ریاضیات

​

 
از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نقشه‌های صفحات پرتابی متناهی مرتبه 2 ( صفحه فانو ) و 3، در طرح‌بندی شبکه‌ای که روشی برای ایجاد چنین نقشه‌هایی برای مرتبه‌های اول نشان می‌دهد.

به نظر می رسد این خطوط موازی در نقطه ناپدید شدن "در بی نهایت" قطع می شوند. در یک صفحهتصویری این در واقع درست است.

در ریاضیات ، صفحهتصویری یک ساختار هندسی است که مفهوم صفحه را گسترش می دهد . در صفحه اقلیدسی معمولی، دو خط معمولاً در یک نقطه قطع می‌شوند، اما برخی از جفت‌ها (یعنی خطوط موازی) وجود دارند که قطع نمی‌کنند. یک صفحه پرتابی را می توان به عنوان یک صفحه معمولی مجهز به "نقاط در بی نهایت" اضافی که در آن خطوط موازی متقاطع می شوند در نظر گرفت. بنابراین هر دو خط متمایز در یک صفحهتصویری در یک و تنها یک نقطه قطع می شوند.

هنرمندان رنسانس ، در توسعه تکنیک های طراحی در پرسپکتیو ، زمینه را برای این موضوع ریاضی فراهم کردند. مثال کهن الگوی صفحه نمایش واقعی است که به عنوان صفحه اقلیدسی توسعه یافته نیز شناخته می شود . [1] در این مثال، در صورتهای کمی متفاوت است، در مهم است هندسه جبری ، توپولوژی و هندسه تصویری که در آن ممکن است در زمانهای گوناگون توسط نشان داده PG (2، R ) ، RP 2 یا P 2 ( R )، در میان دیگر نمادهای. بسیاری از صفحات پرتاب کننده دیگر، هر دو بی نهایت، مانند صفحه وجود داردصفحه تصویری پیچیده و متناهی مانند صفحه فانو .

صفحه پرتابی یک فضای پرتابی دو بعدی است ، اما همه صفحات پرتابی را نمی توان در فضاهای پرتابی سه بعدی جاسازی کرد. چنین قابلیت جاسازی نتیجه خاصیتی است که به عنوان قضیه Desargues شناخته می شود ، که در همه سطوح تصویری مشترک نیست.

فهرست

• 1تعریف
• 2مثال ها
  • 2.1صفحه اقلیدسی توسعه یافته
  • 2.2فضای مولتون پروجکتیو
  • 2.3یک مثال متناهی
• 3ساخت فضای برداری
  • 3.1نمونه های کلاسیک
  • 3.2صفحات میدان متناهی
  • 3.3قضیه دسارگ و صفحات دسارگوزی
• 4فضاهای فرعی
  • 4.1زیر فضاهای فانو
• 5فضاهای افین
  • 5.1تعریف
  • 5.2ساخت فضاهای پرتابی از صفحات افین
  • 5.3مختصات تعمیم یافته
• 6فضاهای منحط
• 7تلفیقی ها
  • 7.1هموگرافی
• 8دوگانگی فضا
• 9همبستگی ها
• 10صفحات پرتابی متناهی
• 11صفحات پرتاب کننده در فضاهای پرتابی با ابعاد بالاتر
• 12همچنین ببینید
• 13یادداشت
• 14منابع
• 15لینک های خارجی

تعریف [ ویرایش ]

فضا تصویری متشکل از مجموعه ای از خطوط ، مجموعه ای از نقاط ، و رابطه بین نقاط و خطوط به نام بروز ، داشتن خواص زیر است: [2]

1. با توجه به هر دو نقطه متمایز، دقیقاً یک خط حادثه با هر دوی آنها وجود دارد.
2. با توجه به هر دو خط مجزا، دقیقاً یک حادثه نقطه ای با هر دوی آنها وجود دارد.
3. چهار نقطه وجود دارد به طوری که هیچ خطی با بیش از دو مورد از آنها برخورد نمی کند.

شرط دوم به این معنی است که هیچ خط موازی وجود ندارد . آخرین شرط، موارد به اصطلاح انحطاط را مستثنی می کند (به زیر مراجعه کنید ). اصطلاح "بروز" برای تأکید بر ماهیت متقارن رابطه بین نقاط و خطوط استفاده می شود. بنابراین عبارت "نقطه P با خط ℓ برخورد می کند " به جای اینکه " P روی ℓ است " یا " ℓ از P عبور می کند " استفاده می شود.

مثالها [ ویرایش ]

صفحه اقلیدسی توسعه یافته [ ویرایش ]

برای تبدیل صفحه اقلیدسی معمولی به صفحهتصویری به صورت زیر عمل کنید:

1. به هر کلاس موازی از خطوط (مجموعه حداکثری از خطوط موازی متقابل) یک نقطه جدید را مرتبط کنید. آن نقطه باید تصادف با هر خط در کلاس خود در نظر گرفته شود. نکات جدید اضافه شده از یکدیگر متمایز هستند. این نقاط جدید را نقاط بی نهایت می نامند .
2. یک خط جدید اضافه کنید که با تمام نقاط در بی نهایت (و هیچ نقطه دیگری) تصادف در نظر گرفته می شود. این خط را خط در بی نهایت می نامند .

ساختار توسعه یافته یک صفحهتصویری است و به آن صفحه اقلیدسی توسعه یافته یا صفحه نمایش واقعی می گویند . فرآیند ذکر شده در بالا، که برای به دست آوردن آن استفاده می شود، "تکمیل تصویری" یا فرافکنی نامیده می شود . این فضا همچنین می توانید با شروع از ساخته شود R 3 مشاهده به عنوان فضای برداری، و § برداری ساخت و ساز فضای زیر کلیک کنید.

فضای مولتون پروجکتیو [ ویرایش ]

فضا مولتون . خطوط شیب دار به سمت راست و پایین در جایی که از محور y عبور می کنند خم می شوند .

نقاط صفحه مولتون نقاط صفحه اقلیدسی با مختصات به روش معمول هستند. برای ایجاد صفحه مولتون از صفحه اقلیدسی، برخی از خطوط دوباره تعریف می شوند. یعنی برخی از مجموعه های نقطه آنها تغییر می کند، اما خطوط دیگر بدون تغییر باقی می مانند. همه خطوط با شیب منفی را مجدداً تعریف کنید تا مانند خطوط "خم" به نظر برسند، به این معنی که این خطوط نقاط خود را با مختصات x منفی نگه می دارند ، اما بقیه نقاط آنها با نقاط خط با همان مقطع y جایگزین می شوند. اما شیب دو برابر هر جا که مختصات x آنها مثبت باشد.

صفحه مولتون دارای طبقات موازی خطوط است و یک صفحه وابسته است . می‌توان آن را مانند مثال قبلی، برای به دست آوردن صفحه مولتون پرفکتیوسازی کرد . قضیه دزارگ نه در صفحه مولتون و نه در صفحه مولتون تصویری یک قضیه معتبر نیست.

یک مثال متناهی [ ویرایش ]

این مثال فقط سیزده نقطه و سیزده خط دارد. نقاط P 1 ,...,P 13 و خطوط m 1 ,...,m 13 را علامت گذاری می کنیم . رابطه بروز (که نقاط که در آن خطوط هستند) را می توان با در بر داشت زیر توجه ماتریس وقوع . سطرها با نقاط و ستون ها با خطوط برچسب گذاری می شوند. 1 در ردیف i و ستون j به این معنی است که نقطه P i روی خط m j است ، در حالی که 0 (که در اینجا با یک سلول خالی برای سهولت خواندن نشان می دهیم) به این معنی است که آنها تصادفی نیستند. ماتریس به شکل معمولی پیج وکسلر است.

برای بررسی شرایطی که این صفحه را به یک صفحهتصویری تبدیل می کند، مشاهده کنید که هر دو سطر دقیقاً یک ستون مشترک دارند که در آن 1 ظاهر می شود (هر جفت نقاط متمایز دقیقاً روی یک خط مشترک قرار دارند) و هر دو ستون دقیقاً یک ردیف مشترک دارند که در آن 1 ظاهر می شود (هر جفت از خطوط متمایز دقیقاً در یک نقطه به هم می رسند). در میان بسیاری از احتمالات، برای مثال، نقاط P 1 ، P 4 ، P 5 ، و P 8 شرط سوم را برآورده می کنند. این مثال به عنوان صفحهتصویری درجه سه شناخته می شود .

​