2-براکت پواسون

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ | 23:36

ماتریس پواسون در تبدیلات متعارف [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تبدیل متعارف

مفهوم براکت های پواسون را می توان با تعریف ماتریس پواسون به مفهوم ماتریس ها گسترش داد.

تبدیل متعارف زیر را در نظر بگیرید:

$\eta ={\begin{bmatrix}q_{1}\\\vdots \\q_{N}\\p_{1}\\\vdots \\p_{N}\\\end{bmatrix}} \quad \rightarrow \quad \varepsilon ={\begin{bmatrix}Q_{1}\\\vdots \\Q_{N}\\P_{1}\\\vdots \\P_{N}\\\end{ bmatrix}}$ تعریف کردنم: ${\textstyle M:={\frac {\partial (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )}{\partial (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}}}$ ، ماتریس پواسون به صورت تعریف شده است ${\textstyle {\mathcal {P}}(\varepsilon )=MJM^{T}}$ ، جایی که $J$ ماتریس سمپلتیکی است که تحت همان قراردادها برای مرتب کردن مجموعه مختصات استفاده می شود. از تعریف بر می آید که:

${\mathcal {P}}_{ij}(\varepsilon )=[MJM^{T}]_{ij}=\sum _{k=1}^{N}\left({\frac { \partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{N+k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial \eta _{N+k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial \eta _{k}}}\right) =\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial q_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j} }{\partial p_{k}}}-{\frac {\partial \varepsilon _{i}}{\partial p_{k}}}{\frac {\partial \varepsilon _{j}}{\partial q_ {k}}}\right)=\{\varepsilon _{i}،\varepsilon _{j}\}_{\eta }.$

ماتریس پواسون ویژگی های شناخته شده زیر را برآورده می کند:

${\begin{aligned}{\mathcal {P}}^{T}&=-{\mathcal {P}}}\\|{\mathcal {P}}|&={\frac {1}{ |M|^{2}}}\\{\mathcal {P}}^{-1}(\varepsilon )&=-(M^{-1})^{T}JM^{-1}=- {\mathcal {L}}(\varepsilon )\\\end{تراز شده}}$

جایی که ${\textstyle {\mathcal {L}}(\varepsilon )}$ به عنوان ماتریس لاگرانژ شناخته می شود و عناصر آن با براکت های لاگرانژ مطابقت دارد . آخرین اتحاد را نیز می توان به صورت زیر بیان کرد:

$\sum _{k=1}^{2N}\{\eta _{i}،\eta _{k}\}[\eta _{k}،\eta _{j}]=-\ دلتا _{ij}$

توجه داشته باشید که جمع در اینجا شامل مختصات تعمیم یافته و همچنین تکانه تعمیم یافته است.

عدم تغییر براکت پواسون را می توان به صورت زیر بیان کرد: ${\textstyle \{\varepsilon _{i}،\varepsilon _{j}\}_{\eta }=\{\varepsilon _{i}،\varepsilon _{j}\}_{\varepsilon }=J_ {ij}}$ ، که مستقیماً منجر به وضعیت علامتی می شود: ${\textstyle MJM^{T}=J}$ . [1]

ثابت حرکت [ ویرایش ]

یک سیستم دینامیکی یکپارچه، علاوه بر انرژی، ثابت‌های حرکتی نیز خواهد داشت . چنین ثابت های حرکتی با همیلتونین زیر براکت پواسون جابه جا می شوند. یک تابع را فرض کنید $f(p,q)$ ثابت حرکت است این به این معنی است که اگر $p(t),q(t)$ یک مسیر یا راه حل برای معادلات حرکت همیلتون است ، پس

$0={\frac {df}{dt}}$ در طول آن مسیر سپس

$0={\frac {d}{dt}}f(p,q)=\{f,H\}$

همانطور که در بالا، مرحله میانی با اعمال معادلات حرکت دنبال می شود و فرض می کنیم که $f$ به صراحت به زمان بستگی ندارد. این معادله به معادله لیوویل معروف است . محتوای قضیه لیوویل این است که تکامل زمانی یک اندازه گیری توسط تابع توزیع داده می شود $f$ با معادله فوق به دست می آید.

اگر براکت پواسون از $f$ و $g$ ناپدید می شود ( $\{f,g\}=0$ )، سپس $f$ و $g$ می گویند در انقطاع . برای اینکه یک سیستم همیلتونی کاملاً یکپارچه شود ، $n$ ثابت های مستقل حرکت باید در چرخش متقابل باشند ، جایی که $n$ تعداد درجات آزادی است.

علاوه بر این، با توجه به قضیه پواسون ، اگر دو کمیت $A$ و $B$ صراحتاً مستقل از زمان هستند $A(p,q),B(p,q)$ ) ثابت های حرکت، براکت پواسون آنها نیز همینطور است $\{A,\,B\}$ . با این حال، این همیشه نتیجه مفیدی را ارائه نمی دهد، زیرا تعداد ثابت های حرکتی ممکن محدود است $2n-1$ برای یک سیستم با $n$ درجات آزادی)، و بنابراین نتیجه ممکن است بی اهمیت باشد (یک ثابت یا تابعی از $A$ و $B$ .)

براکت پواسون به زبان بدون مختصات [ ویرایش ]

اجازه دهید $M$ منیفولد نمادین باشد ، یعنی منیفولد مجهز به یک شکل نمادین : یک 2 شکل $\omega$ که هر دو بسته است (یعنی مشتق بیرونی آن $d\omega$ ناپدید می شود) و غیر منحط . به عنوان مثال، در درمان فوق، مصرف کنید $M$ بود $\mathbb {R} ^{2n}$ و بگیر

$\omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq_{i}.$

اگر $\iota _{v}\omega$ ضرب داخلی یا عملیات انقباض تعریف شده توسط $(\iota _{v}\omega )(u)=\omega (v,\,u)$ ، پس عدم انحطاط برابر است با گفتن این که برای هر یک شکل $\alpha$ یک فیلد برداری منحصر به فرد وجود دارد $\Omega _{\alpha }$ به طوری که $\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega =\alpha$ . متناوبا، از سوی دیگر، $\Omega _{dH}=\omega ^{-1}(dH)$ . سپس اگر $H$ یک عملکرد صاف است $M$ ، میدان برداری هامیلتونی $X_{H}$ را می توان تعریف کرد $\Omega _{dH}$ . دیدن آن آسان است

${\begin{aligned}X_{p_{i}}&={\frac {\partial }{\partial q_{i}}}\\X_{q_{i}}&=-{\frac { \جزئی }{\جزئی p_{i}}}.\end{تراز شده}}$

براکت پواسون $\ \{\cdot,\,\cdot \}$ on ( M , ω ) یک عملیات دوخطی روی توابع متمایز است که توسط تعریف شده است $\{f,\,g\}\;=\;\omega (X_{f},\,X_{g})$ ; براکت پواسون دو تابع روی M خود تابعی از M است . براکت پواسون ضد متقارن است زیرا:

$\{f,g\}=\omega (X_{f},X_{g})=-\omega (X_{g},X_{f})=-\{g,f\}.$

علاوه بر این،

${\begin{aligned}\{f,g\}&=\omega (X_{f},X_{g})=\omega (\Omega _{df},X_{g})\\& =(\iota _{\Omega _{df}}\omega )(X_{g})=df(X_{g})\\&=X_{g}f={\mathcal {L}}_{X_ {g}}f.\end{تراز شده}}$

( 1 )

در اینجا X g f نشان دهنده میدان برداری X g اعمال شده به تابع f به عنوان یک مشتق جهت، و است ${\mathcal {L}}_{X_{g}}f$ مشتق لی (کاملا معادل) تابع f را نشان می دهد .

اگر α یک شکل دلخواه روی M باشد ، میدان برداری Ω α یک جریان (حداقل به صورت محلی) ایجاد می کند. $\phi _{x}(t)$ ارضای شرایط مرز $\phi _{x}(0)=x$ و معادله دیفرانسیل مرتبه اول

${\frac {d\phi _{x}}{dt}}=\left.\Omega _{\alpha }\right|_{\phi _{x}(t)}.$

را $\phi _{x}(t)$ برای هر t تابعی از x خواهد بود اگر و فقط اگر ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;0$ ; وقتی این درست باشد، Ω α را یک میدان برداری سمپلتیک می نامند . یادآوری اتحاد کارتن ${\mathcal {L}}_{X}\omega \;=\;d(\iota _{X}\omega )\,+\,\iota _{X}d\omega$ و d ω = 0 ، نتیجه می شود که ${\mathcal {L}}_{\Omega _{\alpha }}\omega \;=\;d\left(\iota _{\Omega _{\alpha }}\omega \right)\; =\;d\alpha$ . بنابراین، Ω α یک میدان برداری نمادین است اگر و فقط اگر α یک شکل بسته باشد . از آنجا که $d(df)\;=\;d^{2}f\;=\;0$ ، نتیجه می شود که هر میدان برداری هامیلتونی X f یک میدان برداری ساده است و جریان همیلتونی متشکل از تبدیلات متعارف است. از (1) بالا، تحت جریان همیلتونی X H ،

${\frac {d}{dt}}f(\phi _{x}(t))=X_{H}f=\{f,H\}.$

این یک نتیجه اساسی در مکانیک هامیلتونی است که بر تکامل زمانی توابع تعریف شده در فضای فاز حاکم است. همانطور که در بالا ذکر شد، وقتی { f ، H } = 0 ، f ثابت حرکت سیستم است. علاوه بر این، در مختصات متعارف (با $\{p_{i},\,p_{j}\}\;=\;\{q_{i},q_{j}\}\;=\;0$ و $\{q_{i},\,p_{j}\}\;=\;\delta _{ij}$ معادلات همیلتون برای تکامل زمانی سیستم بلافاصله از این فرمول پیروی می کند.

همچنین از (1) نتیجه می گیرد که براکت پواسون یک مشتق است . به این معنا که یک نسخه غیر تعویضی از قانون ضرب لایب نیتس را برآورده می کند :

$\{fg,h\}=f\{g,h\}+g\{f,h\},$

$\{f,gh\}=g\{f,h\}+h\{f,g\}.$

( 2 )

براکت پواسون به طور نزدیک به براکت لی فیلدهای برداری همیلتونی متصل است. چون مشتق لی یک مشتق است،

${\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =\iota _{{\mathcal {L}}_{v}w}\omega +\iota _{w}{ \mathcal {L}}_{v}\omega =\iota _{[v,w]}\omega +\iota _{w}{\mathcal {L}}_{v}\omega .$

بنابراین اگر v و w ساده هستند، با استفاده از ${\mathcal {L}}_{v}\omega \;=\;0$ ، اتحاد کارتن و این واقعیت که $\iota _{w}\omega$ یک فرم بسته است،

$\iota _{[v,w]}\omega ={\mathcal {L}}_{v}\iota _{w}\omega =d(\iota _{v}\iota _{w} \omega )+\iota _{v}d(\iota _{w}\omega )=d(\iota _{v}\iota _{w}\omega )=d(\omega (w,v)) .$

نتیجه می شود که $[v,w]=X_{\omega (w,v)}$ ، به طوری که

$[X_{f},X_{g}]=X_{\omega (X_{g},X_{f})}=-X_{\omega (X_{f},X_{g})}= -X_{\{f،g\}}.$

( 3 )

بنابراین، براکت پواسون روی توابع با براکت لی فیلدهای برداری همیلتونی مرتبط است. ما همچنین نشان داده‌ایم که براکت دروغ دو میدان برداری نمادین، یک میدان برداری همیلتونی است و از این رو نیز نمادین است. در زبان جبر انتزاعی ، میدان‌های برداری سمپلتیک، جبر فرعی جبر لی از میدان‌های برداری صاف روی M را تشکیل می‌دهند ، و میدان‌های برداری همیلتونی ایده‌آل این زیر جبر را تشکیل می‌دهند. میدان‌های برداری نمادین جبر لی از گروه لی (بی‌بعدی) از سمپلکتومورفیسم‌های M هستند .

به طور گسترده ادعا می شود که اتحاد ژاکوبی برای براکت پواسون،

$\{f,\{g,h\}\}+\{g,\{h,f\}\}+\{h,\{f,g\}\}=0$ از اتحاد متناظر برای براکت لی فیلدهای برداری به دست می آید، اما این فقط تا یک تابع ثابت محلی صادق است. با این حال، برای اثبات اتحاد ژاکوبی برای براکت پواسون، کافی است نشان دهیم که:

$\operatorname {ad} _{\{g,f\}}=\operatorname {ad} _{-\{f,g\}}=[\operatorname {ad} _{f},\operatorname { تبلیغ} _{g}]$ جایی که اپراتور $\operatorname {ad} _{g}$ در توابع صاف در M با تعریف شده است $\operatorname {ad} _{g}(\cdot )\;=\;\{\cdot ,\,g\}$ و براکت در سمت راست جابجایی اپراتورها است، $[\operatorname {A} ,\,\operatorname {B} ]\;=\;\operatorname {A} \operatorname {B} -\operatorname {B} \operatorname {A}$ . توسط (1) ، اپراتور $\operatorname {ad} _{g}$ برابر با عملگر X g است . اثبات اتحاد ژاکوبی از (3) به دست می‌آید ، زیرا تا ضریب 1-، براکت لی میدان‌های برداری فقط جابجایی آن‌ها به عنوان عملگرهای دیفرانسیل است.

جبر توابع صاف روی M، همراه با براکت پواسون، جبر پواسون را تشکیل می‌دهد، زیرا جبر لی در زیر براکت پواسون است ، که علاوه بر این قانون لایب‌نیتس (2) را برآورده می‌کند . ما نشان داده‌ایم که هر منیفولد سمپلتیک یک منیفولد پواسون است ، که یک منیفولد با عملگر «براکت فرفری» روی توابع صاف است، به طوری که توابع صاف یک جبر پواسون را تشکیل می‌دهند. با این حال، همه منیفولدهای پواسون به این شکل به وجود نمی‌آیند، زیرا منیفولدهای پواسون امکان انحطاط را می‌دهند که در حالت ساده نمی‌تواند ایجاد شود.

نتیجه‌ای بر لحظه‌ای مزدوج [ ویرایش ]

با توجه به یک میدان برداری صاف ایکس $X$ در فضای پیکربندی، اجازه دهید $P_{X}$ حرکت مزدوج آن باشد . نگاشت حرکت مزدوج یک جبر دروغ ضد هم شکلی از براکت لی تا براکت پواسون است:

$\{P_{X},P_{Y}\}=-P_{[X,Y]}.$

این نتیجه مهم ارزش یک اثبات کوتاه را دارد. یک فیلد برداری بنویسید $X$ در نقطه $q$ در فضای پیکربندی به عنوان

$X_{q}=\sum _{i}X^{i}(q){\frac {\partial }{\partial q^{i}}}$ جایی که ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial q^{i}}}}$ چارچوب مختصات محلی است. حرکت مزدوج به $X$ بیان را دارد

$P_{X}(q,p)=\sum _{i}X^{i}(q)\;p_{i}$

جایی که $p_{i}$ توابع تکانه با مختصات مزدوج هستند. یکی پس از آن، برای یک نقطه $(q,p)$ در فضای فاز ،

${\begin{aligned}\{P_{X},P_{Y}\}(q,p)&=\sum _{i}\sum _{j}\left\{X^{i} (q)\;p_{i}،Y^{j}(q)\;p_{j}\right\}\\&=\sum _{ij}p_{i}Y^{j}(q) {\frac {\partial X^{i}}{\partial q^{j}}}-p_{j}X^{i}(q){\frac {\partial Y^{j}}{\partial q^{i}}}\\&=-\sum _{i}p_{i}\;[X,Y]^{i}(q)\\&=-P_{[X,Y]}( q,p).\end{تراز شده}}$

موارد فوق برای همه صدق می کند $(q,p)$ ، نتیجه مطلوب را می دهد.

کوانتیزاسیون [ ویرایش ]

براکت‌های پواسون با کوانتیزاسیون به براکت‌های مویال تغییر شکل می‌دهند ، یعنی به جبر دروغ متفاوت، جبر مویال ، یا به طور معادل در فضای هیلبرت ، کموتاتورهای کوانتومی تعمیم می‌یابند . انقباض گروه Wigner-İnönü اینها (حد کلاسیک، ħ → 0 ) جبر دروغ بالا را به دست می دهد.

برای بیان صریح تر و دقیق تر، جبر فراگیر جهانی جبر هایزنبرگ جبر ویل است (مدول رابطه ای که مرکز واحد است). حاصل ضرب مویال یک مورد خاص از ضرب ستاره در جبر نمادها است. تعریف صریح جبر نمادها و محصول ستاره در مقاله جبر فراگیر جهانی ارائه شده است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

کموتاتور
براکت دیراک
براکت لاگرانژ
براکت مویال
براکت Peierls
فضای فاز
جبر پواسون
انگشتر پواسون
ابرجبر پواسون
سوپربراکت پواسون

اظهارات [ ویرایش ]

^ $f(p_{i},\,q_{i},\,t)$ به معنای $f$ تابعی از $2N+1$ متغیرهای مستقل: تکانه $p_{1\dots N}$ ; موقعیت، $q_{1\dots N}$ ; و زمان، $t$

منابع [ ویرایش ]

↑ Giacaglia، Giorgio EO (1972). روش های اغتشاش در سیستم های غیر خطی علوم ریاضی کاربردی. نیویورک هایدلبرگ: اسپرینگر. صص 8-9. شابک 978-3-540-90054-2.

آرنولد، ولادیمیر I. (1989). روشهای ریاضی مکانیک کلاسیک (ویرایش دوم). نیویورک: اسپرینگر. شابک 978-0-387-96890-2.
لاندو، لو دی . لیفشیتز، اوجنی ام (1982). مکانیک . درس فیزیک نظری . جلد 1 (ویرایش سوم). باترورث-هاینمن. شابک 978-0-7506-2896-9.
کاراسف، میخائیل وی. ماسلوف، ویکتور پی (1993). براکت های غیرخطی پواسون، هندسه و کوانتیزاسیون . ترجمه تک نگاری های ریاضی. جلد 119. ترجمه سوسینسکی، الکسی; شیشکوا، MA Providence، RI: انجمن ریاضی آمریکا. شابک 978-0821887967. MR 1214142 .
مورتی، والتر (2023). مکانیک تحلیلی، مکانیک کلاسیک، لاگرانژی و همیلتونی، نظریه پایداری، نسبیت خاص . UNITEXT. جلد 150. اسپرینگر. شابک 978-3-031-27612-5.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

"براکت پواسون" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS ، 2001 [1994]
اریک دبلیو وایستاین "براکت پواسون" . دنیای ریاضی .

دسته بندی ها :

هندسه ساده
مکانیک هامیلتونی
نقشه های دو خطی
مفاهیم در فیزیک

https://en.wikipedia.org/wiki/Poisson_bracket

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی