سرعت نسبی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ | 1:50

سرعت نسبی

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

مرد با حرکت نسبی در قطار

مکانیک کلاسیک
بخشی از یک سریال در
${\textbf {F}}={\frac {d\mathbf {p} {dt}}$ قانون دوم حرکت
تاریخچه جدول زمانی کتاب های درسی
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد مبانی
نشان می دهد فرمولاسیون
نشان می دهد موضوعات اصلی
نشان می دهد چرخش
نشان می دهد دانشمندان
پورتال فیزیک دسته بندی
v تی ه

سرعت نسبی یک جسم B نسبت به ناظر A ، نشان داده شده است

$\mathbf {v} _{B\mid A}$ (همچنین

$\mathbf {v} _{BA}$ یا $\mathbf {v} _{B\operatorname {rel} A}$ )، بردار سرعت B است که در قاب استراحت A اندازه گیری می شود . سرعت نسبی $v_{B\mid A}=\|\mathbf {v} _{B\mid A}\|$ هنجار برداری سرعت نسبی است .

مکانیک کلاسیک

[ ویرایش ]

در یک بعد (غیر نسبیتی)

[ ویرایش ]

ما با حرکت نسبی در کلاسیک ، (یا غیر نسبیتی ، یا تقریب نیوتنی ) شروع می کنیم که همه سرعت ها بسیار کمتر از سرعت نور هستند. این محدودیت با دگرگونی گالیله مرتبط است . شکل مردی را در بالای قطار، در لبه عقب نشان می دهد. در ساعت 13:00 او شروع به راه رفتن به جلو با سرعت 10 کیلومتر در ساعت (کیلومتر در ساعت) می کند. قطار با سرعت 40 کیلومتر در ساعت حرکت می کند. این شکل مرد و قطار را در دو زمان مختلف به تصویر می‌کشد: اول، زمانی که سفر آغاز شد و همچنین یک ساعت بعد در ساعت 2 بعد از ظهر. این شکل نشان می دهد که مرد پس از یک ساعت سفر (با پیاده روی و قطار) 50 کیلومتر از نقطه شروع فاصله دارد. این، طبق تعریف، 50 کیلومتر در ساعت است، که نشان می دهد که نسخه برای محاسبه سرعت نسبی به این روش، اضافه کردن دو سرعت است.

این نمودار ساعت ها و خط کش ها را نمایش می دهد تا به خواننده یادآوری کند که در حالی که منطق پشت این محاسبه بی عیب به نظر می رسد، فرضیات نادرستی در مورد نحوه رفتار ساعت ها و خط کش ها ایجاد می کند. (به آزمایش فکری قطار و سکو مراجعه کنید .) برای تشخیص اینکه این مدل کلاسیک حرکت نسبی نسبیت خاص را نقض می کند ، مثال را به یک معادله تعمیم می دهیم:

$\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid E}} _{\text{50 km/h}}=\underbrace {\mathbf {v} _{M\mid T}} _{\ متن{10 کیلومتر در ساعت}}+\ زیرآب {\mathbf {v} _{T\mid E}} _{\text{40 کیلومتر در ساعت}}،$

که:

$\mathbf {v} _{M\mid E}$ سرعت M نسبت به Earth است ،

$\mathbf {v} _{M\mid T}$ سرعت M نسبت به باران T است ،

$\mathbf {v} _{T\mid E}$ سرعت باران T نسبت به Earth است .

عبارات کاملاً مشروع برای "سرعت A نسبت به B" شامل "سرعت A نسبت به B" و "سرعت A در سیستم مختصاتی که در آن B همیشه در حالت استراحت است". نقض نسبیت خاص به این دلیل رخ می دهد که این معادله برای سرعت نسبی به اشتباه پیش بینی می کند که ناظران مختلف هنگام مشاهده حرکت نور، سرعت های متفاوتی را اندازه گیری می کنند. [ یادداشت 1 ]

در دو بعد (غیر نسبیتی)

[ ویرایش ]

سرعت نسبی بین دو ذره در مکانیک کلاسیک

شکل دو جسم A و B را نشان می دهد که با سرعت ثابت حرکت می کنند. معادلات حرکت عبارتند از:

$\mathbf {r} _{A}=\mathbf {r} _{Ai}+\mathbf {v} _{A}t,$

، $\mathbf {r} _{B}=\mathbf {r} _{Bi}+\mathbf {v} _{B}t,$

جایی که زیرنویس i به جابجایی اولیه (در زمان t برابر با صفر) اشاره دارد. تفاوت بین دو بردار جابجایی،

$\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}$ ، نشان دهنده مکان B همانطور که از A مشاهده می شود.

$\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A}=\underbrace {\mathbf {r} _{Bi}-\mathbf {r} _{Ai}} _{\text {جداسازی اولیه}}+\ زیر پرانتز {(\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A})t} _{\متن{سرعت نسبی}}.$

از این رو:

$\mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B}-\mathbf {v} _{A}.$

بعد از انجام تعویض ها $\mathbf {v} _{A|C}=\mathbf {v} _{A}$ و $\mathbf {v} _{B|C}=\mathbf {v} _{B}$ ، داریم:

$\mathbf {v} _{B\mid A}=\mathbf {v} _{B\mid C}-\mathbf {v} _{A\mid C}\Rightarrow$ . $\mathbf {v} _{B\mid C}=\mathbf {v} _{B\mid A}+\mathbf {v} _{A\mid C}.$

دگرگونی گالیله (غیر نسبیتی)

[ ویرایش ]

برای ساختن نظریه حرکت نسبی منطبق با نظریه نسبیت خاص، باید قرارداد متفاوتی را اتخاذ کنیم. با ادامه کار در حد نیوتنی (غیر نسبیتی) با تبدیل گالیله در یک بعد شروع می کنیم : [ یادداشت 2 ]

$x'=x-vt$

$t'=t$

که در آن x موقعیتی است که توسط یک قاب مرجع که با سرعت حرکت می کند، v، در قاب مرجع "غیرپریم" (x) مشاهده می شود.

[ یادداشت 3 ] با گرفتن دیفرانسیل اول از دو معادله فوق، داریم، $dx'=dx-v\,dt$ و آنچه که ممکن است به نظر بدیهی [ یادداشت 4 ] باشد که $dt'=dt$ ، داریم:

${\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx}{dt}}-v$

برای بازیابی عبارات قبلی برای سرعت نسبی، فرض می‌کنیم که ذره A مسیری را دنبال می‌کند که با dx/dt در مرجع unprimed تعریف شده است (و از این رو dx "/ dt " در قاب اولیه). بنابرایند

$dx/dt=v_{A\mid O}$ و

" $dx'/dt=v_{A\mid O'}$ ، که $O$ و $O'$ به حرکت A که توسط یک ناظر در قاب پرایم نشده و اولیه دیده می شود، مراجعه کنید. به یاد بیاورید که v حرکت یک جسم ساکن در قاب اولیه است، همانطور که از قاب پرایم نشده مشاهده می شود. بنابراین ما داریم $v=v_{O'\mid O}$ ،

و:

$v_{A\mid O'}=v_{A\mid O}-v_{O'\mid O}\Rightarrow v_{A\mid O}=v_{A\mid O'}+v_{O '\mid O},$

که در آن شکل دوم دارای تقارن مورد نظر (به راحتی قابل یادگیری) است.

نسبیت خاص

[ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: نسبیت خاص - ترکیب سرعت ها و فرمول سرعت-افزودن

همانطور که در مکانیک کلاسیک، در نسبیت خاص سرعت نسبی است $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ سرعت یک جسم یا ناظر B در قاب استراحت جسم دیگر یا ناظر A است . با این حال، بر خلاف مورد مکانیک کلاسیک، در نسبیت خاص، به طور کلی چنین نیست

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }=-\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }$

این عدم تقارن عجیب مربوط به تقدم توماس و این واقعیت است که دو تبدیل پی در پی لورنتس سیستم مختصات را می چرخانند. این چرخش تأثیری بر بزرگی یک بردار ندارد و از این رو سرعت نسبی متقارن است.

$\|\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }\|=\|\mathbf {v} _{\mathrm {A|B} }\|=v_{\mathrm {B| A} }=v_{\mathrm {A|B} }$

سرعت های موازی

[ ویرایش ]

در موردی که دو جسم در جهت های موازی حرکت می کنند، فرمول نسبیتی سرعت نسبی از نظر شکل مشابه فرمول جمع سرعت های نسبیتی است.

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} } {1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}$

سرعت نسبی با فرمول به دست می آید:

$v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\left|\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\راست |}{1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}}}$

سرعت های عمود بر هم

[ ویرایش ]

در موردی که دو جسم در جهات عمود بر هم حرکت می کنند، سرعت نسبیتی استvب|الف $\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ با فرمول داده می شود:

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{\gamma _{\mathrm {A} }}} -\mathbf {v} _{\mathrm {A} }$

که

$\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^ {2}}}}$

سرعت نسبی با فرمول داده می شود

$v_{\mathrm {B|A} }={\frac {\sqrt {c^{4}-\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\right )\left(c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}}{c}}$

مورد کلی

[ ویرایش ]

فرمول کلی سرعت نسبی

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }$ یک شی یا ناظر B در قاب استراحت یک شی دیگر یا ناظر A با فرمول به دست می آید: [ 1 ]

$\mathbf {v} _{\mathrm {B|A} }={\frac {1}{\gamma _{\mathrm {A} }\left(1-{\frac {\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{c^{2}}}\right)}}\left[\mathbf {v} _{\mathrm {B} }-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }+\mathbf {v} _{\mathrm {A} }(\گاما _{\mathrm {A} }-1)\left({\frac { \mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }}{v_{\mathrm {A} }^{2}}}-1\right)\ درست]$

که

$\gamma _{\mathrm {A} }={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v_{\mathrm {A} }}{c}}\right)^ {2}}}}$

سرعت نسبی با فرمول داده می شود

$v_{\mathrm {B|A} }={\sqrt {1-{\frac {\left(c^{2}-v_{\mathrm {A} }^{2}\راست)\چپ (c^{2}-v_{\mathrm {B} }^{2}\right)}{\left(c^{2}-\mathbf {v} _{\mathrm {A} }\cdot \mathbf {v} _{\mathrm {B} }\right)^{2}}}}}\cdot c$

https://en.wikipedia.org/wiki/Relative_velocity

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

سرعت نسبی

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین