2-انقباض طول

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و نهم آبان ۱۴۰۳ | 0:14

تقارن

اصل نسبیت (طبق آن قوانین طبیعت در قاب های مرجع اینرسی ثابت است) مستلزم این است که انقباض طول متقارن باشد: اگر میله ای در یک قاب اینرسی ساکن باشد. $S$ ، طول مناسب خود را دارد $S$ و طول آن در انقباض است " $S'$ . با این حال، اگر میله ای در آن قرار گیرداس" $S'$ ، طول مناسب خود را دارداس" $S'$ و طول آن در انقباض است $S$ . این را می توان با استفاده از نمودارهای متقارن مینکوفسکی به وضوح نشان داد ، زیرا تبدیل لورنتس از نظر هندسی با چرخش در فضازمان چهار بعدی مطابقت دارد . [ 9 ] [ 10 ]

نیروهای مغناطیسی

[ ویرایش ]

مقاله اصلی: الکترومغناطیس نسبیتی

نیروهای مغناطیسی توسط انقباض نسبیتی ایجاد می شوند که الکترون ها نسبت به هسته اتم در حال حرکت هستند. نیروی مغناطیسی بر یک بار متحرک در کنار سیم حامل جریان، نتیجه حرکت نسبیتی بین الکترون ها و پروتون ها است. [ 11 ] [ 12 ]

در سال 1820، آندره ماری آمپر نشان داد که سیم های موازی با جریان هایی در یک جهت، یکدیگر را جذب می کنند. در چارچوب مرجع الکترون‌ها، سیم متحرک اندکی منقبض می‌شود و باعث می‌شود پروتون‌های سیم مقابل متراکم‌تر شوند . از آنجایی که الکترون های سیم مقابل نیز در حال حرکت هستند، (به اندازه زیاد) منقبض نمی شوند. این منجر به عدم تعادل موضعی ظاهری بین الکترون ها و پروتون ها می شود. الکترون های متحرک در یک سیم به پروتون های اضافی در سیم دیگر جذب می شوند. عکس آن را نیز می توان در نظر گرفت. در چارچوب مرجع پروتون ایستا، الکترون ها در حال حرکت و انقباض هستند و در نتیجه عدم تعادل یکسانی ایجاد می شود. سرعت رانش الکترون نسبتاً بسیار آهسته است، در حد یک متر در ساعت، اما نیروی بین الکترون و پروتون آنقدر زیاد است که حتی در این سرعت بسیار کم، انقباض نسبیتی اثرات قابل توجهی ایجاد می کند.

این اثر همچنین برای ذرات مغناطیسی بدون جریان اعمال می‌شود و جریان با اسپین الکترون جایگزین می‌شود. [ نیازمند منبع ]

تأییدهای تجربی

[ ویرایش ]

همچنین ببینید: آزمایشات نسبیت خاص

هر ناظری که همراه با جسم مشاهده شده حرکت می کند، نمی تواند انقباض جسم را اندازه گیری کند، زیرا می تواند خود و جسم را که در همان چارچوب اینرسی در حال سکون هستند، مطابق با اصل نسبیت قضاوت کند (همانطور که توسط آزمایش تروتن-رانکین نشان داده شد ). . بنابراین انقباض طول را نمی توان در قاب استراحت جسم اندازه گیری کرد، بلکه فقط در چارچوبی که جسم مشاهده شده در آن حرکت می کند. بعلاوه، حتی در چنین قاب غیر متحرک، تأیید تجربی مستقیم انقباض طول دشوار است، زیرا (الف) در وضعیت فعلی فناوری، اشیاء با گسترش قابل توجهی نمی توانند تا سرعت های نسبیتی شتاب شوند، و (ب) ) تنها اجسامی که با سرعت مورد نیاز حرکت می کنند، ذرات اتمی هستند که امتداد فضایی آنها برای اندازه گیری مستقیم انقباض بسیار کوچک است.

با این حال، تأییدهای غیرمستقیم این اثر در یک قاب غیر متحرک وجود دارد :

این نتیجه منفی یک آزمایش معروف بود که نیاز به معرفی انقباض طول داشت: آزمایش مایکلسون-مورلی (و بعدها نیز آزمایش کندی-تورندایک ). در نسبیت خاص توضیح آن به شرح زیر است: در قاب سکون خود تداخل سنج را می توان طبق اصل نسبیت در حالت سکون در نظر گرفت، بنابراین زمان انتشار نور در همه جهات یکسان است. اگرچه در یک قاب که تداخل سنج در حرکت است، پرتو عرضی باید یک مسیر مورب طولانی‌تر را نسبت به قاب غیر متحرک طی کند، بنابراین زمان سفر طولانی‌تر می‌شود، عاملی که توسط آن پرتو طولی با زمان‌گیری به تأخیر می‌افتد. L /( c − v ) و L /( c + v ) به ترتیب برای سفرهای جلو و عقب حتی طولانی تر است. بنابراین، در جهت طولی، تداخل سنج قرار است منقبض شود، تا برابری هر دو زمان سفر مطابق با نتایج آزمایشی منفی بازیابی شود. بنابراین سرعت دو طرفه نور ثابت می ماند و زمان انتشار رفت و برگشت در امتداد بازوهای عمودی تداخل سنج مستقل از حرکت و جهت آن است.
با توجه به ضخامت اتمسفر که در چارچوب مرجع زمین اندازه گیری می شود، طول عمر بسیار کوتاه میون ها نباید به آنها اجازه دهد حتی با سرعت نور به سطح سفر کنند، اما با این وجود این کار را انجام می دهند. با این حال، از چارچوب مرجع زمین، این تنها با کاهش سرعت میون توسط اتساع زمان ممکن می شود . با این حال، در قاب میون، اثر با اتمسفر در حال انقباض توضیح داده می‌شود و سفر را کوتاه می‌کند. [ 13 ]
یون‌های سنگینی که در حالت استراحت کروی هستند، هنگام حرکت تقریباً با سرعت نور، باید شکل «پنکیک» یا دیسک‌های مسطح را به خود بگیرند و در واقع، نتایج به‌دست‌آمده از برخورد ذرات را تنها زمانی می‌توان توضیح داد که افزایش چگالی نوکلئون ناشی از انقباض طول در نظر گرفته شده است. [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ]
توانایی یونیزاسیون ذرات باردار الکتریکی با سرعت نسبی زیاد بیشتر از حد انتظار است. در فیزیک ماقبل نسبیتی، توانایی باید در سرعت های بالا کاهش یابد، زیرا زمانی که ذرات یونیزه کننده در حال حرکت می توانند با الکترون های اتم ها یا مولکول های دیگر برهمکنش کنند، کاهش می یابد. با این حال، در نسبیت، توانایی یونیزاسیون بالاتر از حد انتظار را می توان با انقباض طول میدان کولن در فریم هایی که در آن ذرات یونیزان در حال حرکت هستند توضیح داد، که قدرت میدان الکتریکی آنها را به طور طبیعی نسبت به خط حرکت افزایش می دهد. [ 13 ] [ 17 ]
در لیزرهای سینکروترون و الکترون آزاد ، الکترون‌های نسبیتی به یک موج‌دار تزریق می‌شوند ، به طوری که تشعشع سنکروترون تولید می‌شود. در چارچوب مناسب الکترون‌ها، موج‌ساز منقبض می‌شود که منجر به افزایش فرکانس تابش می‌شود. علاوه بر این، برای یافتن فرکانس اندازه‌گیری شده در چارچوب آزمایشگاهی، باید از اثر داپلر نسبیتی استفاده کرد . بنابراین، تنها با کمک انقباض طول و اثر نسبیتی داپلر، طول موج بسیار کوچک تابش موج‌دار را می‌توان توضیح داد. [ 18 ] [ 19 ]

واقعیت انقباض طول

[ ویرایش ]

نمودار مینکوفسکی آزمایش فکری اینشتین در سال 1911 در مورد انقباض طول. دو میله به طول استراحتالف"ب"=الف"ب"=L0 $A'B'=A''B''=L_{0}$ در حال حرکت با0.6ج $0.6c$ در جهت مخالف، در نتیجهالف∗ب∗.

در سال 1911 ولادیمیر واریکاک اظهار داشت که به گفته لورنتس، فرد انقباض طول را به شیوه ای عینی می بیند، در حالی که به گفته انیشتین "فقط یک پدیده ظاهری و ذهنی است که ناشی از نحوه تنظیم ساعت و اندازه گیری طول ما است." [ 20 ] [ 21 ] انیشتین ردی را منتشر کرد:

نویسنده به طور غیر قابل توجیهی تفاوت دیدگاه لورنتز و من را در مورد حقایق فیزیکی بیان کرده است . این سوال که آیا انقباض طول واقعا وجود دارد یا خیر، گمراه کننده است. تا آنجایی که برای یک ناظر متحرک وجود ندارد، «واقعاً» وجود ندارد. اگرچه «واقعاً» وجود دارد، یعنی به گونه‌ای که بتوان آن را اصولاً با ابزارهای فیزیکی توسط یک ناظر غیرقابل نشان داد. [ 22 ]
- آلبرت اینشتین، 1911

انیشتین همچنین در آن مقاله استدلال کرد که انقباض طول صرفاً محصول تعاریف دلخواه در مورد نحوه اجرای مقررات ساعت و اندازه‌گیری طول نیست. او آزمایش فکری زیر را ارائه کرد: اجازه دهید A'B' و A"B" نقاط انتهایی دو میله با طول L 0 یکسان باشند که به ترتیب در x' و x" اندازه گیری می شوند. بگذارید آنها در جهت مخالف در امتداد x حرکت کنند. * محور، در حالت سکون، با همان سرعت نسبت به آن، نقاط انتهایی A'A" و سپس B'B در نقطه B* به هم می رسند A*B* کوتاهتر از A'B' یا A"B است، که می توان آن را با قرار دادن یکی از میله ها نسبت به آن محور نشان داد [ 22 ] .

پارادوکس ها

[ ویرایش ]

به دلیل کاربرد سطحی فرمول انقباض، پارادوکس هایی ممکن است رخ دهد. به عنوان مثال می توان به پارادوکس نردبان و پارادوکس سفینه فضایی بل اشاره کرد . با این حال، این پارادوکس ها را می توان با استفاده صحیح از نسبیت همزمانی حل کرد. پارادوکس معروف دیگر پارادوکس Ehrenfest است که ثابت می‌کند مفهوم اجسام صلب با نسبیت سازگار نیست و کاربرد صلبیت Born را کاهش می‌دهد و نشان می‌دهد که برای یک ناظر دوار همزمان هندسه در واقع غیر اقلیدسی است .

جلوه های بصری

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چرخش ترل

فرمول روی دیوار در لیدن، هلند. لورنتس رئیس فیزیک نظری در دانشگاه لیدن (1877-1910) بود.

انقباض طول به اندازه گیری موقعیت در زمان های همزمان بر اساس یک سیستم مختصات اشاره دارد. این می تواند نشان دهد که اگر بتوان از یک جسم سریع در حال حرکت عکس گرفت، آن تصویر جسم را در جهت حرکت منقبض شده نشان می دهد. با این حال، چنین جلوه‌های بصری اندازه‌گیری‌های کاملاً متفاوتی هستند، زیرا چنین عکسی از فاصله دور گرفته می‌شود، در حالی که انقباض طول را فقط می‌توان مستقیماً در محل دقیق نقاط انتهایی جسم اندازه‌گیری کرد. نویسندگان متعددی مانند راجر پنروز و جیمز ترل نشان دادند که اجسام متحرک معمولاً در طول یک عکس منقبض به نظر نمی رسند. [ 23 ] این نتیجه توسط Victor Weisskopf در مقاله Physics Today منتشر شد . [ 24 ] به عنوان مثال، برای یک قطر زاویه ای کوچک، یک کره متحرک دایره ای باقی می ماند و می چرخد. [ 25 ] این نوع جلوه چرخش بصری چرخش پنروز-ترل نامیده می شود. [ 26 ]

اشتقاق

[ ویرایش ]

انقباض طول را می توان به روش های مختلفی به دست آورد:

طول متحرک شناخته شده

[ ویرایش ]

در یک قاب مرجع اینرسی S، اجازه دهید $x_{1}$ و $x_{2}$ نقطه پایانی یک جسم در حال حرکت را نشان می دهد. در این قاب طول جسمL $L$ با توجه به قراردادهای فوق، با تعیین موقعیت همزمان نقاط انتهایی آن در $t_{1}=t_{2}$ . در همین حال، طول مناسب این جسم، همانط $L_{0}^{'}=L\cdot \gamma \\.$ ور که در قاب استراحت S' اندازه گیری می شود، با استفاده از تبدیل لورنتس قابل محاسبه است. تبدیل مختصات زمانی از S به S به زمان‌های مختلفی منجر می‌شود، اما این مشکلی ندارد، زیرا جسم در S' در حال استراحت است، جایی که اهمیتی ندارد که چه زمانی نقاط پایانی اندازه‌گیری می‌شوند. بنابراین تبدیل مختصات مکانی کافی است که به دست می‌دهد: [ 7 ]

$x'_{1}=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)\quad {\text{and}}\quad x'_{2}=\gamma \left( x_{2}-vt_{2}\right)\ \ .$

از آنجایی که $t_{1}=t_{2}$ ، و با تنظیم $L=x_{2}-x_{1}$ و $L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}$ ، طول مناسب در S به دست می آید

( 1 )

بنابراین طول جسم، اندازه گیری شده در قاب S، توسط یک عامل منقبض می شودγ $\gamma$ :

$L=L_{0}^{'}/\گاما \\ .$

( 2 )

به همین ترتیب، طبق اصل نسبیت، جسمی که در S ساکن است نیز در S' منقبض می شود. با تبادل متقارن علائم و اعداد اول فوق نتیجه می شود که

( 3 )

$L_{0}=L'\cdot \gamma \\.$

بنابراین یک جسم در حالت استراحت در S، وقتی در S اندازه گیری شود، طول منقبض خواهد داشت

$L'=L_{0}/\گاما \\ .$

( 4 )

طول مناسب شناخته شده

[ ویرایش ]

برعکس، اگر جسم در S قرار داشته باشد و طول مناسب آن مشخص باشد، همزمانی اندازه‌گیری‌ها در نقاط انتهایی جسم باید در فریم S دیگر در نظر گرفته شود، زیرا جسم دائماً موقعیت خود را در آنجا تغییر می‌دهد. بنابراین، هر دو مختصات مکانی و زمانی باید تبدیل شوند: [ 27 ]

${\begin{aligned}x_{1}^{'}&=\gamma \left(x_{1}-vt_{1}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&x_{2} ^{'}&=\gamma \left(x_{2}-vt_{2}\right)\\t_{1}^{'}&=\gamma \left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right)&\quad \mathrm {and} \quad &&t_{2}^{'}&=\gamma \left(t_{2} -vx_{2}/c^{2}\right)\end{aligned}}$

محاسبه فاصله طول $\Delta x'=x_{2}^{\prime }-x_{1}^{\prime }$ و همچنین با فرض اندازه گیری زمان همزمان $\Delta t'=t_{2}^{\prime }-t_{1}^{\prime }=0$ و با اتصال به طول مناسب $L_{0}=x_{2}-x_{1}$ ، به شرح زیر است:

${\begin{aligned}\Delta x'&=\gamma \left(L_{0}-v\Delta t\right)&(1)\\\Delta t'&=\gamma \left(\ دلتا t-{\frac {vL_{0}}{c^{2}}}\right)=0&(2)\end{تراز شده}}$

معادله (2) به دست می دهد

$\Delta t={\frac {vL_{0}}{c^{2}}}$

که وقتی به (1) وصل می شود، این را نشان می دهد $\Delta x'$ به طول قرارداد تبدیل می شود $L'$ :

$L'=L_{0}/\gamma$ .

به همین ترتیب، همان روش یک نتیجه متقارن برای یک شی در حالت استراحت در S به دست می دهد:

$L=L_{0}^{'}/\gamma$ .

استفاده از اتساع زمان

[ ویرایش ]

انقباض طول را می توان از اتساع زمان نیز بدست آورد ، [ 28 ] که بر اساس آن نرخ یک ساعت "متحرک" منفرد (نشان دهنده زمان مناسب آن است. تی0 $T_{0}$ ) نسبت به دو ساعت "استراحت" هماهنگ شده کمتر است (نشان می دهدتی $T$ ). اتساع زمان به صورت تجربی چندین بار تأیید شد و با رابطه نشان داده می شود:

$T=T_{0}\cdot \gamma$

یک میله با طول مناسب را فرض کنیدL0 $L_{0}$ در حال استراحت دراس $S$ و یک ساعت در حالت استراحت دراس" $S'$ با سرعت در امتداد یکدیگر حرکت می کنندv $v$ . از آنجایی که بر اساس اصل نسبیت، بزرگی سرعت نسبی در هر یک از قاب های مرجع یکسان است، زمان های حرکت مربوطه ساعت بین نقاط انتهایی میله با $T=L_{0}/v$ در $S$ و $T'_{0}=L'/v$ در $S'$ ، بنابراین $L_{0}=Tv$ و $L'=T'_{0}v$ . با درج فرمول اتساع زمانی، نسبت بین این طول ها برابر است با:

${\frac {L'}{L_{0}}}={\frac {T'_{0}v}{Tv}}=1/\gamma$ .

بنابراین، طول اندازه گیری شده دراس" $S'$ توسط

$L'=L_{0}/\gamma$

بنابراین از آنجایی که زمان سفر ساعت از طریق میله طولانی تر استاس $S$ از دراس" $S'$ (اتساع زمان دراس $S$ طول میله نیز بیشتر استاس $S$ از دراس" $S'$ (انقباض طول دراس" $S'$ ). به همین ترتیب، اگر ساعت در حالت استراحت بوداس $S$ و میله دراس" $S'$ ، روش فوق را می دهد

L=L0"/γ $L=L'_{0}/\gamma$

ملاحظات هندسی

[ ویرایش ]

کوبوئیدها در فضازمان اقلیدسی و مینکوفسکی

ملاحظات هندسی اضافی نشان می دهد که انقباض طول را می توان به عنوان یک پدیده مثلثاتی ، با قیاس با برش های موازی از طریق یک مکعب قبل و بعد از چرخش در E 3 در نظر گرفت (شکل نیمه چپ را در سمت راست ببینید). این آنالوگ اقلیدسی تقویت یک مکعب در E 1,2 است . با این حال، در مورد دوم، می توانیم مکعب تقویت شده را به عنوان صفحه جهانی یک صفحه متحرک تفسیر کنیم.

تصویر : چپ: مکعبی چرخانده در فضای اقلیدسی سه بعدی E 3 . سطح مقطع در جهت چرخش نسبت به قبل از چرخش طولانی تر است. سمت راست: صفحه جهانی یک صفحه نازک متحرک در فضازمان مینکوفسکی (با یک بعد فضایی سرکوب شده) E 1,2 که یک مکعب تقویت شده است . سطح مقطع در جهت تقویت نسبت به قبل از تقویت نازکتر است. در هر دو مورد، جهات عرضی بی‌تأثیر هستند و سه صفحه که در هر گوشه مکعب‌ها به هم می‌رسند متعامد هستند ( به معنای E 1،2 در سمت راست، و به معنای E3 در سمت چپ).

در نسبیت خاص، تبدیل‌های پوانکاره دسته‌ای از تبدیل‌های همبسته هستند که می‌توان آن‌ها را به‌عنوان تبدیل بین نمودارهای مختصات دکارتی جایگزین در فضازمان مینکوفسکی که مربوط به حالت‌های جایگزین حرکت اینرسی (و انتخاب‌های مختلف یک مبدا ) است، مشخص کرد. تبدیل‌های لورنتس تبدیل‌های پوانکاره هستند که تبدیل‌های خطی (حفظ مبدا) هستند. تبدیل های لورنتس در هندسه مینکوفسکی نقش یکسانی را ایفا می کنند ( گروه لورنتس گروه همسانگردی ایزومتریک های خود فضازمان را تشکیل می دهد ) که توسط چرخش در هندسه اقلیدسی بازی می شود. در واقع، نسبیت خاص تا حد زیادی به مطالعه نوعی مثلثات غیر اقلیدسی در فضازمان مینکوفسکی می رسد، همانطور که در جدول زیر نشان داده شده است:

سه مثلثات صفحه
مثلثات	دایره ای	سهموی	هایپربولیک
هندسه کلینی	صفحه اقلیدسی	فضای گالیله	فضای مینکوفسکی
نماد	E 2	E 0,1	E 1,1
فرم درجه دوم	مثبت قطعی	منحط	غیر منحط اما نامعین
گروه ایزومتریک	E (2)	E (0,1)	E (1،1)
گروه ایزوتروپی	SO (2)	SO (0,1)	SO (1،1)
نوع ایزوتروپی	چرخش ها	قیچی	افزایش می دهد
جبر بر R	اعداد مختلط	اعداد دوتایی	تقسیم اعداد مختلط
ε 2	-1	0	1
تفسیر فضا-زمان	هیچ کدام	فضازمان نیوتنی	فضازمان مینکوفسکی
شیب	tan φ = m	tanp φ = u	tanh φ = v
"کسینوس"	cos φ = (1 + m 2 ) -1/2	cosp φ = 1	cosh φ = (1 - v 2 ) -1/2
"سینوس"	sin φ = m (1 + m 2 ) -1/2	sinp φ = u	sinh φ = v (1 - v 2 ) -1/2
"تقاطع"	sec φ = (1 + m 2 ) 1/2	secp φ = 1	sech φ = (1 - v 2 ) 1/2
"همراه"	csc φ = m -1 (1 + m2 ) 1/2	cscp φ = u −1	csch φ = v -1 (1 - v 2 ) 1/2

مراجع

https://en.wikipedia.org/wiki/Length_contraction

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی