از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

در مکانیک کوانتومی ، مقدار انتظاری ، مقدار مورد انتظار احتمالی نتیجه (اندازه گیری) یک آزمایش است. می‌توان آن را به‌عنوان میانگینی از تمام نتایج ممکن یک اندازه‌گیری در نظر گرفت که بر اساس احتمال آن‌ها وزن می‌شوند، و به این ترتیب، محتمل‌ترین مقدار یک اندازه‌گیری نیست . در واقع مقدار مورد انتظار ممکن است احتمال وقوع صفر داشته باشد (مثلاً اندازه گیری هایی که فقط می توانند مقادیر صحیح را بدست آورند ممکن است میانگین غیر صحیح داشته باشند). این یک مفهوم اساسی در تمام زمینه های فیزیک کوانتومی است .

تعریف عملیاتی

[ ویرایش ]

یک اپراتور را در نظر بگیرید {\displaystyle A}. ارزش انتظار پس از آن است{\displaystyle \langle A\rangle =\langle \psi |A|\psi \rangle }در نماد دیراک با{\displaystyle |\psi \rangle }یک بردار حالت نرمال شده

فرمالیسم در مکانیک کوانتومی

[ ویرایش ]

در تئوری کوانتومی، یک چیدمان آزمایشی توسط قابل مشاهده توصیف می شود {\displaystyle A}اندازه گیری شود و وضعیت {\displaystyle \sigma }از سیستم ارزش انتظاری از{\displaystyle A}در{\displaystyle \sigma }به عنوان مشخص می شود{\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}.

از نظر ریاضی،{\displaystyle A}یک اپراتور خود الحاقی در فضای پیچیده قابل تفکیک هیلبرت است . در رایج ترین مورد استفاده شده در مکانیک کوانتومی، {\displaystyle \sigma }یک حالت خالص است که با یک بردار نرمال شده [ a ] توصیف می شود{\displaystyle \psi }در فضای هیلبرت ارزش انتظاری از{\displaystyle A}در حالت{\displaystyle \psi }به عنوان تعریف شده است

( 1 )

{\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\langle \psi |A|\psi \rangle .}

اگر دینامیک در نظر گرفته شود، یا بردار{\displaystyle \psi }یا اپراتور{\displaystyle A}بسته به اینکه از عکس شرودینگر یا عکس هایزنبرگ استفاده شده باشد ، وابسته به زمان است . با این حال، تکامل ارزش انتظار به این انتخاب بستگی ندارد.

اگر{\displaystyle A}مجموعه کاملی از بردارهای ویژه دارد {\displaystyle \phi _{j}}، با مقادیر ویژه ،{\displaystyle A=\sum _{i}a_{j}|\phi _{j}\rangle \langle \phi _{j}|،}سپس ( 1 ) را می توان به صورت [ 1 ] بیان کرد

( 2 )

{\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\sum _{j}a_{j}|\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}.}

این عبارت شبیه به میانگین حسابی است و معنای فیزیکی فرمالیسم ریاضی را نشان می دهد: مقادیر ویژه.{\displaystyle a_{j}}نتایج احتمالی آزمایش، [ b ] و ضریب مربوط به آنها هستند{\displaystyle |\langle \psi |\phi _{j}\rangle |^{2}}احتمال وقوع این نتیجه است. اغلب به آن احتمال انتقال می گویند .

یک مورد به خصوص ساده زمانی که{\displaystyle A}یک طرح ریزی است و بنابراین فقط دارای مقادیر ویژه 0 و 1 است. این از نظر فیزیکی با یک نوع آزمایش "بله-خیر" مطابقت دارد. در این مورد، مقدار انتظار احتمالی است که آزمایش به "1" منجر شود، و می توان آن را به صورت محاسبه کرد.

( 3 )

{\displaystyle \langle A\rangle _{\psi }=\|A|\psi \rangle \|^{2}.}

در تئوری کوانتومی، ممکن است یک عملگر یک طیف غیر گسسته مانند عملگر موقعیت داشته باشد. {\displaystyle X}در مکانیک کوانتومی این عملگر دارای یک طیف کاملاً پیوسته است ، با مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بسته به یک پارامتر پیوسته،{\displaystyle x}. به طور خاص، اپراتور{\displaystyle X}بر روی یک بردار فضایی عمل می کند{\displaystyle |x\rangle }به عنوان{\displaystyle X|x\rangle =x|x\rangle }. [ 2 ] در این مورد، بردار{\displaystyle \psi }را می توان به عنوان یک تابع با ارزش پیچیده نوشت{\displaystyle \psi (x)}در طیف{\displaystyle X}(معمولا خط واقعی). این به طور رسمی با طرح بردار حالت به دست می آید{\displaystyle |\psi \rangle }بر روی مقادیر ویژه عملگر، مانند حالت گسسته{\textstyle \psi (x)\equiv \langle x|\psi \rangle }. این اتفاق می افتد که بردارهای ویژه عملگر موقعیت یک مبنای کامل برای فضای برداری حالت ها تشکیل می دهند و بنابراین از یک رابطه کامل در مکانیک کوانتومی پیروی می کنند :{\displaystyle \int |x\rangle \langle x|\,dx\equiv \mathbb {I} }

موارد فوق ممکن است برای استخراج عبارت مشترک و انتگرال برای مقدار مورد انتظار ( 4 )، با درج هویت در عبارت برداری مقدار مورد انتظار، و سپس گسترش در مبنای موقعیت استفاده شوند:

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle X\rangle _{\psi }&=\langle \psi |X|\psi \rangle =\langle \psi |\mathbb {I} X\mathbb {I} | \psi \rangle \\&=\iint \langle \psi |x\rangle \langle x|X|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\inint \langle x |\psi \rangle ^{*}x'\langle x|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\iint \langle x|\psi \rangle ^{*} x'\delta (xx')\langle x'|\psi \rangle dx\ dx'\\&=\int \psi (x)^{*}x\psi (x)dx=\int x\psi ( x)^{*}\psi (x)dx=\int x|\psi (x)|^{2}dx\end{تراز شده}}}

جایی که رابطه متعارف بردارهای پایه موقعیت{\displaystyle \langle x|x'\rangle =\delta (xx')}، انتگرال دوگانه را به یک انتگرال منفرد کاهش می دهد. خط آخر از مدول یک تابع با ارزش پیچیده برای جایگزینی استفاده می کند{\displaystyle \psi ^{*}\psi }با{\displaystyle |\psi |^{2}}، که یک جایگزین رایج در انتگرال های مکانیکی کوانتومی است.

سپس مقدار انتظار ممکن است بیان شود، جایی که x نامحدود است، به عنوان فرمول

{\displaystyle \langle X\rangle _{\psi }=\int _{-\infty }^{\infty }\,x\,|\psi (x)|^{2}\,dx.} ( 4 )

یک فرمول مشابه برای عملگر تکانه ، در سیستم هایی که دارای طیف پیوسته است، صادق است.

تمام فرمول های فوق برای حالت های خالص معتبر هستند{\displaystyle \sigma }فقط به طور برجسته در ترمودینامیک و اپتیک کوانتومی ، حالت های مختلط نیز اهمیت دارند. اینها توسط یک اپراتور کلاس ردیابی مثبت توصیف می شوند{\textstyle \rho =\sum _{i}p_{i}|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}, عملگر آماری یا ماتریس چگالی . سپس مقدار انتظار را می توان به عنوان به دست آورد

{\displaystyle \langle A\rangle _{\rho }=\operatorname {Trace} (\rho A)=\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}|A|\psi _{ i}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle A\rangle _{\psi _{i}}.} ( 5 )

فرمولاسیون عمومی

[ ویرایش ]

به طور کلی حالت های کوانتومیσ{\displaystyle \sigma }با توابع خطی نرمال شده مثبت در مجموعه ای از قابل مشاهده ها توصیف می شوند ، که از نظر ریاضی اغلب به عنوان جبر C* در نظر گرفته می شوند . ارزش انتظاری یک قابل مشاهدهالف{\displaystyle A}سپس توسط داده می شود

{\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\sigma (A).} ( 6 )

اگر جبر قابل مشاهده ها به صورت تقلیل ناپذیر روی فضای هیلبرت عمل کند ، و اگر{\displaystyle \sigma }یک تابع عادی است ، یعنی در توپولوژی فوق ضعیف پیوسته است ، سپس می توان آن را به صورت نوشتاری{\displaystyle \sigma (\cdot )=\operatorname {Tr} (\rho \;\cdot )}با اپراتور کلاس ردیابی مثبت{\displaystyle \rho }از ردیابی 1. این فرمول ( 5 ) در بالا را می دهد. در مورد حالت خالص ،{\displaystyle \rho =|\psi \rangle \langle \psi |}یک طرح بر روی یک بردار واحد است{\displaystyle \psi }. سپس{\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \;\psi \rangle }، که فرمول ( 1 ) را در بالا می دهد.

الف{\displaystyle A}فرض می شود که یک اپراتور خود الحاقی است. در حالت کلی، طیف آن نه کاملاً گسسته و نه کاملاً پیوسته خواهد بود. با این حال، می توان نوشتالف{\displaystyle A}در یک تجزیه طیفی ،{\displaystyle A=\int a\,dP(a)}با یک اندازه گیری ارزش پیش بینی شده {\displaystyle P}. برای ارزش انتظاری ازالف{\displaystyle A}در حالت خالص{\displaystyle \sigma =\langle \psi |\cdot \,\psi \rangle }، این یعنی{\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }=\int a\;d\langle \psi |P(a)\psi \rangle ,}که ممکن است به عنوان تعمیم رایج فرمول های ( 2 ) و ( 4 ) بالا دیده شود.

در نظریه های غیر نسبیتی ذرات بسیار محدود (مکانیک کوانتومی، به معنای دقیق)، حالت های در نظر گرفته شده به طور کلی نرمال هستند [ توضیحات لازم ] . با این حال، در سایر حوزه‌های نظریه کوانتومی، حالت‌های غیر نرمال نیز مورد استفاده قرار می‌گیرند: برای مثال، آنها ظاهر می‌شوند. در قالب حالت های KMS در مکانیک آماری کوانتومی رسانه های بی نهایت گسترده، [ 3 ] و به عنوان حالت های باردار در نظریه میدان کوانتومی . [ 4 ] در این موارد، مقدار انتظار تنها با فرمول عمومی تر ( 6 ) تعیین می شود.

مثال در فضای پیکربندی

[ ویرایش ]

به عنوان مثال، یک ذره مکانیکی کوانتومی را در یک بعد فضایی، در نمایش فضای پیکربندی در نظر بگیرید . اینجا فضای هیلبرت است {\displaystyle {\mathcal {H}}=L^{2}(\mathbb {R} )}، فضای توابع قابل انتگرالگیری مربع روی خط واقعی. بردارها{\displaystyle \psi \in {\mathcal {H}}}توسط توابع نشان داده می شوند{\displaystyle \psi (x)}، توابع موج نامیده می شود . حاصل ضرب اسکالر توسط{\textstyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle =\int \psi _{1}^{\ast }(x)\psi _{2}(x)\,dx}. توابع موج یک تفسیر مستقیم به عنوان توزیع احتمال دارند:

{\displaystyle \rho (x)dx=\psi ^{*}(x)\psi (x)dx}

احتمال یافتن ذره را در بازه ای بینهایت کوچک می دهد{\displaystyle dx}در مورد یک نقطه{\displaystyle x}.

به عنوان یک قابل مشاهده، عملگر موقعیت را در نظر بگیرید{\displaystyle Q}، که بر روی توابع موج عمل می کند{\displaystyle (Q\psi )(x)=x\psi (x).}

مقدار انتظار یا مقدار میانگین اندازه گیری ها از{\displaystyle Q}انجام شده بر روی تعداد بسیار زیادی از سیستم های مستقل یکسان توسط زیرخواهد

شد

{\displaystyle \langle Q\rangle _{\psi }=\langle \psi |Q|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\ ,x\,\psi (x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }x\,\rho (x)\,dx.}

مقدار انتظار فقط در صورتی وجود دارد که انتگرال همگرا شود، که برای همه بردارها صدق نمی کندψ{\displaystyle \psi }. این به این دلیل است که عملگر موقعیت نامحدود است وψ{\displaystyle \psi }باید از دامنه تعریف آن انتخاب شود .

به طور کلی، انتظار هر قابل مشاهده را می توان با جایگزینی محاسبه کرد{\displaystyle Q}با اپراتور مناسب به عنوان مثال، برای محاسبه تکانه متوسط، از عملگر تکانه در فضای پیکربندی استفاده می شود {\textstyle \mathbf {p} =-i\hbar \,{\frac {d}{dx}}}. به صراحت، ارزش انتظاری آن است

{\displaystyle \langle \mathbf {p} \rangle _{\psi }=-i\hbar \int _{-\infty }^{\infty }\psi ^{\ast }(x)\,{\frac {d\psi (x)}{dx}}\,dx.}

همه اپراتورها به طور کلی یک مقدار قابل اندازه گیری ارائه نمی دهند. عملگری که دارای مقدار انتظار واقعی خالص است، قابل مشاهده نامیده می شود و مقدار آن را می توان مستقیماً در آزمایش اندازه گیری کرد.

https://en.wikipedia.org/wiki/Expectation_value_%28quantum_mechanics%29

[ ویرایش ]