل [ ویرایش ]

این شکل مجموعه‌ای را نشان می‌دهد که به سادگی همبند نیست، زیرا هر حلقه‌ای که یک یا چند سوراخ را در بر می‌گیرد نمی‌تواند بدون خروج از منطقه به یک نقطه منقبض شود.

فضای توپولوژیکی $ایکس$ اگر به مسیر همبند باشد و هر حلقه ای در آن باشد، به سادگی همبند نامیده می شود $ایکس$ تعریف شده توسط $f:S^{1}\to X$ را می توان به یک نقطه قرارداد: یک نقشه پیوسته وجود دارد $F:D^{2}\to X$ به طوری که $اف$ محدود به $S^{1}$ است $f.$ اینجا، $S^{1}$ و $D^{2}$ به ترتیب دایره واحد و دیسک واحد بسته را در صفحه اقلیدسی نشان می دهد.

یک فرمول معادل این است: $ایکس$ به سادگی وصل می شود اگر و تنها در صورتی که به مسیر همبند باشد و هر زمان که باشد $p:[0,1]\to X$ و $q:[0,1]\to X$ دو مسیر (یعنی نقشه های پیوسته) با نقطه شروع و پایان یکسان هستند ( $p(0)=q(0)$ و $p(1)=q(1)$ )، سپس $پ$ می تواند به طور مداوم تغییر شکل دهد $q$ در حالی که هر دو نقطه پایانی ثابت هستند. به صراحت، هموتوپی وجود دارد $F:[0,1]\times [0,1]\to X$ به طوری که $F(x,0)=p(x)$ و $F(x,1)=q(x).$

فضای توپولوژیکی $ایکس$ به سادگی همبند است اگر و فقط اگر $ایکس$ همبند به مسیر و گروه بنیادی است $ایکس$ در هر نقطه بی اهمیت است، یعنی فقط از عنصر هویت تشکیل شده است . به همین ترتیب، $ایکس$ به سادگی اگر و فقط اگر برای همه نقاط همبند است $x,y\in X,$ مجموعه مورفیسم ها $\operatorname {Hom} _{\Pi (X)}(x,y)$ در گروه بنیادی از $ایکس$ فقط یک عنصر دارد [2]

در تحلیل مختلط : یک زیر مجموعه باز $X\subsetq \mathbb {C}$ به سادگی همبند است اگر و فقط اگر هر دو $ایکس$ و مکمل آن در کره ریمان به هم همبند هستند. مجموعه اعداد مختلط با قسمت خیالی به شدت بزرگتر از صفر و کوچکتر از یک، مثال خوبی از یک زیرمجموعه بی کران، همبند و باز از صفحه ای را ارائه می دهد که مکمل آن همبند نیست. با این حال به سادگی همبند است. همچنین ممکن است شایان ذکر باشد که آرامش از این نیاز است $ایکس$ همبند شدن منجر به کاوش جالبی از زیر مجموعه های باز فضا با مکمل توسعه یافته همبند می شود. به عنوان مثال، یک مجموعه باز (الزاماً همبند نیست) مکمل توسعه یافته را دقیقاً زمانی به هم وصل کرده است که هر یک از اجزای همبند آن به سادگی همبند شده باشند.

بحث غیررسمی [ ویرایش ]

به طور غیررسمی، یک شی در فضای ما به سادگی همبند می شود اگر از یک قطعه تشکیل شده باشد و هیچ "سوراخ" ای نداشته باشد که تمام مسیر را از آن عبور دهد. به عنوان مثال، نه یک دونات و نه یک فنجان قهوه (با دسته) به سادگی به هم وصل می شوند، بلکه یک توپ لاستیکی توخالی به سادگی همبند می شود. در دو بعد، یک دایره به سادگی همبند نیست، بلکه یک دیسک و یک خط است. فضاهایی که به هم همبند هستند اما به سادگی همبند نیستند ، غیرساده همبند یا چند برابر همبند نامیده می شوند .

یک کره به سادگی همبند است زیرا هر حلقه می تواند (روی سطح) به یک نقطه منقبض شود.

این تعریف فقط سوراخ های دسته شکل را رد می کند. یک کره (یا به طور معادل، یک توپ لاستیکی با مرکز توخالی) به سادگی همبند است، زیرا هر حلقه روی سطح یک کره می تواند تا یک نقطه منقبض شود، حتی اگر یک "سوراخ" در مرکز توخالی داشته باشد. شرط قوی تر، که جسم هیچ سوراخی با هر ابعادی نداشته باشد، انقباض پذیری نامیده می شود .

مثالها [ ویرایش ]

چنبره یک سطح به سادگی همبند نیست. هیچ یک از دو حلقه رنگی نشان داده شده در اینجا نمی توانند بدون خروج از سطح به نقطه ای منقبض شوند. یک چنبره جامد نیز به سادگی همبند نیست زیرا حلقه بنفش نمی تواند بدون خروج از جامد به نقطه ای منقبض شود.

فضای اقلیدسی $\R^2$ به سادگی همبند است، اما $\R^2$ منهای مبدا $(0,0)$ نیست. اگر $n>2،$ سپس هر دو $\mathbb {R} ^{n}$ و $\mathbb {R} ^{n}$ منهای مبدا به سادگی همبند می شوند.
به طور مشابه: کره n بعدی $S^{n}$ به سادگی همبند است اگر و فقط اگر $n\geq 2.$
هر زیر مجموعه محدب از $\mathbb {R} ^{n}$ به سادگی همبند است.
یک چنبره ، استوانه (بیضوی) ، نوار موبیوس ، صفحه نمایشگر و بطری کلاین به سادگی به هم همبند نیستند.
هر فضای برداری توپولوژیکی به سادگی همبند است. این شامل فضاهای Banach و فضاهای هیلبرت می شود.
برای $n\geq 2,$ گروه متعامد ویژه $\operatorname {SO} (n,\mathbb {R} )$ به سادگی همبند نیست و گروه واحد ویژه $\operatorname {SU} (n)$ به سادگی همبند است.
فشرده سازی یک نقطه ای از $\mathbb {R}$ به سادگی همبند نیست (حتی $\mathbb {R}$ به سادگی همبند است).
صف طولانی $L$ به سادگی همبند است، اما فشرده سازی آن، خط طولانی طولانی است $L^{*}$ نیست (زیرا حتی مسیر همبند نیست).

خواص [ ویرایش ]

یک سطح ( منیفولد توپولوژیکی دو بعدی ) به سادگی همبند می شود اگر و فقط اگر همبند باشد و جنس آن (تعداد دسته های سطح) 0 باشد.

یک پوشش جهانی برای هر فضای (مناسب). $ایکس$ یک فضای ساده همبند است که به آن نقشه می‌رود $ایکس$ از طریق یک نقشه پوششی

اگر $ایکس$ و $Y$ معادل هموتوپی هستند و $ایکس$ به سادگی همبند است، پس همینطور است $Y.$

تصویر یک مجموعه به سادگی همبند تحت یک عملکرد پیوسته نیازی به اتصال ساده ندارد. به عنوان مثال صفحه مختلط زیر نقشه نمایی را در نظر بگیرید: تصویر این است $\mathbb {C} \setminus \{0\}،$ که به سادگی همبند نیست.

مفهوم اتصال ساده در تحلیل مختلط به دلیل حقایق زیر مهم است:

قضیه انتگرال کوشی بیان می کند که اگر $U$ یک زیرمجموعه باز همبند ساده از صفحه مختلط است $\mathbb {C}،$ و $f:U\to \mathbb {C}$ پس یک تابع هولومورفیک است $f$ آنتی مشتق دارد $اف$ بر $U,$ و مقدار هر خط انتگرال در $U$ با انتگرال $f$ فقط به نقاط پایانی بستگی دارد $تو$ و $v$ از مسیر، و می تواند به عنوان محاسبه شود $F(v)-F(u).$ بنابراین انتگرال به مسیر خاص اتصال بستگی ندارد $تو$ و $v$
قضیه نگاشت ریمان بیان می کند که هر باز غیر خالی به سادگی به زیر مجموعه همبند می شود $\mathbb{C}$ (بجز $\mathbb{C}$ خودش) به طور منطبق با واحد دیسک معادل است .