ریاضیات

​

ساخت فضای برداری [ ویرایش ]

اگرچه ممکن است به نظر برسد که خط در بینهایت صفحه واقعی گسترش یافته ماهیت متفاوتی با سایر خطوط آن صفحه پرتابی دارد، اما اینطور نیست. ساخت دیگری از همان صفحه پرتابی نشان می دهد که هیچ خطی (در زمینه های هندسی) از هیچ خطی قابل تشخیص نیست. در این ساختار، هر "نقطه" صفحه پرتابی واقعی، زیرفضای یک بعدی (یک خط هندسی ) از مبدأ در یک فضای برداری سه بعدی است و یک "خط" در صفحه تصویری از یک ( هندسی ) ناشی می شود. صفحه از طریق مبدا در فضای 3. این ایده را می توان به صورت زیر تعمیم و دقیق تر کرد. [3]

فرض کنید K هر حلقه تقسیم (میدان کج) باشد. اجازه دهید K 3 مجموعه ای از سه برابر x = ( x 0 , x 1 , x 2 ) از عناصر K را نشان دهد (یک حاصلضرب دکارتی که به عنوان یک فضای برداری مشاهده می شود ). برای هر x غیرصفر در K 3 ، کمترین زیرفضای K 3 حاوی x (که ممکن است به صورت تمام بردارهای یک خط از مبدا تجسم شود) زیر مجموعه است.

از K 3 . به طور مشابه، اجازه دهید x و y به صورت خطی عناصر مستقل K 3 باشند ، به این معنی که kx + my = 0 به این معنی است که k = m = 0 . کمترین زیرفضای K 3 حاوی x و y (که ممکن است به عنوان تمام بردارهای یک صفحه از مبدا تجسم شود) زیر مجموعه است.

از K 3 . این زیرفضای 2 بعدی شامل زیرفضاهای مختلف 1 بعدی از طریق مبدا است که ممکن است با ثابت کردن k و m و گرفتن مضرب بردار حاصل به دست آید. انتخاب‌های مختلف k و m که نسبت یکسانی دارند، یک خط را نشان می‌دهند.

فضا تصویری بیش از K ، مشخص PG (2، K ) و یا K P 2 ، دارای مجموعه ای از نقاط متشکل از تمام زیرفضاهای 1 بعدی در K 3 . یک زیرمجموعه L از نقاط PG(2, K ) خطی در PG(2, K ) است اگر یک زیرفضای 2 بعدی از K 3 وجود داشته باشد که مجموعه ای از زیرفضاهای 1 بعدی دقیقاً L باشد.

تأیید اینکه این ساختار یک صفحه تصویری ایجاد می کند معمولاً به عنوان یک تمرین جبر خطی باقی می ماند.

یک نمای جایگزین (جبری) از این ساخت به شرح زیر است. نقاط این صفحه تصویری کلاس های هم ارزی مجموعه K 3 ∖ {(0, 0, 0)} مدول رابطه هم ارزی هستند.

x ~ kx ، برای همه k در K × .

خطوط در صفحه پرتابی دقیقاً مانند بالا تعریف می شوند.

مختصات ( x 0 , x 1 , x 2 ) یک نقطه در PG(2, K ) مختصات همگن نامیده می شوند . هر سه گانه ( x 0 , x 1 , x 2 ) نشان دهنده یک نقطه کاملاً تعریف شده در PG(2, K ) است، به جز سه گانه (0, 0, 0) که نشان دهنده هیچ نقطه ای نیست. با این حال، هر نقطه در PG(2, K )، با سه گانه های زیادی نشان داده می شود.

اگر K است فضای توپولوژیک ، و سپس K P 2 ، به ارث توپولوژی از طریق کالا ، فضا ، و بهره توپولوژی.

نمونه های کلاسیک [ ویرایش ]

واقعی تصویری فضا RP 2 ، زمانی رخ میدهد که K گرفته می شود که اعداد حقیقی ، R . به عنوان یک منیفولد 2 واقعی بسته و غیر جهت‌پذیر ، به عنوان یک مثال اساسی در توپولوژی عمل می‌کند. [4]

در این ساخت و ساز در نظر حوزه واحد در مبدا در محور R 3 . هر یک از خطوط R 3 در این ساختار کره را در دو نقطه پادپایل قطع می کند. از آنجایی که خط R 3 نقطه ای از RP 2 را نشان می دهد ، با شناسایی نقاط پادپای کره ، همان مدل RP 2 را به دست خواهیم آورد . خطوط RP 2 پس از این شناسایی نقاط پادپای، دایره های بزرگ کره خواهند بود. این توصیف مدل استاندارد هندسه بیضوی را ارائه می دهد .

پیچیده تصویری فضا CP 2 ، زمانی رخ میدهد که K گرفته می شود که اعداد مختلط ، C . این یک منیفولد 2 منیفولد بسته و از این رو یک 4 منیفولد واقعی بسته و جهت‌پذیر است. آن و صفحات تصویری بر روی میدان های دیگر (معروف به صفحات پاپی ) به عنوان نمونه های اساسی در هندسه جبری عمل می کنند . [5]

فضا تصویری quaternionic HP 2 نیز از علاقه مستقل است. [ نیازمند منبع ]

صفحات میدان محدود [ ویرایش ]

بر اساس قضیه Wedderburn ، یک حلقه تقسیم محدود باید جابجایی باشد و بنابراین یک میدان باشد. بنابراین نمونه های متناهی این ساخت به «صفحه های میدانی» معروف هستند. با توجه K می شود میدان محدود از Q = P N عناصر با نخست ص تولید یک فضا تصویری از Q 2 + Q + 1 نقطه. صفحات میدان معمولاً با PG(2, q ) نشان داده می شوند که در آن PG مخفف هندسه تصویری است، "2" بعد است و q مرتبه نامیده می شود.از فضا (یک عدد کمتر از تعداد نقاط هر خط است). فضای فانو، که در زیر مورد بحث قرار گرفته است، با PG (2،2) نشان داده می شود. مثال سوم بالا درجه PG فضا تصویری (2،3) است.

فضای فانو نقاط به صورت نقطه نشان داده می شوند. خطوط به صورت خط یا دایره نشان داده می شوند.

فضا فانو فضا تصویری ناشی از زمینه از دو عنصر است. این کوچکترین فضای پرتابی است که تنها هفت نقطه و هفت خط دارد. در شکل سمت راست، هفت نقطه به صورت توپ های کوچک و هفت خط به صورت شش پاره خط و یک دایره نشان داده شده اند. با این حال، می‌توان توپ‌ها را به‌عنوان «خط» و پاره‌های خط و دایره را «نقطه» در نظر گرفت – این نمونه‌ای از دوگانگی در صفحه تصویری است: اگر خطوط و نقاط با هم عوض شوند، نتیجه همچنان باقی می‌ماند. یک صفحه تصویری (به زیر مراجعه کنید ). یک جایگشت از هفت امتیاز است که حامل خط مستقیم واقع شونده امتیاز (امتیاز در همان خط) به نقطه در یک راستا است که به نام collineation یاتقارن فضا تلاقی یک هندسه یک گروه تحت ترکیب تشکیل می دهد و برای صفحه فانو این گروه (PΓL(3,2) = PGL(3,2)) دارای 168 عنصر است.

قضیه دسارگ و صفحات دسارگوزی [ ویرایش ]

قضیه از Desargues جهانی در یک فضا تصویری معتبر است اگر و تنها اگر فضا را می توان از یک فضای برداری سه بعدی بیش از یک skewfield عنوان ساخته شده بالا . [6] این فضا به نام فضا Desarguesian ، به نام بعد از جرارد Desargues به . صفحه پرتابی واقعی (یا پیچیده) و صفحه پرتابی مرتبه 3 که در بالا ارائه شد ، نمونه هایی از صفحات پرتابی Desarguesian هستند. فضاهای پرتابی که نمی توانند به این روش ساخته شوند ، فضاهای غیر دسارگوزی نامیده می شوند و فضای مولتون که در بالا آورده شد نمونه ای از آن ها است. PG(2, K) نماد برای فضاهای Desarguesian محفوظ است. هنگامی که K یک میدان است ، یک مورد بسیار رایج، به آنها صفحات میدانی نیز می‌گویند و اگر میدان یک میدان متناهی باشد ، می‌توان آنها را صفحات گالوا نامید .

فضاهای فرعی [ ویرایش ]

یک صفحه فرعی یک صفحه پرتابی زیرمجموعه ای از نقاط صفحه است که خود صفحه ای پرتابی با روابط فرود یکسان را تشکیل می دهند.

( بروک 1955 ) قضیه زیر را اثبات می کند. فرض کنید Π یک صفحه تصویری محدود از مرتبه N با صفحه فرعی مناسب Π 0 از مرتبه M باشد. سپس N = M 2 یا N ≥ M 2 + M .

وقتی N مربع باشد، به زیرصفحه های مرتبه √ N ، صفحات فرعی Baer گفته می شود . هر نقطه از فضا روی یک خط از یک زیر صفحه بائر قرار دارد و هر خط از فضا حاوی یک نقطه از صفحه فرعی Baer است.

