اثر داپلر نسبیتی برای صدا و نور

[ ویرایش ]

شکل 10. فرمول تغییر داپلر نسبیتی هم برای صوت و هم برای نور قابل استفاده است.

کتاب‌های درسی فیزیک سال اول تقریباً همیشه تغییر داپلر را برای صوت بر حسب سینماتیک نیوتنی تجزیه و تحلیل می‌کنند، در حالی که تغییر داپلر برای نور و پدیده‌های الکترومغناطیسی را از نظر سینماتیک نسبیتی تحلیل می‌کنند. این تصور نادرست را ایجاد می کند که پدیده های صوتی نیاز به تحلیل متفاوتی نسبت به نور و امواج رادیویی دارند.

تجزیه و تحلیل سنتی اثر داپلر برای صدا نشان دهنده یک تقریب سرعت پایین به تجزیه و تحلیل دقیق و نسبیتی است. آنالیز کاملا نسبیتی صوت در واقع به همان اندازه برای پدیده های صوت و الکترومغناطیسی قابل استفاده است.

نمودار فضازمان را در شکل 10 در نظر بگیرید. خطوط جهانی برای یک چنگال تنظیم (منبع) و یک گیرنده هر دو در این نمودار نشان داده شده اند. چنگال تنظیم و گیرنده از O شروع می شود، در این نقطه، چنگال تنظیم شروع به ارتعاش می کند، امواج منتشر می کند و در امتداد محور منفی x حرکت می کند در حالی که گیرنده شروع به حرکت در امتداد محور x مثبت می کند. چنگال تنظیم تا رسیدن به A ادامه می‌یابد، در این مرحله امواج را متوقف می‌کند: بنابراین یک بسته موج تولید شده است و تمام امواج در بسته موج توسط گیرنده دریافت می‌شود و آخرین موج به آن در B می‌رسد. زمان مناسب برای مدت زمان بسته در چارچوب مرجع چنگال تنظیم طول OA است در حالی که زمان مناسب برای مدت زمان بسته موج در چارچوب گیرنده مرجع طول OB است. اگرn{\displaystyle n}سپس امواج ساطع شد

{\displaystyle f_{s}={\frac {n}{|OA|}}}، در حالی که{\displaystyle f_{r}={\frac {n}{|OB|}}}; شیب معکوس AB نشان دهنده سرعت انتشار سیگنال (یعنی سرعت صوت) به رویداد B است . بنابراین می توانیم بنویسیم: [ 12 ]

{\displaystyle c_{s}={\frac {x_{B}-x_{A}}{t_{B}-t_{A}}}}(سرعت صدا)

{\displaystyle v_{s}=-{\frac {x_{A}}{t_{A}}}} {\displaystyle v_{r}={\frac {x_{B}}{t_{B}}}} (سرعت منبع و گیرنده)

{\displaystyle |OA|={\sqrt {t_{A}^{2}-(x_{A}/c)^{2}}}}

{\displaystyle |OB|={\sqrt {t_{B}^{2}-(x_{B}/c)^{2}}}}

{\displaystyle v_{s}}و{\displaystyle v_{r}}کمتر از{\displaystyle c_{s},}زیرا در غیر این صورت عبور آنها از محیط باعث ایجاد امواج ضربه ای می شود که محاسبه را باطل می کند. برخی از جبرهای معمولی نسبت فرکانس ها را نشان می دهند:

معادله 9:{\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {|OA|}{|OB|}}} {\displaystyle ={\frac {1-v_{r}/c_{s}}{1+v_{s}/c_{s}}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c )^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}

اگر{\displaystyle v_{r}}و{\displaystyle v_{s}}در مقایسه با{\displaystyle c}، معادله بالا به فرمول کلاسیک داپلر برای صدا کاهش می یابد.

اگر سرعت انتشار سیگنال {\displaystyle c_{s}}نزدیک می شود{\displaystyle c}، می توان نشان داد که سرعت های مطلق{\displaystyle v_{s}}و{\displaystyle v_{r}}منبع و گیرنده در یک سرعت نسبی واحد مستقل از هر مرجعی به یک رسانه ثابت ادغام می شوند. در واقع، معادله 1 را به دست می آوریم ، فرمول تغییر داپلر طولی نسبیتی. [ 12 ]

تجزیه و تحلیل نمودار فضازمان در شکل 10 فرمولی کلی برای حرکت منبع و گیرنده به طور مستقیم در امتداد خط دید خود، یعنی در حرکت خطی به دست داد.

شکل 11. یک منبع و گیرنده در جهات و سرعت های مختلف در یک قاب حرکت می کنند که سرعت صوت مستقل از جهت است.

شکل 11 یک سناریو را در دو بعد نشان می دهد. منبع با سرعت حرکت می کند{\displaystyle \mathbf {v_{s}} }(در زمان انتشار). سیگنالی را منتشر می کند که با سرعت حرکت می کند{\displaystyle \mathbf {C} }به سمت گیرنده که با سرعت در حال حرکت استv{\displaystyle \mathbf {v_{r}} }در زمان پذیرایی تجزیه و تحلیل در یک سیستم مختصاتی که در آن سرعت سیگنال انجام می شود{\displaystyle |\mathbf {C} |}مستقل از جهت است [ 8 ]

نسبت بین فرکانس های مناسب برای منبع و گیرنده است

{\displaystyle {\frac {f_{r}}{f_{s}}}={\frac {1-{\frac {|\mathbf {v_{r}} |}{\mathbf {|C|} } }\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{r}} })}{1-{\frac {|\mathbf {v_{s}} |}{\mathbf {|C|} }}\cos(\theta _{\mathbf {C,v_{s}} })}}{\sqrt {\frac {1-(v_{s}/c) ^{2}}{1-(v_{r}/c)^{2}}}}}

نسبت پیشرو به شکل اثر داپلر کلاسیک است، در حالی که عبارت جذری نشان دهنده تصحیح نسبیتی است. اگر زوایا را نسبت به قاب منبع در نظر بگیریم، پس{\displaystyle v_{s}=0}و معادله به معادله 7 ، فرمول 1905 اینشتین برای اثر داپلر کاهش می یابد. اگر زوایای مربوط به فریم گیرنده را در نظر بگیریم، پس{\displaystyle v_{r}=0}و معادله به معادله 6 کاهش می یابد ، شکل جایگزین معادله تغییر داپلر که قبلاً مورد بحث قرار گرفت. [ 8 ]