از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نباید با مختصات باریسنتریک (نجوم) اشتباه شود .

همچنین نگاه کنید به: فضای Affine § مختصات Barycentric

یک 3-ساده، با تقسیمات فرعی باری مرکزی از 1 وجه (لبه ها) 2 وجه (مثلث) و 3 وجه (بدنه).

در هندسه ، سیستم مختصات باری مرکزی، سیستم مختصاتی است که در آن مکان یک نقطه با ارجاع به یک سیمپلکس ( مثلث برای نقاط یک صفحه ، چهار وجهی برای نقاط در فضای سه بعدی و غیره) مشخص می شود. مختصات باری مرکزی یک نقطه را می توان به عنوان جرم هایی که در راس سیمپلکس قرار می گیرند، تفسیر کرد، به طوری که نقطه مرکز جرم (یا مرکز باری ) این جرم ها باشد. این جرم ها می توانند صفر یا منفی باشند. همه آنها مثبت هستند اگر و فقط اگر نقطه در داخل سیمپلکس باشد.

هر نقطه دارای مختصات باری مرکزی است و مجموع آنها صفر نیست. دو دسته از مختصات باریسنتریک یک نقطه را مشخص می کنند اگر و فقط اگر متناسب باشند . یعنی اگر بتوان یک تاپل را با ضرب عناصر تاپل دیگر در همان عدد غیر صفر به دست آورد. بنابراین، مختصات باریسنتریک یا تا ضرب در یک ثابت غیر صفر تعریف می‌شوند ، یا برای جمع تا واحد نرمال می‌شوند.

مختصات باریسنتریک توسط آگوست فردیناند موبیوس در سال 1827 معرفی شد. [1] [2] [3] آنها مختصات همگن خاصی هستند . مختصات باریسنتریک به شدت با مختصات دکارتی و به طور کلی با مختصات افین مرتبط است (به فضای Affine § رابطه بین مختصات barycentric و affine مراجعه کنید).

مختصات باریسنتریک به ویژه در هندسه مثلث برای مطالعه خواصی که به زوایای مثلث وابسته نیستند، مانند قضیه سیوا ، قضیه روث و قضیه منلائوس مفید هستند . در طراحی به کمک کامپیوتر ، آنها برای تعریف برخی از انواع سطوح Bézier مفید هستند . [4] [5]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

اجازه دهید{\displaystyle A_{0},\ldots ,A_{n}}n + 1 نقطه در یک فضای اقلیدسی ، یک فضای مسطح یا یک فضای وابسته باشد \mathbf {A}از بعد n که مستقل از هم هستند . این بدان معنی است که هیچ زیرفضای وابسته ای از بعد n وجود ندارد که شامل تمام نقاط باشد، یا به طور معادل آن نقاط یک سیمپلکس را تعریف می کنند. با توجه به هر نکته{\displaystyle P\in \mathbf {A}،}اسکالر وجود دارد a_{0}،\ldots،a_{n}که همه صفر نیستند، به طوری که

{\displaystyle (a_{0}+\cdots +a_{n}){\overrightarrow {OP}}=a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}،}

برای هر نقطه O (طبق معمول، نماد{\displaystyle {\overright arrow {AB}}}نشان دهنده بردار ترجمه یا بردار آزاد است که نقطه A را به نقطه B نگاشت می کند .)

عناصر یک ( n + 1) تاپل{\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}که این معادله را برآورده می کند، مختصات باریسنتریک P نسبت به{\displaystyle A_{0},\ldots,A_{n}.}استفاده از دو نقطه در علامت گذاری تاپل به این معنی است که مختصات باریسنتریک نوعی مختصات همگن هستند، یعنی اگر همه مختصات در یک ثابت غیر صفر ضرب شوند، نقطه تغییر نمی کند. علاوه بر این، اگر نقطه کمکی O ، مبدا ، تغییر کند، مختصات باریسنتریک نیز تغییر نمی کند.

مختصات باریسنتریک یک نقطه تا یک مقیاس منحصر به فرد است. یعنی دو تاپل{\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}و{\displaystyle (b_{0}:\dotsc :b_{n})}مختصات باریسنتریک یک نقطه هستند اگر و فقط در صورتی که یک اسکالر غیر صفر وجود داشته باشد\لامبدابه طوری که{\displaystyle b_{i}=\lambda a_{i}}برای هر من .

در برخی زمینه ها، منحصر به فرد کردن مختصات باری مرکزی یک نقطه مفید است. این با تحمیل شرط به دست می آید

{\displaystyle \sum a_{i}=1,}

یا به طور معادل با تقسیم هرa_{i}با مجموع همهa_i.این مختصات باریسنتریک خاص، مختصات باریسنتریک نرمال شده یا مطلق نامیده می شوند . [6] گاهی اوقات، آنها را مختصات افین نیز می نامند ، اگرچه این اصطلاح معمولاً به مفهوم کمی متفاوت اشاره دارد.

گاهی اوقات، مختصات باری مرکزی نرمال شده است که مختصات باری مرکزی نامیده می شود . در این حالت مختصات تعریف شده در بالا مختصات باری مرکزی همگن نامیده می شوند .

با نماد بالا، مختصات باری مرکزی همگن A i همگی صفر هستند، به جز مختصات شاخص i . هنگام کار بر روی اعداد واقعی (تعریف بالا برای فضاهای وابسته در یک میدان دلخواه نیز استفاده می شود )، نقاطی که همه مختصات باریسنتریک نرمال شده آنها غیر منفی هستند، بدنه محدب را تشکیل می دهند .{\displaystyle \{A_{0},\ldots ,A_{n}\},}که سیمپلکسی است که این نقاط را رئوس خود دارد.

با نماد بالا، یک تاپل{\displaystyle (a_{1},\ldots,a_{n})}به طوری که

{\displaystyle \sum _{i=0}^{n}a_{i}=0}

هیچ نقطه ای را تعریف نمی کند، بلکه بردار را مشخص می کند

{\displaystyle a_{0}{\overrightarrow {OA_{0}}}+\cdots +a_{n}{\overrightarrow {OA_{n}}}}

مستقل از مبدا O است. همانطور که جهت این بردار تغییر نمی کند اگر همهa_{i}در همان اسکالر، یعنی تاپل همگن ضرب می شوند{\displaystyle (a_{0}:\dotsc :a_{n})}یک جهت از خطوط را تعریف می کند، که یک نقطه در بی نهایت است. برای اطلاعات بیشتر قسمت زیر را مطالعه کنید.

رابطه با مختصات دکارتی یا وابسته [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک به شدت با مختصات دکارتی و به طور کلی مختصات افین مرتبط است. برای فضایی با ابعاد n ، این سیستم های مختصات نسبت به نقطه O ، مبدا ، که مختصات آن صفر است، و n نقطه تعریف می شوند.{\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n},}که مختصات آن صفر است به جز مختصات شاخص i که برابر با یک است.

یک نقطه مختصاتی دارد

(x_1، \ldots، x_n)

برای چنین سیستم مختصاتی اگر و تنها در صورتی که مختصات باریسنتریک نرمال شده آن باشد

{\displaystyle (1-x_{1}-\cdots -x_{n},x_{1},\ldots,x_{n})}

نسبت به نقاط{\displaystyle O,A_{1},\ldots,A_{n}.}

مزیت اصلی سیستم های مختصات باریسنتریک متقارن بودن با توجه به نقاط تعیین کننده n + 1 است. بنابراین آنها اغلب برای مطالعه خواصی که با توجه به n + 1 نقطه متقارن هستند مفید هستند. از سوی دیگر، بیان فواصل و زوایا در سیستم‌های مختصات باریسنتریک عمومی دشوار است و زمانی که آنها درگیر هستند، استفاده از سیستم مختصات دکارتی به طور کلی ساده‌تر است.

رابطه با مختصات تصویری [ ویرایش ]

مختصات باریسنتریک همگن نیز به شدت با برخی مختصات تصویری مرتبط است . با این حال، این رابطه نسبت به مختصات افین ظریف‌تر است، و برای اینکه به وضوح درک شود، نیاز به تعریف بدون مختصات از تکمیل تصویری یک فضای افین ، و تعریف یک قاب تصویری دارد .

تکمیل تصویری یک فضای نزدیک به بعد n یک فضای تصویری با همان بعد است که شامل فضای افین به عنوان مکمل یک ابر صفحه است. تکمیل تصویری تا یک هم ریختی منحصر به فرد است . ابرصفحه ابرصفحه در بینهایت نامیده می شود و نقاط آن نقاطی در بینهایت فضای افین هستند. [7]

با توجه به فضای تصویری با ابعاد n ، یک قاب تصویری مجموعه‌ای مرتب از n + 2 نقطه است که در همان ابر صفحه وجود ندارد. یک قاب تصویری یک سیستم مختصات تصویری را تعریف می کند به طوری که مختصات ( n + 2) امین نقطه قاب همه با هم برابر باشند و در غیر این صورت، همه مختصات نقطه i به جز i ​​ام صفر هستند . [7]

هنگام ساختن تکمیل پروژکتوری از یک سیستم مختصات افینی، معمولاً آن را با توجه به یک قاب تصویری متشکل از تقاطعات با ابرصفحه در بینهایت محورهای مختصات ، مبدأ فضای افین و نقطه‌ای تعریف می‌کنیم که تمام نزدیکی خود را دارد. مختصات برابر با یک این بدان معناست که نقاط در بی نهایت آخرین مختصات خود را برابر با صفر دارند و مختصات تصویری یک نقطه از فضای افین با تکمیل مختصات افین آن با یک به عنوان مختصات ( n + 1) به دست می آید .

هنگامی که یک نقطه n + 1 در یک فضای وابستگی داشته باشد که یک سیستم مختصات باریسنتریک را تعریف می کند، این یک فریم تصویری دیگر از تکمیل تصویر است که انتخاب آن راحت است. این قاب از این نقاط و مرکز آنها تشکیل شده است، یعنی نقطه ای که تمام مختصات باری مرکزی آن برابر است. در این حالت، مختصات باری مرکزی همگن یک نقطه در فضای افین با مختصات تصویری این نقطه یکسان است. یک نقطه در بی نهایت است اگر و فقط اگر مجموع مختصات آن صفر باشد. این نقطه در جهت بردار تعریف شده در انتهای § تعریف است.