در فضا Desarguesian محدود PG (2، ص N )، در سطح فرعی دستور که به دستور زیر شاخه از GF محدود زمینه (هستند ص N )، این است که، ص من که در آن من از مقسوم علیه است N . با این حال، در فضاهای غیر دسارگوزی، قضیه بروک تنها اطلاعاتی را در مورد دستورات صفحه فرعی می دهد. مورد تساوی در نابرابری این قضیه مشخص نیست. اینکه آیا یک صفحه فرعی از مرتبه M در یک صفحه از مرتبه N با M 2 + M = N وجود دارد یا نهیک سوال باز است اگر چنین صفحات فرعی وجود داشته باشند، صفحات پرتابی از نظم مرکب (غیر قدرت اول) وجود خواهند داشت.

فضاهای فرعی فانو [ ویرایش ]

یک زیرصفحه فانو یک صفحه فرعی هم شکل به PG(2،2)، صفحه پرتابی منحصر به فرد درجه 2 است.

اگر در این صفحه یک چهار ضلعی (مجموعه ای از 4 نقطه بدون سه خط خطی) در نظر بگیرید، نقاط شش تا از خطوط صفحه را تعیین می کنند. سه نقطه باقیمانده (که به آنها نقاط مورب چهار گوش می گویند) نقاطی هستند که خطوطی که در نقطه ای از چهار ضلعی قطع نمی شوند، به هم می رسند. خط هفتم از تمام نقاط مورب (معمولاً به صورت دایره یا نیم دایره ترسیم می شود) تشکیل شده است.

در صفحه‌های دیسارگوزی محدود، PG(2, q )، زیرصفحه‌های فانو وجود دارند اگر و فقط اگر q زوج باشد (یعنی توان 2). وضعیت در فضاهای غیر دس آرگوس ناآرام است. آن‌ها می‌توانند در هر صفحه‌ی غیر دسرگوزی با نظم بزرگ‌تر از 6 وجود داشته باشند، و در واقع، در تمام سطوح غیر دسرگوزی که در آن‌ها جستجو شده‌اند (به ترتیب فرد و زوج) یافت شده‌اند.

یک سوال باز این است: آیا هر فضای غیر دسرگوزی دارای یک زیر صفحه فانو است؟

یک قضیه در مورد فضاهای فرعی فانو ناشی از ( گلیسون 1956 ) این است:

اگر هر چهار ضلعی در یک صفحه پرتابی متناهی دارای نقاط مورب خطی باشد، آنگاه صفحه دسرگوسیون (از مرتبه زوج) است.

فضاهای افین [ ویرایش ]

فرافکنی کردن صفحه اقلیدسی صفحه تصویری واقعی را ایجاد کرد. عمل معکوس - با شروع یک صفحه پرتابی، حذف یک خط و تمام نقاطی که با آن خط برخورد می کنند - یک صفحه افین تولید می کند .

تعریف [ ویرایش ]

بیشتر رسما فضا و affine متشکل از مجموعه ای از خطوط و مجموعه ای از نقاط ، و رابطه بین نقاط و خطوط به نام بروز ، داشتن خواص زیر است:

1. با توجه به هر دو نقطه متمایز، دقیقاً یک خط حادثه با هر دوی آنها وجود دارد.
2. با توجه به هر خط l و هر نقطه P که با l برخورد نمی کند، دقیقاً یک خط حادثه با P وجود دارد که با l مطابقت ندارد.
3. چهار نقطه وجود دارد به طوری که هیچ خطی با بیش از دو مورد از آنها برخورد نمی کند.

شرط دوم به معنای وجود خطوط موازی است و به عنوان بدیهیات Playfair شناخته می شود . عبارت «مطلوب نمی شود» در این شرط به صورت اختصاری برای «هر دو سطر حادثه نقطه ای وجود ندارد» است.

صفحه اقلیدسی و صفحه مولتون نمونه هایی از صفحات وابسته بی نهایت هستند. یک صفحه پرتابی محدود زمانی که یکی از خطوط آن و نقاط روی آن حذف شود، یک صفحه افین محدود تولید می کند. سفارش از یک فضا affine به محدود تعداد نقاط در هر یک از خطوط آن (این خواهد بود به همان اندازه که منظور از فضا تصویری از آن می آید) است. صفحات وابسته که از صفحات پرتابی PG(2, q ) بوجود می آیند با AG(2, q ) نشان داده می شوند.

یک صفحه تصویری از مرتبه N وجود دارد اگر و فقط در صورتی که یک صفحه وابسته از مرتبه N وجود داشته باشد. وقتی فقط یک صفحه وابسته از مرتبه N وجود دارد، فقط یک صفحه تصویری از مرتبه N وجود دارد ، اما برعکس آن درست نیست. صفحات وابسته که با حذف خطوط مختلف صفحه پرتاب کننده ایجاد می شوند، اگر و فقط در صورتی که خطوط حذف شده در مدار یکسانی از گروه همسویی صفحه پرتاب کننده باشند، هم شکل خواهند بود. این اظهارات برای فضاهای پرتابی بی نهایت نیز صادق است.

​