5-هارمونیک های کروی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیستم اسفند ۱۴۰۲ | 16:42

تابع مولد هرگلوتز [ ویرایش ]

اگر قرارداد مکانیک کوانتومی برای: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ ، سپس

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {r} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {r^{\ell }v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{ \sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r).$

اینجا، $\mathbf {r}$ بردار با اجزا است $(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}$ ، $r=|\mathbf {r} |$ ، و

${\mathbf {a} }={\mathbf {\hat {z}} }-{\frac {\lambda }{2}}\left({\mathbf {\hat {x}} }+i {\mathbf {\hat {y}} }\right)+{\frac {1}{2\lambda }}\left({\mathbf {\hat {x}} }-i{\mathbf {\hat { y}} }\راست).$

$\mathbf {a}$ بردار با مختصات مختلط است:

$\mathbf {a} =[{\frac {1}{2}}({\frac {1}{\lambda }}-\lambda ),-{\frac {i}{2}}({ \frac {1}{\lambda }}+\lambda ),1].$

خاصیت ضروری از $\mathbf {a}$ این است که تهی است:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0.$

گرفتن کافی است $v$ و $\lambda$ به عنوان پارامترهای حقیقی در نامگذاری این تابع مولد به نام هرگلوتز ، ما از Courant & Hilbert 1962 ، §VII.7 پیروی می‌کنیم که یادداشت‌های منتشر نشده او را برای کشف آن اعتبار می‌دانند.

اساساً تمام خصوصیات هارمونیک های کروی را می توان از این تابع مولد به دست آورد. [15] مزیت فوری این تعریف این است که اگر بردار $\mathbf {r}$ با عملگر بردار اسپین مکانیکی کوانتومی جایگزین می شودجی $\mathbf {J}$ ، به طوری که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ آنالوگ عملگر هارمونیک جامد است $r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r} /r)$ ، [16] یک تابع تولید کننده برای مجموعه استاندارد شده ای از عملگرهای تانسور کروی بدست می آید . ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} })$ :

$e^{v{\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {J} }}=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^ {\ell }{\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}{\frac {v^{\ell }{\lambda ^{m}}}{\sqrt {(\ell +m)!(\ell -m)!}}}{\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}({\mathbf {J} }).$

موازی بودن این دو تعریف تضمین می کند که ${\mathcal {Y}}_{\ell }^{m}$ 's تبدیل تحت چرخش ها (به زیر مراجعه کنید) به همان شیوه ای است $Y_{\ell }^{m}$ 's، که به نوبه خود تضمین می کند که آنها عملگرهای تانسور کروی هستند $T_{q}^{(k)}$ ، با $k={\ell }$ و $q=m$ با رعایت تمام خصوصیات این عملگرها، مانند قضیه ترکیب کلبش-گوردان و قضیه ویگنر-اکارت . علاوه بر این، آنها یک مجموعه استاندارد شده با مقیاس یا عادی سازی ثابت هستند.

همچنین نگاه کنید به: پایه کروی

فرم دکارتی جدا شده [ ویرایش ]

تعریف هرگلوتزی چند جمله‌ای را به دست می‌دهد که در صورت تمایل، ممکن است بیشتر در چند جمله‌ای فاکتورسازی شوند. $z$ و دیگری از $x$ و $y$ ، به شرح زیر (فاز کاندون – شورتلی):

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell }^{m}\\Y_{\ell }^{-m}\end{pmatrix}}=\left[{\ frac {2\ell +1}{4\pi }}\right]^{1/2}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}\ چپ(-1\راست)^{m}(A_{m}+iB_{m})\\(A_{m}-iB_{m})\end{pmatrix}}،\qquad m>0.$ و برای m = 0 :

$r^{\ell }\,Y_{\ell }^{0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }} _{\ell }^{0}.$ اینجا

$A_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\cos \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$

$B_{m}(x,y)=\sum _{p=0}^{m}{\binom {m}{p}}x^{p}y^{mp}\sin \left( (mp){\frac {\pi }{2}}\right)،$ و

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)=\left[{\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}\ راست]^{1/2}\sum _{k=0}^{\left\lطبقه (\ell -m)/2\right\rfloor }(-1)^{k}2^{-\ell } {\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}{\frac {(\ell -2k)!}{(\ell -2k-m)!}} \;r^{2k}\;z^{\ell -2k-m}.$ برای $m=0$ این کاهش می یابد

${\bar {\Pi }}_{\ell }^{0}(z)=\sum _{k=0}^{\left\lfloor \ell /2\right\rfloor }(-1 )^{k}2^{-\ell }{\binom {\ell }{k}}{\binom {2\ell -2k}{\ell }}\;r^{2k}\;z^{ \ell -2k}.$

عامل ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ اساساً چند جمله ای لژاندر مرتبط است $P_{\ell }^{m}(\cos \theta )$ ، و عوامل $(A_{m}\pm iB_{m})$ اساسا هستند $e^{\pm im\varphi }$ .

مثالها [ ویرایش ]

استفاده از عبارات برای ${\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z)$ ، $A_{m}(x,y)$ ، و $B_{m}(x,y)$ که به صراحت در بالا ذکر شده است، به دست می آوریم:

$Y_{3}^{1}=-{\frac {1}{r^{3}}}\left[{\tfrac {7}{4\pi }}\cdot {\tfrac {3} {16}}\right]^{1/2}\left(5z^{2}-r^{2}\right)\left(x+iy\right)=-\left[{\tfrac {7} {4\pi }}\cdot {\tfrac {3}{16}}\right]^{1/2}\left(5\cos ^{2}\theta -1\right)\left(\sin \ تتا e^{i\varphi }\right)$

$Y_{4}^{-2}={\frac {1}{r^{4}}}\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5} {32}}\right]^{1/2}\left(7z^{2}-r^{2}\right)\left(x-iy\right)^{2}=\left[{\tfrac {9}{4\pi }}\cdot {\tfrac {5}{32}}\right]^{1/2}\left(7\cos ^{2}\theta -1\right)\left( \sin ^{2}\theta e^{-2i\varphi }\right)$ ممکن است تأیید شود که این با عملکرد فهرست شده در اینجا و اینجا مطابقت دارد .

