پیکربندی کلی
[ ویرایش ]
تجزیه u 3 سرعته به مولفه های موازی و عمود بر و محاسبه مولفه ها. روال برای u یکسان است.
با شروع از بیان مختصات برای v موازی با محور x ، عبارات برای مؤلفههای عمود بر و موازی را میتوان به صورت برداری به صورت زیر ریخت، ترفندی که برای تبدیلهای لورنتس سایر کمیتهای فیزیکی سه بعدی در اصل در پیکربندی استاندارد نیز کار میکند. . بردار سرعت u را در قاب پرایم نشده و u ′ را در قاب اولیه وارد کنید و آنها را به اجزای موازی (∥) و عمود (⊥) بر بردار سرعت نسبی v تقسیم کنید (به کادر پنهان کردن زیر مراجعه کنید
که با استفاده از نتایج برای پیکربندی استاندارد،
· ضرب نقطه ای است . از آنجایی که اینها معادلات برداری هستند، هنوز هم شکل یکسانی برای v در هر جهتی دارند . تنها تفاوت با عبارات مختصات این است که عبارات فوق به بردارها اشاره دارد نه مؤلفه ها.
یکی بدست می آورد
![{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{\parallel }+\mathbf {u} _{\perp }={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {v} \ cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}}\left[\alpha _{v}\mathbf {u} '+\mathbf {v} +(1-\alpha _{v}){\frac {(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')}{v^{2}}}\mathbf {v } \right]\equiv \mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69619ca3017cfb16ce21f2f2d2e8aea8e3d8cbd5)
که α v = 1/ γ v متقابل ضریب لورنتس است . ترتیب عملوندها در تعریف به گونه ای انتخاب می شود که با پیکربندی استانداردی که فرمول از آن مشتق شده است منطبق باشد.
نشان می دهد
جبر
نشان می دهد
تجزیه به اجزای موازی و عمود بر حسب V
استفاده از هویت در
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '\equiv \mathbf {u} &={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} ' \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}\left[\mathbf {v} +{\frac {\mathbf {u} '}{\gamma _{v}}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{ v}}}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1+{\frac {\mathbf {u} '\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} ')\right],\end{تراز شده}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a4626061e5696673bd8548072f1c7b91eb6e5a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} \equiv \mathbf {u} '&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \ cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{v}}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}( \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} \right]\\&={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}\left[\mathbf {u} -\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\راست]\پایان{تراز شده}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62a3866f450b8fdc5702aed25fb21001564ce506)
که در آن آخرین عبارت با فرمول تحلیل برداری استاندارد v × ( v × u ) = ( v ⋅ u ) v − ( v ⋅ v ) u است . عبارت اول به هر تعداد از ابعاد فضایی گسترش می یابد، اما محصول متقاطع فقط در سه بعد تعریف می شود. اشیاء A ، B ، C با B دارای سرعت v نسبت به A و C دارای سرعت u نسبت به A میتوانند هر چیزی باشند. به طور خاص، آنها می توانند سه قاب باشند، یا می توانند آزمایشگاه، یک ذره در حال پوسیدگی و یکی از محصولات فروپاشی ذره در حال پوسیدگی باشند.
خواص
[ ویرایش ]
جمع نسبیتی 3 سرعت غیر خطی است ، بنابراین به طور کلی
همچنین، به دلیل آخرین اصطلاحات، به طور کلی نه جابجایی است
شایان ذکر است که اگر u و v به سرعتهای قابهای موازی دوتایی اشاره داشته باشند (موازی اولیه با پرایم نشده و موازی با پرایم شده دوبل)، آنوقت، طبق اصل سرعت متقابل انیشتین، قاب بدون پرایم با سرعت -u نسبت به قاب پرایم شده، و قاب پرایم شده با سرعت −v' نسبت به قاب پرایم شده دوبل حرکت می کند . از این رو (- v′ ⊕ − u ) سرعت قاب پرایم نشده نسبت به قاب دوبار پرایم شده است، و می توان انتظار داشت که با استفاده ساده از اصل متقابل،
u ⊕ v′ = −(− v′ ⊕ − u ) داشته باشیم. . این درست نیست، اگرچه بزرگی ها برابر هستند. فریم های بدون پرایم و دو پرایم شده موازی نیستند ، بلکه از طریق یک چرخش به هم مرتبط هستند. این مربوط به پدیده تقدیم توماس است و در اینجا بیشتر به آن پرداخته نمی شود.
هنجارها توسط [ 12 ] ارائه شده است.
![{\displaystyle |\mathbf {u} |^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}={\frac {1}{\left(1+{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {v} +\mathbf {u} '\right)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} '\right)^{2}\right]= |\mathbf {u} '\plus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/587953edb063d6ed45750ec75efb725b92a7e837)
![{\displaystyle |\mathbf {u} '|^{2}\equiv |\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} |^{2}={\frac {1}{\left(1-{\ frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}\right)^{2}}}\left[\left(\mathbf {u} -\mathbf {v} \ راست)^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(\mathbf {v} \times \mathbf {u} \right)^{2}\right]=|\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} |^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97d9fe963a64c1c9b62d8142e0cc490f4dc5b6ec)
اثبات
![{\displaystyle {\begin{aligned}&\left(1+{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} '}{c^{2}}}\right)^{2}|\ mathbf {v} \oplus \mathbf {u} '|^{2}\\&=\left[\mathbf {v} +\mathbf {u} '+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{1+\gamma _{v}}}\mathbf {v} \times (\mathbf {v } \times \mathbf {u} ')\right]^{2}\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ' )^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {1}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{ 2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )^{2}(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )\right]\\&=(\mathbf {v} + \mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u } '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {v^{2}}{c^{4}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\right)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v})(\mathbf {u} ' \cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\alpha _{v})(1+\alpha _{v})}{c^{2}}}\left({\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\راست)^{2}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-( \mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[ (\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(\gamma _{v}-1)}{c^{2}(\gamma _{v}+1)}}\left[ (\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+2{\frac {1}{c^{ 2}}}{\frac {\gamma _{v}}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]+{\frac {(1-\gamma _{v})}{c^{2}(\گاما _{v}+1)}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{v}+1}{\gamma _{v}+1}}\left[(\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} ')^{2}-(\mathbf {v} \cdot \ mathbf {v} )(\mathbf {u} '\cdot \mathbf {u} ')\right]\\&=(\mathbf {v} +\mathbf {u} ')^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}|\mathbf {v} \times \mathbf {u} '|^{2}\end{تراز شده }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3099c302f1314b31c5c0140eb79ed7954d8b14cc)
فرمول معکوس با استفاده از روش استاندارد مبادله v با - v و u با u پیدا شده است .
واضح است که عدم جابجایی خود را به عنوان یک چرخش اضافی از قاب مختصات در زمانی که دو بوست درگیر می شود نشان می دهد، زیرا هنجار مربع برای هر دو مرتبه افزایش یکسان است.
در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.