ریاضیات

مرکز جرمِ چهاروجهی (تتراهدرون)

برای یک چهاروجهی همگن و یکنواخت، مرکز جرم جسمی (solid centroid) برابر است با میانگین برداری چهار رأس:

r_cm = (r₁ + r₂ + r₃ + r₄) / 4

توضیح کوتاه

چهاروجهی یک نمونهٔ سه‌بعدی از «simplex» است و مشابه مثلث در دو بعد،

centroid آن میانگین رئوسش می‌شود. این نتیجه را می‌توان با پارامتری‌سازی نقاط داخلی و انتگرال‌گیری یا با تجزیهٔ شکل به ساده‌ترها اثبات کرد.

نتیجهٔ مفید

اگر سه رأس پایهٔ مثلث را A,B,C داشته باشیم و مرکز آن‌ها را G_b بنامیم و رأس بالایی D، آنگاه:

r_cm = (3·r_{G_b} + r_D) / 4

مثال عددی

A = (0,0,0)

B = (1,0,0)

C = (0,1,0)

D = (0,0,1)

r_cm = (A+B+C+D) / 4 = (0.25, 0.25, 0.25)

تذکر دربارهٔ پوستهٔ سطحی

اگر فقط سطوح (وجوه) چهاروجهی جرم داشته باشند (یعنی پوسته نازک)، مرکز جرم سطحی متفاوت است و باید میانگین مراکز هر وجه را با وزن مساحت‌شان حساب کرد.

حالتِ جرم‌های نقطه‌ای یا چگالی نابرابر

r_cm = (Σ m_i r_i) / (Σ m_i)

که در آن m_i جرم یا سهم جرم در ناحیهٔ متناظر است.