ریاضیات

جرم ثابت

[ ویرایش ]

جرم ثابت نسبت چهار تکانه (تعمیم چهار بعدی تکانه کلاسیک ) به چهار سرعت است : [ 11 ]

و همچنین نسبت شتاب چهار به چهار نیرو است که جرم سکون ثابت است. شکل چهار بعدی قانون دوم نیوتن به شرح زیر است:

معادله نسبیتی انرژی – تکانه

[ ویرایش ]

وابستگی بین جرم سکون و E ، داده شده در مختصات 4 تکانه ( p 0 , p 1 ) که در آن p 0c = E

عبارات نسبیتی برای E و p از رابطه انرژی-تکانه نسبیتی تبعیت می کنند : [ 12 ]

که در آن m جرم سکون یا جرم ثابت برای سیستم ها است و E انرژی کل است.

این معادله برای فوتون‌هایی که m = 0 دارند نیز معتبر است :

و

بنابراین

تکانه فوتون تابعی از انرژی آن است، اما با سرعتی که همیشه c است، متناسب نیست .

بنابراین برای جسم در حال سکون، تکانه p صفر است

توجه داشته باشید که این فرمول فقط برای ذرات یا سیستم هایی با تکانه صفر صادق است.

جرم سکون فقط با کل انرژی در قاب استراحت جسم متناسب است.

هنگامی که جسم در حال حرکت است، انرژی کل توسط آن داده می شود

برای یافتن شکل تکانه و انرژی به عنوان تابعی از سرعت، می توان به این نکته اشاره کرد که سرعت چهار که متناسب است با

، تنها چهار بردار مرتبط با حرکت ذره است، به طوری که اگر چهار تکانه حفظ شده باشد

، باید متناسب با این بردار باشد. این اجازه می دهد تا نسبت انرژی به تکانه را بیان کنیم

در نتیجه یک رابطه بین E و v ایجاد می شود :

این منجر به

و

این عبارات را می توان به صورت نوشتاری نوشت

جایی که عامل

هنگام کار در واحدهایی که c = 1 که به عنوان سیستم واحد طبیعی شناخته می شود ، تمام معادلات نسبیتی ساده می شوند و کمیت های انرژی ، تکانه و جرم دارای بعد طبیعی یکسان هستند: [ 13 ]

معادله اغلب به این صورت نوشته می شود زیرا تفاوتطول نسبیتی تکانه انرژی چهار بردار است ، طولی که با جرم سکون یا جرم ثابت در سیستم ها مرتبط است. در جایی که m > 0 و p = 0 ، این معادله دوباره معادل جرم-انرژی

E = m را بیان می کند .

توده سیستم های کامپوزیت

[ ویرایش ]

جرم سکون یک سیستم مرکب مجموع جرم های سکون قطعات نیست، مگر اینکه همه اجزا در حالت سکون باشند. جرم کل یک سیستم مرکب شامل انرژی جنبشی و انرژی میدان در سیستم است.

کل انرژی E یک سیستم ترکیبی را می توان با جمع کردن مجموع انرژی اجزای آن تعیین کرد. کل

→از سیستم، یک کمیت برداری نیز می‌تواند با جمع کردن لحظه‌ای تمام اجزای آن محاسبه شود. با توجه به انرژی کل E و طول (قدر) p بردار تکانه

.

→، جرم ثابت به صورت زیر داده می شود:

در سیستم واحدهای طبیعی که در آن c = 1 ، برای سیستم‌های ذرات (چه مقید و چه غیرمحدود)، مجموع جرم ثابت سیستم به طور معادل با موارد زیر داده می‌شود:

جایی که، دوباره، لحظه لحظه ذره

→ابتدا به صورت بردار جمع می شوند و سپس از مجذور قدر کل حاصله آنها ( هنجار اقلیدسی ) استفاده می شود. این منجر به یک عدد اسکالر می شود که از مقدار اسکالر مجذور انرژی کل کم می شود.

برای چنین سیستمی، در مرکز ویژه قاب تکانه که مجموع گشتاور صفر است، دوباره جرم سیستم (که جرم ثابت نامیده می شود) با انرژی کل سیستم مطابقت دارد یا در واحدهایی که c = 1 با آن یکسان است. این جرم ثابت برای یک سیستم در هر قاب اینرسی به همان مقدار باقی می‌ماند، اگرچه انرژی کل سیستم و تکانه کل تابعی از قاب اینرسی خاص هستند که انتخاب می‌شود و به گونه‌ای بین قاب‌های اینرسی تغییر می‌کند که جرم ثابت را حفظ کند. برای همه ناظران یکسان است. بنابراین جرم ثابت برای سیستم‌های ذرات به همان ظرفیتی عمل می‌کند که «جرم سکون» برای ذرات منفرد عمل می‌کند.

توجه داشته باشید که جرم ثابت یک سیستم ایزوله (یعنی یک سیستم بسته به جرم و انرژی) نیز مستقل از ناظر یا قاب اینرسی است و یک کمیت ثابت و حفظ شده برای سیستم های جدا شده و ناظران منفرد، حتی در طول واکنش های شیمیایی و هسته ای است. مفهوم جرم ثابت به طور گسترده در فیزیک ذرات استفاده می شود ، زیرا جرم ثابت محصولات فروپاشی یک ذره برابر با جرم سکون آن است . این برای اندازه گیری جرم ذرات مانند بوزون Z یا کوارک بالایی استفاده می شود .

بقا در مقابل تغییر ناپذیری جرم در نسبیت خاص

[ ویرایش ]

انرژی کل یک کمیت حفظ شده افزودنی است (برای مشاهده‌کنندگان منفرد) در سیستم‌ها و در واکنش‌های بین ذرات، اما جرم سکون (به معنای مجموع جرم‌های سکون ذرات) ممکن است از طریق رویدادی که در آن توده‌های سکون ذرات حفظ می‌شوند، حفظ نشود. به انواع دیگر انرژی مانند انرژی جنبشی تبدیل می شود. یافتن مجموع جرم‌های تک تک ذرات به ناظرهای متعدد نیاز دارد، یکی برای هر قاب اینرسی استراحت ذره، و این ناظران انرژی جنبشی ذرات را نادیده می‌گیرند. قوانین حفاظت نیاز به یک ناظر واحد و یک قاب اینرسی واحد دارند.

به طور کلی، برای سیستم های ایزوله و ناظران منفرد، جرم نسبیتی حفظ می شود (هر ناظر آن را در طول زمان ثابت می بیند)، اما ثابت نیست (یعنی ناظران مختلف مقادیر متفاوتی را می بینند). جرم ثابت، با این حال، هم حفظ شده و هم ثابت است (همه ناظران منفرد یک مقدار را می بینند، که در طول زمان تغییر نمی کند).

جرم نسبیتی با انرژی مطابقت دارد، بنابراین بقای انرژی به طور خودکار به این معنی است که جرم نسبیتی برای هر ناظر و قاب اینرسی معین حفظ می شود. با این حال، این کمیت، مانند انرژی کل یک ذره، ثابت نیست. این بدان معنی است که، حتی اگر برای هر ناظری در طول یک واکنش حفظ شود، قدر مطلق آن با قاب ناظر و برای ناظران مختلف در فریم های مختلف تغییر می کند.

در مقابل، جرم سکون و توده‌های ثابت سیستم‌ها و ذرات، هم حفظ شده و هم ثابت هستند. به عنوان مثال: یک ظرف بسته گاز (بسته به انرژی نیز) دارای یک سیستم "جرم استراحت" است به این معنا که می توان آن را بر روی ترازو در حال استراحت وزن کرد، حتی در حالی که حاوی اجزای متحرک است. این جرم همان جرم ثابت است که برابر با کل انرژی نسبیتی ظرف (شامل انرژی جنبشی گاز) تنها زمانی است که در مرکز قاب تکانه اندازه گیری شود . درست مانند ذرات منفرد، «جرم سکون» محاسبه‌شده چنین ظرفی از گاز هنگامی که در حال حرکت است تغییر نمی‌کند، اگرچه «جرم نسبیتی» آن تغییر می‌کند.

حتی ممکن است ظرف تحت نیرویی قرار گیرد که به آن سرعت کلی می دهد، یا (به طور معادل) ممکن است از یک قاب اینرسی که در آن سرعت کلی دارد (یعنی از نظر فنی، قابی که مرکز جرم آن در آن است) مشاهده شود. سرعت دارد). در این حالت جرم و انرژی نسبیتی کل آن افزایش می یابد. با این حال، در چنین شرایطی، اگرچه انرژی نسبیتی کل و تکانه کل ظرف افزایش می‌یابد، اما این انرژی و تکانه افزایش‌ها در تعریف جرم ثابت کم می‌شوند ، به طوری که جرم ثابت ظرف متحرک همان مقدار محاسبه می‌شود که اگر اندازه‌گیری شده بود. در حالت استراحت، در مقیاس.