ریاضیات

اثبات مرکز جرم متوازی‌الأضلاع (راهنمای ساده)

در این صفحه سه روش مختلف برای نشان دادن اینکه مرکز جرم یک متوازی‌الأضلاع یکنواخت در تقاطع قطرها قرار دارد توضیح داده شده است:

۱. فرمول کلی مرکز جرم چندضلعی (polygon centroid)

برای یک چندضلعی ساده با رأس‌ها به ترتیب دوری

(x₁,y₁),(x₂,y₂),…,(xₙ,yₙ) داریم:

A = (1/2) Σ_{i=1}^{n} ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

x̄ = (1 / (6A)) Σ_{i=1}^{n} (x_i + x_{i+1}) ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

ȳ = (1 / (6A)) Σ_{i=1}^{n} (y_i + y_{i+1}) ( x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i )

(با قاعدهٔ چرخه‌ای: (x_{n+1},y_{n+1}) ≡ (x₁,y₁))

این فرمول‌ها از تبدیل انتگرال‌های سطحی ∬ x dA و ∬ y dA به انتگرال خطی مرزی با استفاده از قضیهٔ گرین به‌دست می‌آیند.

۲. ساده‌سازی برای متوازی‌الأضلاع با اثبات جبری مختصر

برای متوازی‌الأضلاع چهار رأس را به ترتیب دوری در نظر می‌گیریم:

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄).

اگر فرمول چندضلعی را روی این چهار رأس اعمال کنیم و جمع‌ها را باز کنیم، به دلیل موازی و مساوی بودن اضلاع مقابل (ویژگی متوازی‌الأضلاع) ترم‌ها با هم ساده می‌شوند و در نهایت خواهیم داشت:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4

ȳ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) / 4

یعنی centroid برابر میانگین مختصات رئوس است — و این همان نقطهٔ تقاطع قطرهاست.

۳. اثبات وکتوری و پارامتریک (روش ساده و روشن)

یک اثبات بسیار مختصر و گویا با وکتور:

1. یک رأس را در مبدا قرار ده (A = (0,0)).
2. دو بردار پایهٔ متوازی‌الأضلاع را تعریف کن: u = (u_x,u_y) و v = (v_x,v_y).
3. آنگاه رئوس به صورت: A=(0,0), B=u, C=u+v, D=v.
4. میانگین رئوس:

   (A + B + C + D) / 4 = (0 + u + (u+v) + v) / 4 = (2u + 2v) / 4 = (u + v) / 2

5. اما نقطهٔ وسط قطر AC برابر است با (u+v)/2، پس centroid در وسط قطرهاست.

همچنین با پارامتری‌سازی متوازی‌الأضلاع و انجام انتگرال سطحی مستقیم نیز همان نتیجه حاصل میشود:

پارامتری‌سازی: r(s,t) = s*u + t*v , 0 ≤ s,t ≤ 1

x̄ = (1/Area) ∬ x dA = (1/|u×v|) ∫₀¹∫₀¹ (s*u + t*v) |u×v| ds dt

= ∫₀¹∫₀¹ (s*u + t*v) ds dt = (1/2)u + (1/2)v = (u+v)/2

۴. مثال عددی گام‌به‌گام

فرض کنیم رئوس به صورت زیر باشند:

A(0,0)

B(4,0)

C(6,3)

D(2,3)

میانگین رئوس را محاسبه می‌کنیم:

x̄ = (0 + 4 + 6 + 2) / 4 = 12 / 4 = 3

ȳ = (0 + 0 + 3 + 3) / 4 = 6 / 4 = 1.5

→ مرکز جرم: (3 , 1.5)

۵. نکات و جمع‌بندی

• برای هر متوازی‌الأضلاع یکنواخت، centroid در تقاطع قطرها قرار دارد.
• می‌توانید از فرمول چندضلعی برای اثبات عمومی‌تر استفاده کنید؛ برای متوازی‌الأضلاع این فرمول به میانگین رئوس ساده‌شده تبدیل می‌شود.
• روش وکتوری و پارامتریک هر دو ساده و کم‌خطا هستند و برای محاسبهٔ عددی بسیار مناسب‌اند.

اگر می‌خواهی همین صفحه را با فرمت MathJax (رندر فرمول‌های لاتِک) یا نسخهٔ PDF آماده کنم، بگو تا همان را هم بسازم.