ریاضیات

مرکز جرم متوازی‌الأضلاع با شکل و اثبات

در هر متوازی‌الأضلاع یکنواخت، مرکز جرم (Centroid) در محل تقاطع دو قطر قرار دارد. در این شکل زیر، نقطه قرمز همان مرکز جرم است.

A

B

C

D

G

فرمول کلی چندضلعی (polygon centroid)

A = (1/2) Σ (x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)

x̄ = (1/(6A)) Σ (x_i + x_{i+1})(x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)

ȳ = (1/(6A)) Σ (y_i + y_{i+1})(x_i*y_{i+1} - x_{i+1}*y_i)

نتیجه برای متوازی‌الأضلاع

با استفاده از خواص اضلاع موازی و مساوی، روابط بالا ساده می‌شوند و به میانگین مختصات رئوس می‌رسند:

x̄ = (x₁ + x₂ + x₃ + x₄) / 4

ȳ = (y₁ + y₂ + y₃ + y₄) / 4

اثبات وکتوری کوتاه

A = (0,0)

B = u

C = u + v

D = v

→ میانگین رئوس = (u + v)/2

→ نقطه وسط قطرها = (u + v)/2

پس مرکز جرم در تقاطع قطرهاست.

مثال عددی

A(0,0), B(4,0), C(6,3), D(2,3)

x̄ = (0+4+6+2)/4 = 3

ȳ = (0+0+3+3)/4 = 1.5

→ مرکز جرم (3 , 1.5)

نکته پایانی

برای هر متوازی‌الأضلاع (حتی با زاویه‌های غیرقائم)، مرکز جرم در محل تقاطع قطرها قرار دارد. این ویژگی مستقل از ابعاد یا زاویه‌هاست، به شرط یکنواخت بودن چگالی.