ریاضیات

مرکز جرم مخروط توپر همگن

مخروطی راست و یکنواخت با ارتفاع h و شعاع قاعده R. مبدا را روی رأس (قله) قرار می‌دهیم و محور z را به سمت قاعده مثبت در نظر می‌گیریم.

1. شعاع مقطع در ارتفاع z

r(z) = (R/h) · z

2. حجم المان دیسک

dV = π [r(z)]² dz = π (R²/h²) z² dz

3. حجم کل

V = ∫₀ʰ dV = (1/3) π R² h

4. مختصهٔ z مرکز جرم

z_cm = (1/V) ∫₀ʰ z dV

= (1/V) ∫₀ʰ z · π(R²/h²) z² dz

= (πR² / h² V) · (h⁴ / 4)

= 3h / 4

بنابراین: مرکز جرم نسبت به رأس در ارتفاع 3h/4 قرار دارد. معادل آن نسبت به قاعده فاصلهٔ h/4 است.

مثال عددی

اگر h = 12 cm، فاصله از قاعده = 12 /4 = 3 cm.