تابع تحلیلی یک ماتریس

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۳ | 20:34

از ویکی پدیا، دانشنامه آزاد

(از تابع ماتریس هدایت شده است )

در ریاضیات ، هر تابع تحلیلی را می توان برای تعریف یک تابع ماتریسی استفاده کرد که ماتریس های مربعی با ورودی های پیچیده را به ماتریس های مربعی هم اندازه نگاشت می کند.

این برای تعریف نمایی یک ماتریس استفاده می شود که در حل شکل بسته سیستم های معادلات دیفرانسیل خطی دخالت دارد .

بسط تابع اسکالر به توابع ماتریسی

[ ویرایش ]

چندین تکنیک برای بالا بردن یک تابع واقعی به یک تابع ماتریس مربع وجود دارد به طوری که خواص جالب حفظ می شود. همه تکنیک‌های زیر یک تابع ماتریس را به دست می‌دهند، اما دامنه‌هایی که تابع بر روی آنها تعریف می‌شود ممکن است متفاوت باشد.

سری پاور

[ ویرایش ]

اگر تابع تحلیلی f دارای بسط تیلور باشد $f(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots$ سپس یک تابع ماتریس $A\mapsto f(A)$ را می توان با جایگزینی x با ماتریس مربع تعریف کرد : توان ها به توان های ماتریسی تبدیل می شوند ، اضافات به مجموع ماتریس و ضرب در ضرایب تبدیل به ضرب های اسکالر می شوند . اگر سری برای $|x|<r$ ، سپس سری ماتریس مربوطه برای ماتریس های A همگرا می شود به طوری که $\|A\|<r$ برای برخی از هنجارهای ماتریسی که ارضا می شود $\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$ .

ماتریس های قطری

[ ویرایش ]

یک ماتریس مربع A قابل قطر است ، اگر یک ماتریس معکوس P وجود داشته باشد به طوری که $D=P^{-1}\,A\,P$ یک ماتریس مورب است ، یعنی D شکل دارد. $D={\begin{bmatrix}d_{1}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &d_{n}\end{bmatrix}}.$

همانطور که $A=P\,D\,P^{-1},$ تنظیم طبیعی است. $f(A)=P\,{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &f(d_{n}) \end{bmatrix}}\,P^{-1}.$

می توان تأیید کرد که ماتریس f ( A ) به انتخاب خاصی از P بستگی ندارد .

به عنوان مثال، فرض کنید یکی در حال جستجو است $\Gamma (A)=(A-1)!$ برای. ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3\\2&1\end{bmatrix}}.$

یکی دارد ، $A=P{\begin{bmatrix}1-{\sqrt {6}}&0\\0&1+{\sqrt {6}}\end{bmatrix}}P^{-1}~,$ برای . $P={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6}}}\end {bmatrix}}~.$

سپس استفاده از فرمول به سادگی نتیجه می دهد $\Gamma (A)={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6} }}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Gamma (1-{\sqrt {6}})&0\\0&\Gamma (1+{\sqrt {6}})\end{bmatrix }}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}2.8114&0. 4080\\0.2720&2.8114\end{bmatrix}}~.$

$A^{4}={\begin{bmatrix}1/2&1/2\\-{\frac {1}{\sqrt {6}}}&{\frac {1}{\sqrt {6} }}\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}(1-{\sqrt {6}})^{4}&0\\0&(1+{\sqrt {6}})^{4} \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&-{\sqrt {6}}/2\\1&{\sqrt {6}}/2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix} 73&84\\56&73\end{bmatrix}}~.$

تجزیه اردن

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: فرم معمولی جردن

همه ماتریس های پیچیده، چه قطری باشند و چه نباشند، یک شکل عادی جردن دارند الف=پجیپ-1 $A=P\,J\,P^{-1}$ ، که در آن ماتریس J از بلوک های جردن تشکیل شده است . این بلوک ها را به طور جداگانه در نظر بگیرید و سری قدرت را برای بلوک جردن اعمال کنید:

$f\left({\begin{bmatrix}\lambda &1&0&\cdots &0\\0&\lambda &1&\vdots &\vdots \\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ ddots &\lambda &1\\0&\cdots &\cdots &0&\lambda \end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\ frac {f'(\lambda )}{1!}}&{\frac {f''(\lambda )}{2!}}&\cdots &{\frac {f^{(n-1)}( \lambda )}{(n-1)!}}\\0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}&\ vdots &{\frac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\cdots &\ddots &{\frac {f(\lambda )}{0!}}&{\frac {f'(\lambda )}{1!}}\\0&\cdots &\cdots &0&{\frac {f(\lambda )}{0!}}\end{bmatrix}}.$

از این تعریف می توان برای گسترش دامنه تابع ماتریس به فراتر از مجموعه ماتریس هایی با شعاع طیفی کوچکتر از شعاع همگرایی سری توان استفاده کرد. توجه داشته باشید که ارتباطی با تفاوت های تقسیم شده نیز وجود دارد .

یک مفهوم مرتبط، تجزیه جردن-شوالی است که یک ماتریس را به عنوان مجموع یک قسمت مورب و یک بخش بدون توان بیان می کند.

ماتریس های هرمیتی

[ ویرایش ]

یک ماتریس هرمیتی دارای همه مقادیر ویژه واقعی است و همیشه می‌توان آن را با یک ماتریس واحد P مطابق قضیه طیفی مورب قرار داد . در این صورت تعریف اردن طبیعی است. علاوه بر این، این تعریف به فرد اجازه می دهد تا نابرابری های استاندارد را برای توابع واقعی گسترش دهد:

اگر

$f(a)\leq g(a)$ برای همه مقادیر ویژه $A$ ، سپس

$f(A)\preceq g(A)$ . (به عنوان یک کنوانسیون

$X\preceq Y\فلش سمت راست YX$ یک ماتریس مثبت-نیمه معین است .) اثبات مستقیماً از تعریف به دست می آید.

انتگرال کوشی

[ ویرایش ]

فرمول انتگرال کوشی از تجزیه و تحلیل پیچیده همچنین می تواند برای تعمیم توابع اسکالر به توابع ماتریس استفاده شود. فرمول انتگرال کوشی بیان می کند که برای هر تابع تحلیلی f تعریف شده در مجموعه D ⊂ C ، یک تابع ، $f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}\!{\frac {f(z)}{zx}}\,\mathrm {d} z ~،$ که در آن C یک منحنی ساده بسته در داخل دامنه D است که x را در بر می گیرد .

حال، x را با یک ماتریس A جایگزین کنید و یک مسیر C را در داخل D در نظر بگیرید که تمام مقادیر ویژه A را در بر می گیرد . یک امکان برای دستیابی به این امر این است که اجازه دهیم C دایره ای در اطراف مبدا با شعاع بزرگتر از ‖ A‖ برای یک هنجار ماتریس دلخواه‖ · ‖ باشد . سپس، f ( A ) توسط قابل تعریف است

$f(A)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}f(z)\left(zI-A\right)^{-1}\mathrm {d} z\,.$

این انتگرال را می توان به راحتی با استفاده از قانون ذوزنقه که به صورت نمایی در این مورد همگرا می شود ، به صورت عددی ارزیابی کرد. این بدان معناست که دقت نتیجه با دو برابر شدن تعداد گره ها دو برابر می شود. در موارد معمول، این با فرمول سیلوستر دور زده می شود .

این ایده برای عملگرهای خطی محدود در فضای Banach اعمال می‌شود ، که می‌توانند به عنوان ماتریس‌های بی‌نهایت دیده شوند، منجر به حساب تابعی هولومورف می‌شود .

همچنین ببینید: فرمول سیلوستر

اغتشاشات ماتریسی

[ ویرایش ]

سری قدرت تیلور بالا اجازه اسکالر را می دهدx $x$ با ماتریس جایگزین شود. این به طور کلی در هنگام گسترش از نظر درست نیست

$A(\eta )=A+\eta B$ در مورد $\eta =0$ مگر اینکه

$[A,B]=0$ . یک مثال متقابل است

$f(x)=x^{3}$ که دارای یک سری تیلور با طول محدود است . ما این را به دو صورت محاسبه می کنیم،

قانون توزیع
$f(A+\eta B)=(A+\eta B)^{3}=A^{3}+\eta (A^{2}B+ABA+BA^{2})+\eta ^ {2}(AB^{2}+BAB+B^{2}A)+\eta ^{3}B^{3}$
استفاده از بسط تیلور اسکالر برای
$f(a+\eta b)$ ${\begin{aligned}f(a+\eta b)&=f(a)+f'(a){\frac {\eta b}{1!}}+f''(a){\ frac {(\eta b)^{2}}{2!}}+f'''(a){\frac {(\eta b)^{3}}{3!}}\\[.5em] &=a^{3}+3a^{2}(\eta b)+3a(\eta b)^{2}+(\eta b)^{3}\\[.5em]&\to A^ {3}=+3A^{2}(\eta B)+3A(\eta B)^{2}+(\eta B)^{3}\end{تراز شده}}$

عبارت اسکالر جابجایی را فرض می کند در حالی که عبارت ماتریس اینطور نیست، و بنابراین نمی توان آنها را مستقیماً معادل سازی کرد مگر اینکه

$[A,B]=0$ . برای برخی از f ( x ) می توان با استفاده از روش مشابه سری تیلور اسکالر برخورد کرد. به عنوان مثال

${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ . اگر

$A^{-1}$ در آن زمان وجود دارد

$f(A+\eta B)=f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)f(A)$ . سپس بسط اولین ترم از سری توان ارائه شده در بالا پیروی می کند.

$f(\mathbb {I} +\eta A^{-1}B)=\mathbb {I} -\eta A^{-1}B+(-\eta A^{-1}B)^ {2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-\eta A^{-1}B)^{n}$

سپس معیارهای همگرایی سری توان اعمال می شود، که نیاز دارد

$\Vert \eta A^{-1}B\Vert$ تحت هنجار ماتریس مناسب به اندازه کافی کوچک باشد. برای مسائل کلی‌تر، که نمی‌توان آن‌ها را به گونه‌ای بازنویسی کرد که دو ماتریس جابجا شوند، ترتیب محصولات ماتریسی تولید شده با استفاده مکرر از قانون لایب‌نیتس باید ردیابی شود.

تابع دلخواه یک ماتریس 2×2

[ ویرایش ]

یک تابع دلخواه f ( A ) از یک ماتریس 2×2 A دارای فرمول سیلوستر آن ساده شده است.

$f(A)={\frac {f(\lambda _{+})+f(\lambda _{-})}{2}}I+{\frac {A-\left({\frac { tr(A)}{2}}\right)I}{\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^{2}-|A|}}}{\ frac {f(\lambda _{+})-f(\lambda _{-})}{2}}~,$ که

$\lambda _{\pm }$ مقادیر ویژه معادله مشخصه آن است، | A − λI | = 0 ، و توسط داده می شود. $\lambda _{\pm }={\frac {tr(A)}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)^ {2}-|A|}}.$ با این حال، اگر انحطاط وجود داشته باشد، از فرمول زیر استفاده می شود، که در آن f' مشتق f است. $f(A)=f\left({\frac {tr(A)}{2}}\right)I+\mathrm {adj} \left({\frac {tr(A)}{2}} IA\right)f'\left({\frac {tr(A)}{2}}\right).$

نمونه ها

[ ویرایش ]

کلاس های توابع ماتریسی

[ ویرایش ]

با استفاده از ترتیب نیمه معین

$X\preceq Y\فلش سمت راست YX$ مثبت-نیمه معین است و

$X\prec Y\Leftrightarrow YX$ قطعی مثبت است )، برخی از کلاس های توابع اسکالر را می توان به توابع ماتریسی ماتریس های هرمیتی تعمیم داد . [ 2 ]

اپراتور یکنواخت

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع یکنواخت اپراتور

تابع f عملگر یکنواخت اگر و فقط اگر نامیده می شود $0\prec A\preceq H\Rightarrow f(A)\preceq f(H)$ برای همه ماتریس های خود الحاقی A , H با طیف در حوزه f . این مشابه تابع یکنواخت در حالت اسکالر است.

عملگر مقعر/محدب

[ ویرایش ]

تابع f عملگر مقعر اگر و فقط اگر نامیده می شود $\tau f(A)+(1-\tau )f(H)\preceq f\left(\tau A+(1-\tau )H\right)$ برای همه ماتریس های خود الحاقی A ، H با طیف در حوزه f و

$\tau \در [0,1]$ . این تعریف مشابه تابع اسکالر مقعر است . یک تابع محدب عملگر را می توان سوئیچینگ تعریف کرد $\preceq$ به $\succeq$ در تعریف بالا

نمونه ها

[ ویرایش ]

لاگ ماتریس هم یکنواخت و هم عملگر مقعر است. مربع ماتریس عملگر محدب است. ماتریس نمایی هیچ کدام از اینها نیست. قضیه لونر بیان می کند که تابعی در بازه باز عملگر یکنواخت است اگر و تنها در صورتی که دارای امتداد تحلیلی به نیم صفحه مختلط بالا و پایین باشد به طوری که نیمه صفحه بالایی با خودش نگاشت شود. [ 2 ]

https://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_function_of_a_matrix

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

تابع تحلیلی یک ماتریس

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین