ریاضیات

عالی 🌟

پس من یک نسخهٔ کامل و جامع برای مرکز جرم همهٔ اشکال پرکاربرد آماده می‌کنم، شامل:

میله (مورب و خمیده)

مثلث

مستطیل

ذوزنقه (با فرمول اصلاح‌شده)

دایره و دایره با سوراخ

نیم‌کره

مخروط

ترکیبی از چند جسم

همهٔ مثال‌ها و فرمول‌ها عددی و آمادهٔ استفاده در بلاگفا هستند.

---

راهنمای جامع مرکز جرم اشکال پرکاربرد

۱. میله نازک و همگن

میلهٔ مورب بین دو نقطه:

x_cm = (x1 + x2)/2

y_cm = (y1 + y2)/2

میلهٔ خمیده (کمان دایره):

r_cm = (2*R*sin(θ/2)) / θ

مثال: R=1m, θ=π/2 → r_cm ≈ 0.9 m

۲. صفحه مثلثی همگن

x_cm = (x1 + x2 + x3)/3

y_cm = (y1 + y2 + y3)/3

مثال: A(0,0), B(6,0), C(0,9) → (x_cm, y_cm) = (2, 3)

۳. صفحه ذوزنقه‌ای همگن

y_cm = h*(b1 + 2*b2)/(3*(b1+b2))

مثال: b1=10, b2=4, h=6 → y_cm ≈ 2.57 cm

۴. مستطیل همگن

x_cm = b/2

y_cm = h/2

۵. دایره همگن

مرکز جرم = مرکز دایره

دایره با سوراخ:

مرکز جرم = جمع مرکز جرم‌ها با جرم منفی برای حفره

مثال:

دایره: R=5m, M=100 → مرکز (0,0)

حفره: r=2m در x=3 → m=-64

x_cm = (100*0 + (-64)*3)/(100-64) ≈ -5.33

۶. نیم‌کره توپر همگن

x_cm = 0, y_cm = 0, z_cm = 3R/8

۷. مخروط توپر همگن

z_cm = 3h/4 (نسبت به رأس)

z_cm = h/4 (نسبت به قاعده)

۸. ترکیبی از چند جسم

R_cm = Σ(m_i * r_i) / Σ(m_i)

حفره = جرم منفی

مثال ۱: مستطیل + مثلث → (x_cm, y_cm) = (3, 2.82)

مثال ۲: دایره با سوراخ → x_cm ≈ -5.33

---