فرم های حقیقی [ ویرایش ]

با استفاده از معادلات بالا برای تشکیل هارمونیک های کروی حقیقی، مشاهده می شود که برایمتر>0 $m>0$ فقطآمتر $A_{m}$ شرایط (کسینوس) گنجانده شده است، و برای $m<0$ فقط $B_{m}$ اصطلاحات (سینوس ها) شامل می شوند:

$r^{\ell }\,{\begin{pmatrix}Y_{\ell m}\\Y_{\ell -m}\end{pmatrix}}={\sqrt {\frac {2\ell + 1}{2\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ell }^{m}(z){\begin{pmatrix}A_{m}\\B_{m}\end{pmatrix} },\qquad m>0.$

و برای m = 0:

$r^{\ell }\,Y_{\ell 0}\equiv {\sqrt {\frac {2\ell +1}{4\pi }}}{\bar {\Pi }}_{\ یا }^{0}.$

موارد و مقادیر ویژه [ ویرایش ]

در قطب شمال، جایی ک=0 $\theta =0$ ، و $\varphi$ تعریف نشده است، همه هارمونیک های کروی به جز آنهایی که با $m=0$ ناپدید شدن:

$Y_{\ell }^{m}(0,\varphi )=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {z} })={\sqrt {\frac {2\ell +1 {4\pi }}}\delta _{m0}.$

ویژگی های تقارن [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی دارای خواص عمیق و پیامدی تحت عملیات وارونگی فضایی (پاریتی) و چرخش هستند.

برابری [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: برابری (فیزیک)

هارمونیک های کروی برابری مشخصی دارند. یعنی از نظر وارونگی در مورد مبدا یا زوج هستند یا فرد. وارونگی توسط عملگر نشان داده می شود $P\Psi (\mathbf {r} )=\Psi (-\mathbf {r} )$ . سپس، همانطور که از بسیاری جهات می توان دید (شاید به سادگی از تابع تولید هرگلوتز)، با $\mathbf {r}$ بردار واحد بودن

$Y_{\ell }^{m}(-\mathbf {r} )=(-1)^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\mathbf {r}).$

از نظر زوایای کروی، برابری یک نقطه را با مختصات تبدیل می کند $\{\theta,\varphi \}$ به $\{\pi -\theta ,\pi +\varphi \}$ . بیانیه برابری هارمونیک های کروی پس از آن است

$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\to Y_{\ell }^{m}(\pi -\theta ,\pi +\varphi )=(-1)^{ \ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ (این را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: چند جمله ای های لژاندر (-1) + m را به دست می دهند و از تابع نمایی (-1) m داریم ، با هم برای هارمونیک های کروی برابری (-1) .)

برابری برای هارمونیک های کروی حقیقی و برای هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر همچنان برقرار است: اعمال بازتاب نقطه ای به هارمونیک کروی درجه علامت را با ضریب (-1) تغییر می دهد .

چرخش ها [ ویرایش ]

چرخش یک تابع کروی حقیقی با m = 0 و = 3 . ضرایب برابر با ماتریس های ویگنر D نیستند، زیرا توابع حقیقی نشان داده شده اند، اما می توان با تجزیه مجدد توابع مختلط به دست آورد.

یک چرخش را در نظر بگیریدآر ${\mathcal {R}}$ در مورد مبدایی که بردار واحد را ارسال می کند $\mathbf {r}$ به" $\mathbf {r} '$ . تحت این عملیات، هارمونیک کروی درجه $\ell$ و سفارش دهیدمتر $m$ تبدیل به یک ترکیب خطی از هارمونیک های کروی با همان درجه می شود. به این معنا که،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell }A_{mm'}Y_{\ell }^ {m'}({\mathbf {r} })،$ جایی که $A_{mm'}$ یک ماتریس از نظم است $(2\ell +1)$ که به چرخش بستگی دارد ${\mathcal {R}}$ . با این حال، این روش استاندارد بیان این ویژگی نیست. به روش استانداردی که شخص می نویسد،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=\sum _{m'=-\ell }^{\ell [D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})]^{*}Y_{\ell }^{m'}({\mathbf {r} })،$ جایی که $D_{mm'}^{(\ell )}({\mathcal {R}})^{*}$ مزدوج مختلط یک عنصر از ماتریس D ویگنر است . به ویژه زمانی که" $\mathbf {r} '$ هست $\phi _{0}$ با چرخش آزیموت ما هویت را بدست می آوریم،

$Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} }')=Y_{\ell }^{m}({\mathbf {r} })e^{im\phi _{0 }}.$

رفتار چرخشی هارمونیک‌های کروی شاید ویژگی اصلی آنها از دیدگاه نظریه گروه باشد. را $Y_{\ell }^{m}$ مدرک تحصیلی $\ell$ یک مجموعه پایه از توابع برای نمایش غیرقابل تقلیل گروه SO(3) بعد ارائه می کند $(2\ell +1)$ . بسیاری از حقایق در مورد هارمونیک های کروی (مانند قضیه جمع) که به سختی با استفاده از روش های تحلیل اثبات می شوند، با استفاده از روش های تقارن، اثبات های ساده تر و اهمیت عمیق تری به دست می آورند.

بسط هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی لاپلاس: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. سی2(اس2) $L_{\mathbb {C} }^{2}(S^{2})$ . در کره واحداس2 $S^{2}$ ، هر تابع قابل انتگرالگیری مربع: $f:S^{2}\to \mathbb {C}$ بنابراین می توان به عنوان یک ترکیب خطی از این موارد گسترش داد:

$f(\theta,\varphi)=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m} \,Y_{\ell }^{m}(\theta,\varphi).$

این بسط به معنای همگرایی میانگین مربع است - همگرایی در L 2 کره - که به این معناست که

$\lim _{N\to \infty }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\left|f(\theta ,\varphi )-\sum _{\ell =0}^{N}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )\right|^{2}\sin \theta \,d\theta \,d\varphi =0.$

ضرایب انبساط مشابه ضرایب فوریه هستند و با ضرب معادله فوق در مزدوج مختلط یک هارمونیک کروی، ادغام در زاویه جامد Ω، و استفاده از روابط متعامد فوق به دست می آیند. این به شدت توسط نظریه فضایی پایه هیلبرت توجیه می شود. در مورد هارمونیک های متعارف، این به دست می دهد:

$f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d \Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{ \ell }^{m*}(\theta،\varphi).$

اگر ضرایب به اندازه کافی سریع در کاهش یابد - برای مثال، به صورت نمایی - آنگاه سری نیز به طور یکنواخت به f همگرا می شود .

یک تابع قابل ادغام مربع $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ همچنین می تواند از نظر هارمونیک های حقیقی گسترش یابد $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ در بالا به عنوان جمع

$f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}\,Y_ {\ell m}(\theta،\varphi).$

همگرایی این سری دوباره در همان معنا وجود دارد، یعنی هارمونیک های کروی حقیقی $Y_{\ell m}:S^{2}\to \mathbb {R}$ مجموعه کاملی از توابع متعامد را تشکیل می دهند و بنابراین یک مبنای متعامد فضای هیلبرت از توابع انتگرال پذیر مربع را تشکیل می دهند. آر2(اس2) $L_{\mathbb {R} }^{2}(S^{2})$ . مزایای بسط از نظر توابع هارمونیک حقیقی $Y_{\ell m}$ این است که برای توابع حقیقی است $f:S^{2}\to \mathbb {R}$ ضرایب انبساط $f_{\ell m}$ تضمین شده است که حقیقی هستند، در حالی که ضرایب آنها $f_{\ell }^{m}$ در گسترش آنها از نظر $Y_{\ell }^{m}$ (با در نظر گرفتن آنها به عنوان توابع: $f:S^{2}\to \mathbb {C} \supset \mathbb {R}$ ) آن خاصیت را ندارند.

تجزیه و تحلیل طیف [ ویرایش ]

این بخش به نقل قول های اضافی برای تأیید نیاز دارد . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر در این بخش به بهبود این مقاله کمک کنید. اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. ( ژوئیه 2020 ) ( با نحوه و زمان حذف این پیام الگو آشنا شوید )

طیف قدرت در پردازش سیگنال [ ویرایش ]

توان کل یک تابع f در ادبیات پردازش سیگنال به عنوان انتگرال تابع مجذور تقسیم بر مساحت دامنه آن تعریف می شود . با استفاده از ویژگی‌های متعامد توابع هارمونیک کروی حقیقی واحد-قدرت، به راحتی می‌توان تأیید کرد که توان کل یک تابع تعریف شده بر روی واحد کره به ضرایب طیفی آن با تعمیم قضیه پارسوال مرتبط است (در اینجا، قضیه بیان می‌شود. برای هارمونیک های نیمه نرمال شده اشمیت، این رابطه برای هارمونیک های متعامد کمی متفاوت است:

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }|f(\Omega )|^{2}\,d\Omega =\sum _{\ell =0} ^{\infty }S_{f\!f}(\ell ),$ جایی که

$S_{f\!f}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }|f_{\ell m }|^{2}$

به عنوان طیف توان زاویه ای (برای هارمونیک های نیمه نرمال اشمیت) تعریف می شود. به روشی مشابه، می توان قدرت متقاطع دو تابع را به صورت تعریف کرد

${\frac {1}{4\,\pi }}\int _{\Omega }f(\Omega )\,g^{\ast }(\Omega )\,d\Omega =\sum _ {\ell =0}^{\infty }S_{fg}(\ell ),$

جایی که

$S_{fg}(\ell )={\frac {1}{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell m}g_{\ ell m}^{\ast }$

به عنوان طیف توان متقابل تعریف می شود. اگر توابع f و g میانگین صفر داشته باشند (یعنی ضرایب طیفی f 00 و g 00 صفر هستند)، آنگاه S ff و S fg مشارکت در واریانس و کوواریانس تابع را برای درجه نشان می‌دهند . به ترتیب. معمول است که طیف توان (متقابل) به خوبی با یک قانون توان به شکل تقریب می شود.

$S_{f\!f}(\ell )=C\,\ell ^{\beta }.$

وقتی β = 0 ، طیف "سفید" است زیرا هر درجه دارای قدرت برابر است. وقتی β < 0 ، طیف را "قرمز" می نامند زیرا در درجات پایین با طول موج های بلند توان بیشتری نسبت به درجات بالاتر وجود دارد. در نهایت، زمانی که β > 0 ، طیف "آبی" نامیده می شود. شرط ترتیب رشد S ff به ترتیب تمایز پذیری f در بخش بعدی مربوط می شود.

ویژگی های تمایز [ ویرایش ]

همچنین می توان خواص تمایز پذیری تابع اصلی f را بر حسب مجانبی S ff ( ) درک کرد . به طور خاص، اگر S ff ( ) سریعتر از هر تابع منطقی به عنوان → ∞ کاهش یابد ، آنگاه f بی نهایت قابل تفکیک است . علاوه بر این، اگر S ff ( ) به صورت تصاعدی کاهش یابد، آنگاه f در واقع تحلیلی حقیقی روی کره است .

تکنیک کلی استفاده از تئوری فضاهای سوبولف است . اظهارات مربوط به رشد S ff ( ) به تمایز پذیری مشابه نتایج مشابه در رشد ضرایب سری فوریه است . به طور خاص، اگر

$\sum _{\ell =0}^{\infty }(1+\ell ^{2})^{s}S_{ff}(\ell )<\infty ,$ سپس f در فضای سوبولف H s ( S 2 ) است . به طور خاص، قضیه تعبیه سوبولف نشان می دهد که f بی نهایت قابل تمایز است به شرطی که

$S_{ff}(\ell )=O(\ell ^{-s})\quad {\rm {{as\ }\ell \to \infty }}$ برای همه s .

ویژگی های جبری [ ویرایش ]

قضیه جمع [ ویرایش ]

یک نتیجه ریاضی با علاقه و استفاده قابل توجه، قضیه جمع برای هارمونیک های کروی نامیده می شود. دو بردار r و r' با مختصات کروی داده می شود $(r,\theta,\varphi)$ و("،"،") $(r',\theta ',\varphi')$ ، به ترتیب، زاویه $\gamma$ بین آنها توسط رابطه داده می شود

$\cos \gamma =\cos \theta '\cos \theta +\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$ که در آن نقش توابع مثلثاتی که در سمت راست ظاهر می شوند توسط هارمونیک های کروی و نقش سمت چپ توسط چند جمله ای های لژاندر ایفا می شود .

قضیه جمع بیان می کند [17]

$P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )={\frac {4\pi }{2\ell +1}}\sum _{m=-\ell }^ {\ell }Y_{\ell m}(\mathbf {y})\,Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\quad \forall \,\ell \in \mathbb {N } _{0}\;\forall \,\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}\colon \;\|\mathbf {x} \|_{2} =\|\mathbf {y} \|_{2}=1\,,$

( 1 )

که در آن P چند جمله ای لژاندر درجه است . این عبارت برای هر دو هارمونیک حقیقی و مختلط معتبر است. [18] نتیجه را می توان به صورت تحلیلی، با استفاده از خواص هسته پواسون در توپ واحد، یا به صورت هندسی با اعمال چرخش بر روی بردار y به طوری که در امتداد محور z قرار گیرد ، و سپس محاسبه مستقیم سمت راست اثبات کرد. سمت. [19]

به ویژه، زمانی که x = y ، قضیه آنسلد را به دست می‌دهد [20]

$\sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\mathbf {x} )\,Y_{\ell m}(\mathbf {x}) ={\frac {2\ell +1}{4\pi }}$

که هویت cos 2 θ + sin 2 θ = 1 را به دو بعد تعمیم می دهد.

در بسط ( 1 )، سمت چپپ $P_{\ell }(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )$ مضرب ثابت درجه هارمونیک کروی ناحیه ای است . از این منظر، تعمیم زیر به ابعاد بالاتر وجود دارد. فرض کنید Y j یک مبنای متعامد دلخواه فضای H از هارمونیک های کروی درجه روی کره n باشد . سپسزایکس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}$ ، درجه هارمونیک ناحیه ای مربوط به بردار واحد x ، به صورت [21] تجزیه می شود.

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}{\overline {Y_{j}({\mathbf {x} })}}\,Y_{j}({\mathbf {y} })$

( 2 )

علاوه بر این، هارمونیک ناحیه ایزایکس $Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })$ به عنوان مضرب ثابت چند جمله ای Gegenbauer مناسب داده می شود :

$Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}({\mathbf {y} })=C_{\ell }^{((n-2)/2)}({\mathbf { x} }\cdot {\mathbf {y} })$

( 3 )

از ترکیب ( 2 ) و ( 3 ) زمانی که x و y در مختصات کروی نمایش داده می شوند، ( 1 ) در بعد n = 2 به دست می آید. در نهایت، ارزیابی در x = y هویت عملکردی را می دهد

${\frac {\dim \mathbf {H} _{\ell }}{\omega _{n-1}}}=\sum _{j=1}^{\dim(\mathbf {H} _{\ell })}|Y_{j}({\mathbf {x} })|^{2}$ که در آن ω n -1 حجم ( n -1) -کره است.

قانون انقباض [ ویرایش ]

هویت مفید دیگر حاصل ضرب دو هارمونیک کروی را به صورت مجموع بر هارمونیک های کروی بیان می کند [22]

$Y_{a,\alpha }\left(\theta,\varphi \right)Y_{b,\beta }\left(\theta,\varphi \right)={\sqrt {\frac {\left( 2a+1\right)\left(2b+1\right)}{4\pi }}}\sum _{c=0}^{\infty }\sum _{\gamma =-c}^{c} \left(-1\right)^{\gamma }{\sqrt {2c+1}}{\begin{pmatrix}a&b&c\\\alpha &\beta &-\gamma \end{pmatrix}}{\begin{ pmatrix}a&b&c\\0&0&0\end{pmatrix}}Y_{c,\gamma }\left(\theta,\varphi \right).$ بسیاری از اصطلاحات در این مجموع به طور پیش پا افتاده صفر هستند. ارزش هایج $c$ و $\gamma$ که منجر به عبارات غیر صفر در این مجموع می شود توسط قوانین انتخاب برای نمادهای 3j تعیین می شود .

ضرایب کلبش–گوردان [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ضرایب کلبش–گوردان

ضرایب کلبش-گوردان ضرایبی هستند که در بسط حاصلضرب دو هارمونیک کروی بر حسب خود هارمونیک کروی ظاهر می شوند. تکنیک‌های مختلفی برای انجام محاسبات مشابه در دسترس هستند، از جمله نماد Wigner 3-jm ، ضرایب Racah و انتگرال‌های Slater . به طور انتزاعی، ضرایب کلبش-گوردان حاصل ضرب تانسور دو نمایش غیرقابل تقلیل گروه چرخش را به عنوان مجموع نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر بیان می‌کنند: به طور مناسب نرمال شده، ضرایب پس از آن چند برابر هستند.

تجسم هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

نمایش شماتیک از $Y_{\ell m}$ روی واحد کره و خطوط گره ای آن.ℜ[] $\Re [Y_{\ell m}]$ برابر است با 0 در امتداد دایره های بزرگی که از قطب ها می گذرند و در امتداد دایره های − m با عرض جغرافیایی مساوی. تابع هر بار که از یکی از این خطوط عبور می کند علامت تغییر می دهد.

نمودار رنگی سه بعدی هارمونیک های کروی درجه n = 5 . توجه داشته باشید که n = .

هارمونیک های کروی لاپلاس $Y_{\ell }^{m}$ می توان با در نظر گرفتن " خطوط گره " آنها، یعنی مجموعه نقاط روی کره ای که در آن قرار دارد، تجسم کردℜ[]=0 $\Re [Y_{\ell }^{m}]=0$ ، یا به جای آن کجاℑ[]=0 $\Im [Y_{\ell }^{m}]=0$ . خطوط گره ای از $Y_{\ell }^{m}$ از دایره های تشکیل شده اند: | وجود دارد m | دایره ها در طول طول و −| m | دایره ها در طول عرض های جغرافیایی می توان تعداد خطوط گرهی هر نوع را با شمارش تعداد صفرهای آن تعیین کرد $Y_{\ell }^{m}$ در $\تتا$ و $\varphi$ جهت ها به ترتیب با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\تتا$ مولفه های حقیقی و خیالی چند جمله ای های لژاندر مرتبط هر کدام دارای −| m | صفرها که هر کدام یک "خط عرض جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند. از سوی دیگر با توجه به $Y_{\ell }^{m}$ به عنوان تابعی از $\varphi$ ، توابع sin و cos مثلثاتی دارای 2| m | صفرها، که هر کدام یک "خط طول جغرافیایی" گرهی ایجاد می کنند.

وقتی مرتبه هارمونیک کروی m صفر باشد (بالا سمت چپ در شکل)، توابع هارمونیک کروی به طول جغرافیایی بستگی ندارند و به آنها منطقه ای می گویند . چنین هارمونیک های کروی مورد خاصی از توابع کروی ناحیه ای هستند . وقتی = | m | (پایین-راست در شکل)، هیچ تقاطع صفر در عرض جغرافیایی وجود ندارد، و توابع به عنوان بخش نامیده می شوند . برای موارد دیگر، توابع کره را بررسی می‌کنند و به آنها تسرال می‌گویند .

هارمونیک‌های کروی عمومی‌تر درجه لزوماً آن‌هایی نیستند که بر اساس لاپلاس هستند $Y_{\ell }^{m}$ ، و مجموعه گره های آنها می تواند از نوع نسبتاً کلی باشد. [23]

فهرست هارمونیک های کروی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جدول هارمونیک های کروی

عبارات تحلیلی برای اولین هارمونیک های کروی لاپلاس متعارف: $Y_{\ell }^{m}:S^{2}\to \mathbb {C}$ که از قرارداد فاز کاندون-شورتلی استفاده می کنند:

$Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}$

${\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{2}}{\ sqrt {\frac {3}{\pi }}}\,\cos \theta \\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{ \sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\,\sin \theta \,e^{i\varphi }\end{تراز شده}}$

${\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{-2i\varphi }\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{ 2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{-i\varphi }\\Y_{2}^{0 }(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\,(3\cos ^{2}\theta -1) \\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&={\frac {-1}{2}}{\sqrt {\frac {15}{2\pi }}}\,\sin \theta \,\cos \theta \,e^{i\varphi }\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&={\frac {1}{4}}{\sqrt { \frac {15}{2\pi }}}\,\sin ^{2}\theta \,e^{2i\varphi }\end{تراز شده}}$

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی کلاسیک به عنوان توابع با مقادیر مختلط در کره واحد تعریف می شونداس2 $S^{2}$ در فضای سه بعدی اقلیدسیآر3 $\mathbb {R} ^{3}$ . هارمونیک های کروی را می توان به فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر تعمیم دادآر $\mathbb {R} ^{n}$ به شرح زیر منجر به توابع می شوداس-1→سی $S^{n-1}\to \mathbb {C}$ . [24] اجازه دهید P فضای چندجمله‌ای همگن با مقدار مختلط درجه را در n متغیر حقیقی نشان دهد که در اینجا به عنوان تابع در نظر گرفته می‌شود.آر→سی $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C}$ . یعنی یک p چند جمله ای در P است به شرطی که برای هر حقیقی باشد∈آر $\lambda \in \mathbb {R}$ ، یک نفر دارد

$p(\lambda \mathbf {x} )=\lambda ^{\ell }p(\mathbf {x}).$

فرض کنید A فضای فرعی P متشکل از همه چند جمله ای هارمونیک را نشان می دهد :

$\mathbf {A} _{\ell }:=\{p\in \mathbf {P} _{\ell }\,\mid \,\Delta p=0\}\,.$ این هارمونیک های کروی جامد (منظم) هستند . اجازه دهید H نشان دهنده فضای توابع در کره واحد باشد

$S^{n-1}:=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,\left|x\right|=1\}$ با محدودیت از A به دست می آید

$\mathbf {H} _{\ell }:=\left\{f:S^{n-1}\to \mathbb {C} \,\mid \,{\text{ برای برخی }}p \in \mathbf {A} _{\ell },\,f(\mathbf {x} )=p(\mathbf {x} ){\text{ برای همه }}\mathbf {x} \in S^{ n-1}\right\}.$

خواص زیر برقرار است:

مجموع فضاهای H در مجموعه متراکم استسی(اس-1) $C(S^{n-1})$ از توابع پیوسته دراس-1 $S^{n-1}$ با توجه به توپولوژی یکنواخت ، توسط قضیه استون-وایرشتراس . در نتیجه، مجموع این فضاها در فضای L 2 ( Sn - 1 ) از توابع انتگرال پذیر مربع روی کره نیز متراکم است. بنابراین هر تابع مربع ادغام پذیر در کره به طور منحصر به فردی به یک سری هارمونیک کروی تجزیه می شود، جایی که این سری به معنای L 2 همگرا می شود .
برعکس، فضاهای H دقیقاً فضاهای ویژه Δ S n -1 هستند . به طور خاص، استفاده از قضیه طیفی به پتانسیل Riesz Δاس-1-1 $\Delta _{S^{n-1}}^{-1}$ اثبات دیگری می دهد که فضاهای H به صورت زوجی متعامد و در L 2 کامل هستند ( Sn - 1 ) .

یک مبنای متعامد هارمونیک های کروی در ابعاد بالاتر را می توان به صورت استقرایی با روش جداسازی متغیرها ، با حل مسئله استورم-لیویل برای لاپلاسین کروی ساخت.

$\Delta _{S^{n-1}}=\sin ^{2-n}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}\sin ^{n-2}\varphi {\frac {\partial }{\partial \varphi }}+\sin ^{-2}\varphi \Delta _{S^{n-2}}$

که در آن φ مختصات محوری در یک سیستم مختصات کروی در Sn - 1 است . نتیجه نهایی چنین رویه ای [26] است.

$Y_{\ell _{1},\dots \ell _{n-1}}(\theta _{1},\dots \theta _{n-1})={\frac {1}{ \sqrt {2\pi }}}e^{i\ell _{1}\theta _{1}}\prod _{j=2}^{n-1}{}_{j}{\bar { P}}_{\ell _{j}}^{\ell _{j-1}}(\theta _{j})$ جایی که شاخص ها راضی کننده | 1 | ≤ 2 ≤ ⋯ ≤ n -1 و مقدار ویژه - n -1 ( n -1 + n -2) است . عملکردهای موجود در محصول بر حسب تابع Legendre تعریف می شوند

${}_{j}{\bar {P}}_{L}^{\ell }(\theta )={\sqrt {{\frac {2L+j-1}{2}}{\ frac {(L+\ell +j-2)!}{(L-\ell )!}}}}\sin ^{\frac {2-j}{2}}(\theta )P_{L+{\frac {j-2}{2}}}^{-\left(\ell +{\frac {j-2}{2}}\right)}(\cos \theta )\,.$

ارتباط با نظریه بازنمایی [ ویرایش ]

فضای H هارمونیک های کروی درجه نمایشی از گروه تقارن چرخش ها حول یک نقطه ( SO(3) ) و SU(2) پوشش دوگانه آن است . در واقع، چرخش ها بر روی کره دو بعدی ، و در نتیجه بر روی H نیز با ترکیب تابع عمل می کنند.

$\psi \mapsto \psi \circ \rho ^{-1}$ برای ψ یک هارمونیک کروی و ρ یک چرخش. نمایش H نمایشی غیر قابل تقلیل از SO(3) است . [27]

عناصر H به عنوان محدودیت های کره عناصر A بوجود می آیند : چند جمله ای هارمونیک همگن درجه در فضای سه بعدی اقلیدسی R 3 . با قطبش ψ ∈ A ، ضرایبی وجود داردمن1…من $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ متقارن بر روی شاخص ها، به طور منحصر به فرد توسط نیاز تعیین می شود

$\psi (x_{1},\dots,x_{n})=\sum _{i_{1}\dots i_{\ell }}\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{\ell }}.$ شرطی که ψ هارمونیک باشد معادل این ادعا است که تانسور $\psi _{i_{1}\dots i_{\ell }}$ در هر جفت شاخص باید بدون ردیابی باشد. بنابراین به عنوان یک نمایش غیرقابل تقلیل SO(3) ، H نسبت به فضای تانسورهای متقارن بی اثر درجه هم شکل است .

به طور کلی تر، گزاره های مشابه در ابعاد بالاتر وجود دارند: فضای H هارمونیک های کروی روی n- کره نمایش غیرقابل تقلیل SO( n +1) مربوط به تانسورهای متقارن بدون ردیابی است . با این حال، در حالی که هر نمایش تانسور تقلیل‌ناپذیر SO(2) و SO(3) از این نوع است، گروه‌های متعامد ویژه در ابعاد بالاتر دارای نمایش‌های غیر قابل تقلیل اضافی هستند که به این شکل ایجاد نمی‌شوند.

گروه‌های متعامد خاص دارای نمایش‌های اسپین اضافی هستند که نمایش‌های تانسوری نیستند و معمولاً هارمونیک‌های کروی نیستند. یک استثنا، نمایش اسپین SO(3) است: به طور دقیق، اینها نمایش‌هایی از پوشش دوتایی SU(2) SO(3) هستند. به نوبه خود، SU(2) با گروه کواترنیون های واحد شناسایی می شود و بنابراین با کره 3 منطبق است . فضاهای هارمونیک های کروی روی 3 کره، با توجه به عمل ضرب چهارتایی، نمایش اسپین خاصی از SO(3) هستند.

ارتباط با هارمونیک های نیمکره [ ویرایش ]

هارمونیک های کروی را می توان به دو مجموعه از توابع تقسیم کرد. [28] یکی توابع نیمکره ای (HSH)، متعامد و کامل روی نیمکره است. دیگری هارمونیک های نیمکره مکمل (CHSH) است.

کلیات [ ویرایش ]

تقارن حفظ زاویه دو کره توسط گروه تبدیل موبیوس PSL (2, C ) توصیف شده است. با توجه به این گروه، کره معادل کره معمولی ریمان است . گروه PSL(2, C ) هم شکل با گروه (مناسب) لورنتس است و عمل آن بر روی دو کره با عمل گروه لورنتس بر روی کره آسمانی در فضای مینکوفسکی مطابقت دارد . آنالوگ هارمونیک های کروی برای گروه لورنتس توسط سری هایپرهندسی داده شده است . علاوه بر این، هارمونیک‌های کروی را می‌توان بر حسب سری فراهندسی دوباره بیان کرد، زیرا SO(3) = PSU(2) زیرگروهی از PSL(2, C ) است .

به طور کلی تر، سری های فراهندسی را می توان برای توصیف تقارن های هر فضای متقارن تعمیم داد . به طور خاص، سری های فرا هندسی را می توان برای هر گروه لی توسعه داد . [29] [30] [31] [32]

همچنین ببینید [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به هارمونیک‌های کروی وجود دارد .

هارمونیک مکعبی (اغلب به جای هارمونیک های کروی در محاسبات استفاده می شود)
هارمونیک های استوانه ای
پایه کروی
هارمونیک های کروی اسپینور
هارمونیک های کروی با وزن اسپین
نظریه استورم-لیوویل
جدول هارمونیک های کروی
هارمونیک های کروی برداری
اوربیتال اتمی

یادداشت ها [ ویرایش ]

گزارشی تاریخی از رویکردهای مختلف به هارمونیک های کروی در سه بعد را می توان در فصل چهارم مک رابرت 1967 یافت. اصطلاح "هارمونیک های کروی لاپلاس" رایج است. به Courant & Hilbert 1962 و Meijer & Bauer 2004 مراجعه کنید.
^ رویکرد به هارمونیک‌های کروی در اینجا در ( Courant & Hilbert 1962 , §V.8, §VII.5) یافت می‌شود.
^ کاربردهای فیزیکی اغلب محلولی را می گیرند که در بی نهایت ناپدید می شود و A = 0 را می سازد . این بر بخش زاویه ای هارمونیک های کروی تأثیر نمی گذارد.
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک کروی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی 2023-05-10 .
↑ Edmonds 1957 ، §2.5
^ سالن 2013 بخش 17.6
↑ Hall 2013 Lemma 17.16
↑ ویلیامز، ارل جی (1999). آکوستیک فوریه: تشعشعات صوتی و هولوگرافی صوتی نزدیک میدان . سن دیگو، کالیفرنیا: انتشارات آکادمیک. شابک 0080506909. OCLC 181010993 .
↑ مسیح، آلبرت (1999). مکانیک کوانتومی: دو جلد صحافی شده به عنوان یک جلد (دو جلد صحافی شده به عنوان یک، ویرایش مجدد بدون خلاصه). مینولا، نیویورک: دوور. شابک 9780486409245.
↑ کلود کوهن تانوجی؛ برنارد دیو; فرانک لالو (1996). مکانیک کوانتومی . ترجمه سوزان رید هملی; و همکاران Wiley-Interscience: ویلی. شابک 9780471569527.
^ a bپرش به بالا: بلیکلی، ریچارد (1995). نظریه پتانسیل در گرانش و کاربردهای مغناطیسی . کمبریج انگلستان نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج. پ. 113 . شابک 978-0521415088.
^ هایسکانن و موریتز، ژئودزی فیزیکی، 1967، معادله. 1-62
↑ وایستاین، اریک دبلیو. "فاز کاندون-شورتلی" . mathworld.wolfram.com . بازیابی شده در 02-11-2022 .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 392.
به عنوان مثال، به ضمیمه A از Garg، A.، Electrodynamics Classical in a Nutshell (انتشارات دانشگاه پرینستون، 2012) مراجعه کنید.
^ لی، فیفی؛ براون، کارول؛ Garg, Anupam (2013), " The Weyl-Wigner-Moyal Formalism for Spin", Europhysics Letters , 102 (6): 60006, arXiv : 1210.4075 , Bibcode : 2013EL ....10260006L 10260006L 10260006L . 102/60006 ، S2CID 119610178
↑ Edmonds، AR (1996). تکانه زاویه ای در مکانیک کوانتومی . انتشارات دانشگاه پرینستون پ. 63 .
^ این برای هر مبنای متعارف هارمونیک های کروی درجه معتبر است . برای هارمونیک های توان واحد لازم است ضریب 4 π حذف شود .
↑ Whittaker & Watson 1927 ، ص. 395
↑ Unsöld 1927
^ Stein & Weiss 1971 , §IV.2
^ برینک، دی.م. Satchler، GR حرکت زاویه ای . انتشارات دانشگاه آکسفورد. پ. 146.
↑ ارمنکو، یاکوبسون و نادیراشویلی 2007
^ سولومنتسف 2001 ; Stein & Weiss 1971 §IV.2
^ رجوع کنید به نتیجه 1.8 اکسلر، شلدون؛ رامی، وید (1995)، چند جمله ای هارمونیک و مسائل نوع دیریکله
↑ هیگوچی، آتسوشی (1987). "هارمونیک‌های کروی تانسور متقارن بر روی N-کره و کاربرد آنها در گروه دسیتر SO(N,1)" . مجله فیزیک ریاضی . 28 (7): 1553-1566. Bibcode : 1987JMP....28.1553H . doi : 10.1063/1.527513 .
↑ Hall 2013 نتیجه 17.17
↑ ژنگ یی، وی کی، لیانگ بی، لی یی، چو ایکس (23-12-2019). "توابع مشابه Zernike در کلاهک کروی: اصل و کاربردها در اتصالات سطح نوری و رندر گرافیکی" . اپتیک اکسپرس . 27 (26): 37180–37195. Bibcode : 2019OExpr..2737180Z . doi : 10.1364/OE.27.037180 . ISSN 1094-4087 . PMID 31878503 .
↑ N. Vilenkin، توابع ویژه و نظریه بازنمودهای گروهی ، آم. ریاضی. Soc. ترجمه، ج. 22، (1968).
↑ جی دی تالمن، کارکردهای ویژه، رویکرد نظری گروهی ، (بر اساس سخنرانی های ای پی ویگنر)، WA بنجامین، نیویورک (1968).
↑ دبلیو میلر، تقارن و جداسازی متغیرها، ادیسون-وسلی، ریدینگ (1977).
^ A. Wawrzyńczyk، نمایندگی های گروهی و عملکردهای ویژه ، ناشران علمی لهستانی. ورشو (1984).

منابع [ ویرایش ]

مراجع ذکر شده [ ویرایش ]

کورانت، ریچارد ؛ هیلبرت، دیوید (1962)، روشهای فیزیک ریاضی، جلد اول ، وایلی-اینترساینس.
Edmonds، AR (1957)، حرکت زاویه ای در مکانیک کوانتومی ، انتشارات دانشگاه پرینستون، ISBN 0-691-07912-9
ارمنکو، الکساندر؛ یاکوبسون، دیمیتری؛ نادیراشویلی، نیکولای (2007)، "درباره مجموعه های گرهی و حوزه های گرهی در S2 و R2" ، Annales de l'Institut Fourier , 57 (7): 2345-2360، doi : 10.5802/aif.2335 ، ISSN -09 ، 0373 2394544
هال، برایان سی (2013)، نظریه کوانتومی برای ریاضیدانان ، متون فارغ التحصیل در ریاضیات، جلد. 267, Springer, ISBN 978-1461471158
مک رابرت، TM (1967)، هارمونیک های کروی: رساله ابتدایی در مورد توابع هارمونیک، با کاربردها ، چاپ پرگامون.
مایجر، پل هرمان ارنست; بائر، ادموند (2004)، نظریه گروه: کاربرد در مکانیک کوانتومی ، دوور، شابک 978-0-486-43798-9.
سولومنتسف، ED (2001) [1994]، "هارمونیک های کروی" ، دایره المعارف ریاضیات ، چاپ EMS.
استاین، الیاس ؛ ویس، گیدو (1971)، مقدمه ای بر تحلیل فوریه در فضاهای اقلیدسی ، پرینستون، نیوجرسی: انتشارات دانشگاه پرینستون، شابک 978-0-691-08078-9.
Unsöld, Albrecht (1927), "Beiträge zur Quantenmechanik der Atome"، Annalen der Physik , 387 (3): 355–393, Bibcode : 1927AnP...387..355U , doi : 10.1002/1033.1002.
ویتاکر، ای تی Watson, GN (1927), A Course of Modern Analysis , انتشارات دانشگاه کمبریج , ص. 392.

مراجع عمومی [ ویرایش ]

EW Hobson، نظریه هارمونیک های کروی و بیضی ، (1955) انتشارات چلسی. شرکت شابک 978-0-8284-0104-3 .
سی. مولر، هارمونیک های کروی ، (1966) اسپرینگر، یادداشت های سخنرانی در ریاضیات، جلد. 17, ISBN 978-3-540-03600-5 .
EU Condon و GH Shortley، Theory of Atomic Spectra ، (1970) کمبریج در انتشارات دانشگاه، ISBN 0-521-09209-4 ، به فصل 3 مراجعه کنید .
جی دی جکسون، الکترودینامیک کلاسیک ، ISBN 0-471-30932-X
آلبرت مسیحا، مکانیک کوانتومی ، جلد دوم. (2000) دوور. شابک 0-486-40924-4 .
مطبوعات، WH; Teukolsky، SA; Vetterling، WT; Flannery، BP (2007)، "بخش 6.7. هارمونیک های کروی" ، دستورهای عددی: هنر محاسبات علمی (ویرایش سوم)، نیویورک: انتشارات دانشگاه کمبریج، ISBN 978-0-521-88068-8
DA Varshalovich, AN Moskalev, VK Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum , (1988) World Scientific Publishing Co., سنگاپور, ISBN 9971-5-0107-4
وایستاین، اریک دبلیو. "هارمونیک های کروی" . دنیای ریاضی .
مدوک، جان، هارمونیک های کروی در Boost.Math

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

هارمونیک کروی در MathWorld
نمایش سه بعدی کروی هارمونیک

دسته بندی ها :

- فیزیک اتمی
- تحلیل فوریه
- تحلیل هارمونیک
- معادلات دیفرانسیل جزئی
- تقارن چرخشی
- توابع فوق هندسی ویژه

$\mathbf {H} _{\ell }$

ااچهارمونیک های کروی درجه $\ell$ فقط فضای محدودیت در حوزه استاس2 $S^{2}$ از عناصرآ $\mathbf {A} _{\ell }$ . [6] همانطور که در مقدمه پیشنهاد شد، این دیدگاه احتمالاً منشأ اصطلاح "هارمونیک کروی" است (یعنی محدودیت در کره یک تابع هارمونیک ).

https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی