نسبت

{\displaystyle {\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}}

ضریب داپلر منبع نسبت به گیرنده نامیده می شود . (این اصطلاح به ویژه در موضوع اخترفیزیک رایج است : به پرتوهای نسبیتی مراجعه کنید .)

طول موج های مربوطه با هم مرتبط هستند

معادله 2:

{\displaystyle {\frac {\lambda _{r}}{\lambda _{s}}}={\frac {f_{s}}{f_{r}}}={\sqrt {\frac {1+ \بتا {1-\beta }}}،}

عبارات یکسان برای تغییر داپلر نسبیتی هنگام انجام تحلیل در چارچوب مرجع گیرنده با منبع متحرک به دست می آید. این با انتظارات اصل نسبیت مطابقت دارد ، که حکم می‌کند نتیجه نمی‌تواند به این بستگی داشته باشد که کدام شی به عنوان جسم در حال سکون در نظر گرفته می‌شود. در مقابل، اثر داپلر غیرنسبیتی کلاسیک به این بستگی دارد که آیا منبع یا گیرنده نسبت به رسانه ساکن است.

[ 5 ] [ 6 ]

اثر داپلر عرضی

[ ویرایش ]

فرض کنید یک منبع و یک گیرنده هر دو با حرکت اینرسی یکنواخت در طول مسیرهایی که با هم برخورد نمی کنند به یکدیگر نزدیک می شوند. اثر داپلر عرضی (TDE) ممکن است به (الف) تغییر اسمی آبی پیش‌بینی‌شده توسط نسبیت خاص اشاره داشته باشد که زمانی اتفاق می‌افتد که فرستنده و گیرنده در نزدیک‌ترین نقطه خود هستند. یا (ب) انتقال اسمی به سرخ که توسط نسبیت خاص پیش‌بینی می‌شود، زمانی که گیرنده فرستنده را در نزدیک‌ترین نزدیکی خود می‌بیند . [ 6 ] اثر داپلر عرضی یکی از پیش‌بینی‌های جدید نظریه نسبیت خاص است. [ 7 ]

اینکه یک گزارش علمی TDE را به‌عنوان یک تغییر قرمز یا آبی توصیف می‌کند، به جزئیات آرایش آزمایشی مرتبط بستگی دارد. به عنوان مثال، توصیف اصلی انیشتین از TDE در سال 1907، آزمایش‌کننده‌ای را توصیف می‌کند که به مرکز (نزدیک‌ترین نقطه) پرتوی « پرتوهای کانال » (پرتوی از یون‌های مثبت که توسط انواع خاصی از لوله‌های تخلیه گاز ایجاد می‌شود) نگاه می‌کند. بر اساس نسبیت خاص، فرکانس ساطع شده یون‌های متحرک با ضریب لورنتس کاهش می‌یابد، به طوری که فرکانس دریافتی با همان ضریب کاهش می‌یابد (به قرمز منتقل می‌شود). [ p 1 ] [ یادداشت 1 ]

از سوی دیگر، کوندیگ (1963) آزمایشی را توصیف کرد که در آن یک جاذب Mössbauer در یک مسیر دایره ای سریع در اطراف یک ساطع کننده مرکزی Mössbauer چرخیده شد. [ ص 3 ] همانطور که در زیر توضیح داده شد، این آرایش تجربی منجر به اندازه‌گیری یک تغییر رنگ آبی توسط کوندیگ شد.

منبع و گیرنده در نزدیکترین نقطه خود هستند

[ ویرایش ]

شکل 2. منبع و گیرنده در نزدیکترین نقطه خود قرار دارند. (الف) تجزیه و تحلیل در قاب گیرنده. (ب) تجزیه و تحلیل در چارچوب منبع.

در این سناریو، نقطه نزدیک‌ترین نقطه، مستقل از فریم است و لحظه‌ای را نشان می‌دهد که هیچ تغییری در فاصله نسبت به زمان وجود ندارد. شکل 2 نشان می دهد که سهولت تحلیل این سناریو به چارچوبی که در آن تحلیل می شود بستگی دارد. [ 6 ]

  • شکل 2a. اگر سناریو را در فریم گیرنده تجزیه و تحلیل کنیم، متوجه می شویم که تحلیل پیچیده تر از آن چیزی است که باید باشد. موقعیت ظاهری یک جرم آسمانی به دلیل حرکت جسم در مدت زمانی که نورش به ناظر می رسد از موقعیت واقعی خود (یا موقعیت هندسی) جابجا می شود. منبع نسبت به گیرنده با زمان گشاد می شود، اما انتقال به قرمز که در این اتساع زمانی به وجود می آید با یک تغییر آبی به دلیل مولفه طولی حرکت نسبی بین گیرنده و موقعیت ظاهری منبع جبران می شود.
  • شکل 2b. اگر در عوض، سناریو را از چارچوب منبع تحلیل کنیم، بسیار ساده تر است. ناظری که در منبع قرار دارد، از بیان مسئله می‌داند که گیرنده در نزدیک‌ترین نقطه به او قرار دارد. این بدان معناست که گیرنده هیچ جزء طولی حرکتی ندارد تا تحلیل را پیچیده کند. (یعنی dr/dt = 0 که در آن r فاصله بین گیرنده و منبع است) از آنجایی که ساعت های گیرنده نسبت به منبع گشاد شده با زمان هستند، نوری که گیرنده دریافت می کند با ضریب گاما به رنگ آبی جابجا می شود. به عبارت دیگر،

معادله 3:

{\displaystyle f_{r}=\گاما f_{s}}

گیرنده منبع را در نزدیکترین نقطه خود می بیند

[ ویرایش ]

شکل 3. تغییر داپلر عرضی برای سناریویی که گیرنده منبع را در نزدیکترین نقطه خود می بیند .

این سناریو معادل این است که گیرنده به زاویه راست مستقیم نسبت به مسیر منبع نگاه کند. تجزیه و تحلیل این سناریو به بهترین وجه از فریم گیرنده انجام می شود. شکل 3 نشان می دهد که گیرنده از زمانی که منبع به گیرنده نزدیک است، با نور روشن می شود، حتی اگر منبع حرکت کرده باشد. [ 6 ] از آنجایی که ساعت منبع در قاب گیرنده اندازه‌گیری می‌شود، و از آنجا که هیچ جزء طولی حرکت آن وجود ندارد، نور منبع که از این نزدیک‌ترین نقطه ساطع می‌شود، با فرکانس به قرمز منتقل می‌شود.

معادله 4:

={\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}}

در ادبیات، بیشتر گزارش‌های جابجایی داپلر عرضی، اثر را بر حسب گیرنده‌ای که در زوایای راست مستقیم به مسیر منبع اشاره می‌کند، تحلیل می‌کنند، بنابراین منبع را در نزدیک‌ترین نقطه خود می‌بینند و یک جابجایی قرمز را مشاهده می‌کنند.

نقطه شیفت فرکانس صفر

[ ویرایش ]

شکل 4. تغییر فرکانس تهی برای پالسی که کمترین فاصله را از منبع تا گیرنده طی می کند رخ می دهد.

با توجه به اینکه در حالتی که منبع متحرک و گیرنده از نظر هندسی در نزدیکترین نزدیکی به یکدیگر قرار دارند، گیرنده یک تغییر رنگ آبی مشاهده می کند، در حالی که در موردی که گیرنده منبع را در نزدیکترین نقطه خود می بیند ، گیرنده یک عدد را مشاهده می کند. انتقال به قرمز، بدیهی است که باید نقطه ای وجود داشته باشد که انتقال آبی به یک انتقال به قرمز تغییر کند. در شکل 2، سیگنال به صورت عمود بر مسیر گیرنده حرکت می کند و به رنگ آبی تغییر می کند. در شکل 3، سیگنال به صورت عمود بر مسیر منبع حرکت می کند و به قرمز منتقل می شود.

همانطور که در شکل 4 مشاهده می شود، تغییر فرکانس تهی برای پالسی که کمترین فاصله را از منبع تا گیرنده طی می کند، رخ می دهد. هنگامی که در فریمی که منبع و گیرنده سرعت یکسانی دارند مشاهده می شود، این پالس به صورت عمود بر مسیر منبع منتشر می شود و عمود بر مسیر گیرنده دریافت می شود. پالس کمی قبل از نزدیکترین نقطه منتشر می شود و کمی بعد از آن دریافت می شود. [ 8 ]

یک جسم در حرکت دایره ای در اطراف دیگری

[ ویرایش ]

شکل 5. اثر داپلر عرضی برای دو سناریو: (الف) گیرنده در یک دایره در اطراف منبع حرکت می کند. (ب) منبعی که به صورت دایره ای در اطراف گیرنده حرکت می کند.

شکل 5 دو گونه از این سناریو را نشان می دهد. هر دو نوع را می توان با استفاده از آرگومان های اتساع زمانی ساده تحلیل کرد. [ 6 ] شکل 5a اساساً معادل سناریویی است که در شکل 2b توضیح داده شده است، و گیرنده نور را از منبع مشاهده می کند که با ضریب آبی تغییر می کند.{\displaystyle \gamma }. شکل 5b اساساً معادل سناریویی است که در شکل 3 توضیح داده شده است و نور به قرمز منتقل شده است.

تنها عارضه ظاهری این است که اجرام در مدار در حال حرکت با شتاب هستند. یک ذره شتاب دار چارچوب اینرسی ندارد که در آن همیشه در حال سکون باشد. با این حال، همیشه می توان یک قاب اینرسی پیدا کرد که به طور لحظه ای با ذره حرکت می کند. این قاب، قاب مرجع لحظه‌ای متحرک (MCRF) ، استفاده از نسبیت خاص را برای تجزیه و تحلیل ذرات شتاب‌دار امکان‌پذیر می‌سازد. اگر یک ناظر اینرسی به یک ساعت در حال شتاب نگاه کند، فقط سرعت لحظه ای ساعت هنگام محاسبه اتساع زمان مهم است. [ 9 ]

با این حال، عکس این قضیه درست نیست. تجزیه و تحلیل سناریوهایی که در آن هر دو جسم در حرکت شتابان هستند نیاز به تحلیل پیچیده تری دارد. عدم درک این نکته باعث سردرگمی و سوء تفاهم شده است.

منبع و گیرنده هر دو در حرکت دایره ای در اطراف یک مرکز مشترک

[ ویرایش ]

شکل 6. منبع و گیرنده در دو سر روتور در فاصله مساوی از مرکز قرار گرفته اند.

فرض کنید منبع و گیرنده در دو طرف مقابل یک روتور در حال چرخش قرار دارند، همانطور که در شکل 6 نشان داده شده است. (نسبیت عام) هر دو به این نتیجه می رسند که نباید بین منبع و گیرنده تغییر داپلر وجود داشته باشد.

در سال 1961، Champeney و Moon یک آزمایش روتور Mössbauer را انجام دادند و دقیقاً این سناریو را آزمایش کردند و دریافتند که فرآیند جذب Mössbauer تحت تأثیر چرخش قرار نمی‌گیرد. [ p 4 ] آنها به این نتیجه رسیدند که یافته های آنها از نسبیت خاص پشتیبانی می کند.

این نتیجه گیری باعث ایجاد اختلاف نظر شد. یک منتقد دائمی نسبیت [ چه کسی؟ ] معتقد بود که، اگرچه این آزمایش با نسبیت عام سازگار بود، اما نسبیت خاص را رد کرد، منظور او این بود که از آنجایی که ساطع کننده و جاذب در حرکت نسبی یکنواخت بودند، نسبیت خاص ایجاب می کرد که یک تغییر داپلر مشاهده شود. مغالطه استدلال این منتقد، همانطور که در بخش Point of Null shift فرکانس نشان داده شد ، این بود که این که یک تغییر داپلر همیشه باید بین دو فریم در حرکت نسبی یکنواخت مشاهده شود، به سادگی درست نیست. [ 10 ] علاوه بر این، همانطور که در بخش نشان داده شد منبع و گیرنده در نزدیکترین نقطه خود هستند ، دشواری تجزیه و تحلیل یک سناریوی نسبیتی اغلب به انتخاب چارچوب مرجع بستگی دارد. تلاش برای تجزیه و تحلیل سناریو در قاب گیرنده شامل جبر خسته کننده زیادی است. ایجاد عدم تغییر داپلر بین امیتر و جاذب در قاب آزمایشگاه بسیار ساده تر و تقریباً بی اهمیت است. [ 10 ]

با این حال، در حقیقت، آزمایش شامپنی و مون هیچ چیز موافق یا مخالفی در مورد نسبیت خاص نداشت. به دلیل تقارن تنظیم، معلوم می‌شود که عملاً هر نظریه قابل تصوری در مورد تغییر داپلر بین فریم‌ها در حرکت اینرسی یکنواخت باید در این آزمایش یک نتیجه صفر داشته باشد. [ 10 ]

به جای فاصله یکسان از مرکز، فرض کنید امیتر و جاذب در فواصل متفاوتی از مرکز روتور هستند. برای یک امیتر در شعاعآر"{\displaystyle R'}و جاذب در شعاع {\displaystyle R} در هر نقطه از روتور، نسبت فرکانس امیتر،{\displaystyle f',}و فرکانس جاذب،{\displaystyle f,}توسط

معادله 5:

{\displaystyle {\frac {f'}{f}}=\left({\frac {c^{2}-R^{2}\omega ^{2}}{c^{2}-R'^ {2}\omega ^{2}}}\right)^{1/2}}

که{\displaystyle \omega }سرعت زاویه ای روتور است. منبع و امیتر لازم نیست 180 درجه از هم فاصله داشته باشند، اما می توانند در هر زاویه ای نسبت به مرکز باشند. [ ص 5 ] [ 11 ]

حرکت در جهت دلخواه

[ ویرایش ]

شکل 7. تغییر داپلر با حرکت منبع با زاویه دلخواه نسبت به خط بین منبع و گیرنده.

تجزیه و تحلیل مورد استفاده در بخش اثر داپلر طولی نسبیتی را می توان به روشی ساده برای محاسبه شیفت داپلر برای مواردی که حرکات اینرسی منبع و گیرنده در هر زاویه مشخصی هستند گسترش داد. [ 4 ] [ 12 ] شکل 7 سناریویی را از فریم گیرنده نشان می دهد که منبع با سرعت حرکت می کند.v{\displaystyle v}در یک زاویهθr{\displaystyle \theta _{r}}در قاب گیرنده اندازه گیری می شود. جزء شعاعی حرکت منبع در طول خط دید برابر است با

{\displaystyle v\cos {\theta _{r}}.}

معادله زیر را می توان به عنوان تغییر داپلر کلاسیک برای یک منبع ثابت و متحرک تعبیر کرد که توسط عامل لورنتس تغییر یافته است.

{\displaystyle \gamma :}

{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma \left(1+\beta \cos \theta _{r}\right)}}.}

در صورتی که{\displaystyle \theta _{r}=90^{\circ }}، اثر داپلر عرضی بدست می آید :

{\displaystyle f_{r}={\frac {f_{s}}{\gamma }}.\,}

انیشتین در مقاله خود در سال 1905 در مورد نسبیت خاص، معادله ای متفاوت برای معادله تغییر داپلر به دست آورد. پس از تغییر نام متغیرها در معادله انیشتین برای سازگاری با موارد استفاده شده در اینجا، معادله او می‌خواند.

معادله 7:

{\displaystyle f_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)f_{s}.}

تفاوت ها از این واقعیت ناشی می شود که انیشتین زاویه را ارزیابی کرد{\displaystyle \theta _{s}}با توجه به قاب استراحت منبع به جای قاب استراحت گیرنده.{\displaystyle \theta _{s}}برابر نیست{\displaystyle \theta _{r}}به دلیل تأثیر انحراف نسبیتی . معادله انحراف نسبیتی:

معادله 8:

{\displaystyle \cos \theta _{r}={\frac {\cos \theta _{s}-\beta }{1-\beta \cos \theta _{s}}}\,}

با جایگزینی معادله انحراف نسبیتی معادله 8 به معادله 6، معادله 7 به دست می آید ، که سازگاری این معادلات متناوب را برای تغییر داپلر نشان می دهد. [ 12 ]

تنظیم

{\displaystyle \theta _{r}=0}در معادله 6 یا

{\displaystyle \theta _{s}=0}در معادله 7 معادله 1 ، بیانی برای تغییر داپلر طولی نسبیتی به دست می‌دهد .

یک رویکرد چهار بردار برای استخراج این نتایج ممکن است در لاندو و لیفشیتز (2005) یافت شود. [ 13 ]

در امواج الکترومغناطیسی، هر دو دامنه میدان الکتریکی و مغناطیسی E و B به روشی مشابه فرکانس تبدیل می‌شوند: [ 14 ]

{\displaystyle E_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)E_{s}}

{\displaystyle B_{r}=\gamma \left(1-\beta \cos \theta _{s}\right)B_{s}.}