1-نظریه میدان لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه هجدهم اسفند ۱۴۰۲ | 22:24

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

نظریه میدان لاگرانژی یک فرمالیسم در نظریه میدان کلاسیک است . این آنالوگ نظری میدانی مکانیک لاگرانژی است . مکانیک لاگرانژی برای تجزیه و تحلیل حرکت سیستمی از ذرات گسسته هر کدام با تعداد محدودی درجه آزادی استفاده می شود . نظریه میدان لاگرانژی برای پیوسته ها و میدان هایی که دارای بی نهایت درجه آزادی هستند کاربرد دارد.

یکی از انگیزه‌های توسعه فرمالیسم لاگرانژی در زمینه‌ها، و به‌طور کلی‌تر، برای نظریه میدان کلاسیک ، ارائه یک پایه ریاضی روشن برای نظریه میدان کوانتومی است ، که به طرز بدنامی با دشواری‌های رسمی که آن را به عنوان یک نظریه ریاضی غیرقابل قبول می‌کند، مواجه است. لاگرانژی‌های ارائه‌شده در اینجا با معادل‌های کوانتومی خود یکسان هستند، اما در تلقی میدان‌ها به‌عنوان میدان‌های کلاسیک، به جای کوانتیزه شدن، می‌توان تعاریفی ارائه کرد و راه‌حل‌هایی با ویژگی‌های سازگار با رویکرد رسمی مرسوم در ریاضیات معادلات دیفرانسیل جزئی به دست آورد . این امکان فرمول‌بندی راه‌حل‌ها را در فضاهایی با ویژگی‌های خوب مشخص می‌کند، مانند فضاهای سوبولو . این امکان ارائه قضایای مختلفی را فراهم می کند، از اثبات وجود گرفته تا همگرایی یکنواخت سری های رسمی تا تنظیمات کلی نظریه بالقوه . علاوه بر این، بینش و وضوح با تعمیم به منیفولدهای ریمانی و بسته‌های فیبر به دست می‌آید که به ساختار هندسی اجازه می‌دهد به وضوح از معادلات حرکتی مربوطه تشخیص داده شود و جدا شود. یک نمای واضح تر از ساختار هندسی به نوبه خود امکان استفاده از قضایای بسیار انتزاعی از هندسه را برای دستیابی به بینش فراهم کرده است، از قضیه چرن-گوس-بونt و قضیه ریمان-روچ تا قضیه شاخص آتیه-سینگر و نظریه چرن-سیمون .

نمای کلی [ ویرایش ]

در تئوری میدان، متغیر مستقل با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t ) ، یا به طور کلی‌تر با نقطه s در منیفولد ریمانی جایگزین می‌شود . متغیرهای وابسته با مقدار یک میدان در آن نقطه از فضازمان جایگزین می شوند $\varphi (x,y,z,t)$ به طوری که معادلات حرکت با استفاده از یک اصل عمل به دست می آید که به صورت زیر نوشته می شود:

${\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi _{i}}}=0,$

جایی که عمل ، ${\mathcal {S}}$ ، تابعی از متغیرهای وابسته است $\varphi _{i}(s)$ ، مشتقات آنها و خود s

${\mathcal {S}}\left[\varphi _{i}\right]=\int {{\mathcal {L}}\left(\varphi _{i}(s),\left\{ {\frac {\partial \varphi _{i}(s)}{\partial s^{\alpha }}}\right\},\{s^{\alpha }\}\right)\,\mathrm { d} ^{n}s}،$

جایی که براکت ها نشان می دهند $\{\cdot ~\forall \alpha \}$ ; و s = { s α } مجموعه n متغیر مستقل سیستم از جمله متغیر زمان را نشان می دهد و با α = 1، 2، 3، ...، n نمایه می شود . حروف خوشنویسی، ${\mathcal {L}}$ ، برای نشان دادن چگالی و استفاده می شودد $\mathrm {d} ^{n}s$ فرم حجم تابع میدان است ، یعنی اندازه دامنه تابع میدان.

در فرمول‌های ریاضی، بیان لاگرانژ به عنوان تابعی بر روی یک بسته فیبر معمول است ، که در آن معادلات اویلر-لاگرانژ را می‌توان به‌عنوان مشخص‌کننده ژئودزیک روی دسته فیبر تفسیر کرد. کتاب درسی آبراهام و مارسدن [1] اولین توصیف جامع مکانیک کلاسیک را بر حسب ایده‌های هندسی مدرن، یعنی از نظر منیفولدهای مماس ، منیفولدهای سمپلتیک و هندسه تماس ارائه کرد . کتاب درسی بلیکر [2] ارائه‌ای جامع از نظریه‌های میدانی در فیزیک بر حسب بسته‌های فیبر ثابت سنج ارائه کرد. چنین فرمولاسیون ها مدت ها قبل شناخته شده یا مشکوک بودند. Jost [3] با ارائه هندسی ادامه می‌دهد و رابطه بین فرم‌های همیلتونی و لاگرانژی را روشن می‌کند، منیفولدهای اسپین را از اصول اولیه توصیف می‌کند ، و غیره . فضاهای برداری توسط جبرهای تانسوری انگیزه این تحقیق درک موفقیت آمیز گروه های کوانتومی به عنوان جبرهای لی وابسته است. درجات بی نهایت آزادی؛ به عنوان مثال جبر ویراسورو را ببینید .)

تعاریف [ ویرایش ]

در نظریه میدان لاگرانژی، لاگرانژی به عنوان تابعی از مختصات تعمیم یافته با چگالی لاگرانژی، تابعی از میدان های موجود در سیستم و مشتقات آنها، و احتمالاً فضا و زمان خود مختصات جایگزین می شود. در تئوری میدان، متغیر مستقل t با یک رویداد در فضازمان ( x ، y ، z ، t ) یا به طور کلی تر با یک نقطه s در یک منیفولد جایگزین می شود .

اغلب، یک "چگالی لاگرانژی" به سادگی "لاگرانژ" نامیده می شود.

فیلدهای اسکالر [ ویرایش ]

برای یک میدان اسکالر $\varphi$ ، چگالی لاگرانژی به شکل زیر خواهد بود: [nb 1] [4]

${\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)$

برای بسیاری از زمینه های اسکالر

${\mathcal {L}}(\varphi _{1},{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{1},\partial \varphi _{1}/\partial t,\ldots ,\ varphi _{n}،{\boldsymbol {\nabla }}\varphi _{n}،\partial \varphi _{n}/\partial t،\ldots،\mathbf {x}،t)$

در فرمول‌بندی‌های ریاضی، میدان‌های اسکالر مختصاتی در یک بسته فیبر و مشتقات میدان به عنوان بخش‌هایی از بسته جت در نظر گرفته می‌شوند .

فیلدهای برداری، فیلدهای تانسور، فیلدهای اسپینور [ ویرایش ]

موارد فوق را می توان برای فیلدهای برداری ، فیلدهای تانسور و فیلدهای اسپینور تعمیم داد . در فیزیک، فرمیون ها توسط میدان های اسپینور توصیف می شوند. بوزون‌ها با میدان‌های تانسوری توصیف می‌شوند که شامل میدان‌های اسکالر و برداری به عنوان موارد خاص است.

مثلاً اگر وجود داشته باشدمتر $m$ فیلدهای اسکالر با ارزش حقیقی $\varphi _{1}،\dots،\varphi _{m}$ ، سپس منیفولد میدان است $\mathbb {R} ^{m}$ . اگر میدان یک میدان برداری حقیقی باشد ، منیفولد میدان به هم شکل است $\mathbb {R} ^{n}$ .

اقدام [ ویرایش ]

انتگرال زمانی لاگرانژی را عملی می نامند که با S نشان داده می شود . در تئوری میدان، گهگاه بین L لاگرانژی تمایزی قائل می‌شود که انتگرال زمانی آن عمل است.

${\mathcal {S}}=\int L\,\mathrm {d} t\,,$

و چگالی لاگرانژی ${\mathcal {L}}$ ، که در تمام فضازمان ادغام می شود تا عمل را به دست آورد:

${\mathcal {S}}[\varphi ]=\int {\mathcal {L}}(\varphi ,{\boldsymbol {\nabla }}\varphi ,\partial \varphi /\partial t,\mathbf {x} ,t)\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,\mathrm {d} t.$

انتگرال حجم فضایی چگالی لاگرانژی لاگرانژ است. به صورت سه بعدی،

$L=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {x} \,.$

عمل اغلب به عنوان "عملکرد عملکردی " نامیده می شود، زیرا تابعی از فیلدها (و مشتقات آنها) است.

فرم حجم [ ویرایش ]

در حضور گرانش یا هنگام استفاده از مختصات منحنی کلی، چگالی لاگرانژی ${\mathcal {L}}$ شامل یک عامل از ${\textstyle {\sqrt {g}}}$ . این تضمین می کند که عمل تحت تبدیل مختصات کلی ثابت است. در ادبیات ریاضی، فضا-زمان یک منیفولد ریمانی در نظر گرفته می شود م $M$ و سپس انتگرال به شکل حجمی تبدیل می شود

${\mathcal {S}}=\int _{M}{\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}{\mathcal {L}}$

اینجا $\wedge$ ضرب خارجی است و ${\textstyle {\sqrt {|g|}}}$ جذر تعیین کننده است $|g|$ از تانسور متریک $g$ برم $M$ . برای فضازمان تخت (مثلاً فضازمان مینکوفسکی )، واحد حجم یک است، یعنی ${\textstyle {\sqrt {|g|}}=1}$ و بنابراین معمولاً هنگام بحث از نظریه میدان در فضازمان مسطح حذف می شود. به همین ترتیب، استفاده از نمادهای ضرب خارجی ای بینش بیشتری را در مورد مفهوم معمولی حجم در حساب چند متغیره ارائه نمی دهد، و بنابراین این نمادها نیز به همین ترتیب حذف می شوند. برخی از کتاب های درسی قدیمی تر، به عنوان مثال، لاندو و لیفشیتز می نویسند- ${\textstyle {\sqrt {-g}}}$ برای فرم حجم، از آنجایی که علامت منهای برای تانسورهای متریک با امضا (+---) یا (-+++) مناسب است (زیرا در هر صورت، تعیین کننده منفی است). هنگام بحث در مورد نظریه میدان در منیفولدهای کلی ریمانی، فرم حجمی معمولاً با علامت اختصاری نوشته می شود. $*(1)$ جایی که $*$ ستاره هاج است . به این معنا که،

$*(1)={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{m}$

و غیره

${\mathcal {S}}=\int _{M}*(1){\mathcal {L}}$

نه به ندرت، نماد بالا کاملاً زائد در نظر گرفته می شود و

${\mathcal {S}}=\int _{M}{\mathcal {L}}$ مکرر دیده می شود. گمراه نشوید: فرم حجمی به طور ضمنی در انتگرال بالا وجود دارد، حتی اگر به صراحت نوشته نشده باشد.

معادلات اویلر-لاگرانژ [ ویرایش ]

معادلات اویلر -لاگرانژ جریان ژئودزیکی میدان را توصیف می کند $\varphi$ به عنوان تابعی از زمان در نظر گرفتن تغییرات با توجه به $\varphi$ ، یکی بدست می آورد

$0={\frac {\delta {\mathcal {S}}}{\delta \varphi }}=\int _{M}*(1)\left(-\partial _{\mu }\left ({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\varphi )}}\right)+{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \جزئی \varphi }}\راست).$

با حل، با توجه به شرایط مرزی ، معادلات اویلر-لاگرانژ به دست می آید :

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \varphi }}=\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{ \جزئی (\partial _{\mu }\varphi )}}\راست).$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی