ریاضیات

مرکز جرم ظرف شیر (استوانه + مخروط ناقص)

اگر ظرف از یک استوانهٔ پایین و یک مخروطِ ناقص (frustum) قرار گیرد، برای محاسبهٔ مرکز جرم مایع یا کل سیستم طبق مراحل زیر عمل کنید.

حجم‌ها و مراکز هر قسمت

استوانه:

V_c = π R_c^2 H_c

z_c = H_c / 2

فرَستم (مخروط ناقص) با پایین R1 و بالا R2 و ارتفاع H_f:

V_f = (π H_f / 3) (R1^2 + R1 R2 + R2^2)

مرکز فرَستم نسبت به پایهٔ پایینِ فرَستم:

z_f_rel = H_f * (R1^2 + 2 R1 R2 + 3 R2^2) / (4 (R1^2 + R1 R2 + R2^2))

مرکز فرَستم نسبت به کف ظرف:

z_f = H_c + z_f_rel

حالات پر شدن

حالت A: مایع تا ارتفاع h ≤ H_c (فقط استوانه)

V_ℓ = π R_c^2 h

z_ℓ = h / 2

حالت B: H_c < h ≤ H_c + H_f (استوانه پر، بخشی از فرَستم پر)

در فرَستم تا ارتفاع h_f = h - H_c ، شعاع بالایی:

R_top = R1 + (R2 - R1) * (h_f / H_f)

V_fpart = (π h_f / 3) (R1^2 + R1 R_top + R_top^2)

z_fpart_rel = h_f * (R1^2 + 2 R1 R_top + 3 R_top^2) / (4 (R1^2 + R1 R_top + R_top^2))

z_fpart = H_c + z_fpart_rel

V_ℓ = V_c + V_fpart

z_ℓ = (V_c z_c + V_fpart z_fpart) / (V_c + V_fpart)

مرکز جرم کل (بطری + مایع)

z_total = (M_b z_b + ρ V_ℓ z_ℓ) / (M_b + ρ V_ℓ)

مثال عددی

R_c = 3.0 cm , H_c = 12.0 cm

H_f = 8.0 cm , R1 = 3.0 cm , R2 = 1.5 cm

ρ ≈ 1 g/cm³

M_b = 200 g , z_b = 10.0 cm

→ V_c ≈ 339.29 cm³

→ V_f ≈ 131.95 cm³

→ z_c = 6.0 cm

→ z_f ≈ 15.1429 cm

اگر ظرف کاملاً پر باشد:

V_ℓ ≈ 471.24 cm³ (جرم ≈ 471.24 g)

z_ℓ ≈ 8.56 cm

z_total ≈ 8.99 cm

اگر خواستی، می‌تونم همین محاسبات را در یک جدولِ تعاملی HTML/JavaScript قرار دهم تا با وارد کردن مقادیرِ R_c, H_c, H_f, R2, h (ارتفاع پرشدن) و M_b نتیجهٔ عددی را فوری ببینی — می‌خواهی آن فرم تعاملی را بسازم؟