ریاضیات

مرکز جرم متوازی‌الأضلاع — حالات مختلف

۱. متوازی‌الأضلاع یکنواخت (صفحهٔ کامل)

مرکز جرم در تقاطع قطرها قرار دارد. اگر رئوس \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),D(x_4,y_4)\) باشند:

x_cm = (x1 + x2 + x3 + x4) / 4

y_cm = (y1 + y2 + y3 + y4) / 4

مثال عددی

A(0,0), B(4,0), C(6,3), D(2,3)

x_cm = (0+4+6+2)/4 = 3

y_cm = (0+0+3+3)/4 = 1.5

→ مرکز جرم = (3 , 1.5)

۲. تقسیم به دو مثلث

متوازی‌الأضلاع را با یک قطر به دو مثلث برابر تقسیم کنید؛ میانگین مراکز جرم دو مثلث برابر مرکز متوازی‌الأضلاع است (قدرت محاسبهٔ عددی با مثلث‌ها).

۳. قاب (لبه‌ها فقط جرم دارند)

برای قاب میانگین وزنی مراکز اضلاع بر حسب طول:

x_cm = Σ(L_i * x_i) / Σ L_i

y_cm = Σ(L_i * y_i) / Σ L_i

که L_i طول هر ضلع و (x_i,y_i) مرکز آن ضلع است.

۴. متوازی‌الأضلاع با سوراخ

اگر از شکل بزرگ یک شکل کوچک (سوراخ) برداشته شود:

r_cm = (A_big * r_big - A_hole * r_hole) / (A_big - A_hole)

۵. نکات کوتاه

• برای متوازی‌الأضلاع یکنواخت همیشه مرکز جرم روی تقاطع قطرهاست — این یک خاصیت هندسی ساده و مفید است.
• برای قاب یا توزیعِ جرم در اضلاع، باید از میانگین وزنی طول‌ها استفاده کرد.
• برای چندحفره یا ترکیب‌های پیچیده، هر بخش را با علامت مناسب (مثبت/منفی) وارد کنید و جمع وزنی انجام دهید.