جبر افین لی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۱ | 2:8

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات ، جبر آفین لی یک جبر لی بی‌بعدی است که به صورت متعارف از یک جبر لی ساده با ابعاد محدود ساخته می‌شود . با توجه به جبر آفین لی، می‌توان جبر مرتبط Kac-Moody را نیز تشکیل داد، همانطور که در زیر توضیح داده شده است. از نقطه نظر ریاضی محض، جبرهای لی وابسته به این دلیل جالب هستند که نظریه نمایش آنها ، مانند نظریه نمایش جبرهای نیمه ساده لی با ابعاد محدود ، بسیار بهتر از جبرهای عمومی Kac-Moody درک شده است. همانطور که توسط Victor Kac مشاهده شد ، فرمول شخصیت برای نمایش جبرهای لی وابسته به اتحاد های ترکیبی خاصی، اتحاد های مکدونالد ، دلالت دارد .

جبرهای Affine لی به دلیل نحوه ساخت آنها نقش مهمی در نظریه ریسمان و نظریه میدان همسان دوبعدی ایفا می کنند: شروع از یک جبر لی ساده ${\mathfrak {g}}$ جبر حلقه را در نظر می گیریم $L\mathfrak{g}$ ، تشکیل شده توسط ${\mathfrak {g}}$ توابع ارزش گذاری شده روی یک دایره (به عنوان رشته بسته تفسیر می شود) با کموتاتور نقطه ای. جبر لی نزدیک $\hat{\mathfrak{g}}$ با افزودن یک بعد اضافی به جبر حلقه و اصلاح یک جابجایی به روشی غیر پیش پا افتاده به دست می آید که فیزیکدانان آن را ناهنجاری کوانتومی (در این مورد، ناهنجاری مدل WZW ) و ریاضیدانان یک توسعه مرکزی می نامند . به طور کلی، اگر σ یک خودمورفیسم جبر لی ساده باشد ${\mathfrak {g}}$ مرتبط با اتومورفیسم نمودار داینکین آن ، جبر حلقه پیچ خورده است $L_{\sigma }{\mathfrak {g}}$ شامل ${\mathfrak {g}}$ توابع با مقدار f روی خط واقعی که شرط تناوب پیچ خورده f ( x + 2 π ) = σ f ( x ) را برآورده می کنند . پسوندهای مرکزی آنها دقیقاً جبرهای آفین لی مختلط هستند . دیدگاه نظریه ریسمان به درک بسیاری از ویژگی‌های عمیق جبرهای لی وابسته کمک می‌کند، مانند این واقعیت که کاراکترهای نمایش‌های آن‌ها در بین خود تحت گروه مدولار تغییر شکل می‌دهند .

جبرهای Affine لی از جبرهای ساده لی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

اگر ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی ساده با ابعاد محدود، جبر لی وابسته مربوطه است. $\hat{\mathfrak{g}}$ به عنوان گسترش مرکزی جبر حلقه ساخته شده است ${\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]$ ، با مرکز تک بعدی. $\mathbb {\mathbb {C} } ج.$ به عنوان یک فضای برداری،

، ${\widehat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {\mathbb {C} } c,$

جایی که $\mathbb {\mathbb {C} } [t,t^{-1}]$ فضای برداری مختلط چند جمله‌ای لوران در t نامعین است . براکت لی با فرمول تعریف می شود

$[a\otimes t^n+\alpha c, b\otime t^m+\beta c]=[a,b]\otimes t^{n+m}+\langle a|b\rangle n\delta_{m+ n,0}ج$

برای همه $a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {\mathbb {C}}$ و $n,m\in\mathbb{Z}$ ، جایی که $[الف، ب]$ براکت لی در جبر لی است $\langle\cdot |\cdot\rangle$ فرم کارتان-کیلینگ در است. ${\mathfrak {g}}.$

جبر آفین لی مربوط به جبر لی نیمه‌بعدی محدود، مجموع مستقیم جبرهای لی وابسته به جمع‌های ساده آن است. یک اشتقاق متمایز از جبر آفین لی وجود دارد که توسط آن تعریف شده است

. $\delta (a\otime t^m+\alpha c) = t{d\over dt} (a\otime t^m).$

جبر آفین کاک-مودی مربوطه به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم با افزودن یک مولد اضافی d که [ d , A ] = δ ( A ) را برآورده می کند ، تعریف می شود .

ساختن نمودارهای داینکین [ ویرایش ]

نمودار Dynkin هر جبر آفین لی شامل جبر لی ساده مربوطه به اضافه یک گره اضافی است که مربوط به اضافه کردن یک ریشه خیالی است. البته، چنین گره‌ای را نمی‌توان در هر مکانی به نمودار داینکین متصل کرد، اما برای هر جبر لی ساده تعدادی پیوست احتمالی وجود دارد که برابر با کاردینالیته گروه اتومورفیسم‌های بیرونی جبر لی است . به ویژه، این گروه همیشه حاوی عنصر اتحاد است و جبر آفین لی مربوطه را جبر آفین لی غیرمختلط می نامند . هنگامی که جبر ساده، خودمورفیسم هایی را می پذیرد که خودمورفیسم های درونی نیستند، می توان نمودارهای داینکین دیگری را به دست آورد که با پیچ خوردگی مطابقت دارند.جبرهای آفین لی.

نمودارهای Dynkin برای جبرهای آفین لی
مجموعه ای از نمودارهای داینکین نزدیک (مختلط نشده) با گره های اضافه شده به رنگ سبز	فرم های پیوندی "پیچ خورده" با (2) یا (3) رونوشت نام گذاری می شوند. ( k تعداد گره های نمودار است)

طبقه بندی پسوندهای مرکزی [ ویرایش ]

پیوستن یک گره اضافی به نمودار داینکین جبر ساده لی مربوطه با ساختار زیر مطابقت دارد. یک جبر لی وابسته همیشه می تواند به عنوان بسط مرکزی جبر حلقه جبر لی ساده مربوطه ساخته شود . اگر کسی بخواهد به جای آن با جبر لی نیمه ساده شروع کند، باید به طور متمرکز تعدادی عنصر برابر با تعداد اجزای ساده جبر نیمه ساده گسترش دهد. در فیزیک، اغلب به جای مجموع مستقیم یک جبر نیمه ساده و یک جبر آبلی در نظر گرفته می شود. $\mathbb {\mathbb {C}} ^{n}$ . در این مورد نیز باید n عنصر مرکزی دیگر برای n ژنراتور آبلی اضافه کرد.

دومین همومولوژی انتگرال گروه حلقه از گروه لی فشرده ساده متناظر با اعداد صحیح هم شکل است. پسوندهای مرکزی گروه آفین لی توسط یک ژنراتور منفرد از نظر توپولوژیکی، بسته‌های دایره‌ای روی این گروه حلقه آزاد هستند که توسط یک دو کلاس شناخته شده به عنوان اولین کلاس Chern از فیبراسیون طبقه‌بندی می‌شوند . بنابراین، پسوندهای مرکزی یک گروه آفین لی با یک پارامتر واحد طبقه‌بندی می‌شوند که در ادبیات فیزیک سطح نامیده می‌شود ، جایی که برای اولین بار ظاهر شد. نمایش واحد بالاترین وزن گروه های فشرده وابسته تنها زمانی وجود دارد که kیک عدد طبیعی است به طور کلی، اگر جبر نیمه ساده را در نظر بگیریم، برای هر جزء ساده یک بار مرکزی وجود دارد.

ساختار [ ویرایش ]

اساس کارتان–ویل [ ویرایش ]

همانطور که در مورد محدود، تعیین مبنای کارتان-ویل گام مهمی در تعیین ساختار جبرهای آفین لی است.

یک جبر لی با ابعاد محدود، ساده و مختلط را رفع کنید ${\mathfrak {g}}$ با زیر جبر کارتن ${\mathfrak {h}}$ و یک سیستم ریشه خاص $\ دلتا$ . معرفی نماد، $X_{n}=X\otime t^{n}،$ ، می توان تلاش کرد تا مبنای کارتان-ویل را گسترش دهد $\{H^{i}\}\cup \{E^{\alpha }|\alpha \in \Delta \}$ برای ${\mathfrak {g}}$ به یکی برای جبر لی نزدیک، داده شده توسط $\{H_{n}^{i}\}\cup \{c\}\cup \{E_{n}^{\alpha }\}$ ، با $\{H_{0}^{i}\}\cup \{c\}$ تشکیل یک زیر جبر آبلی

مقادیر ویژه ازآد(اچ0من) $ad(H_{0}^{i})$ وآد(ج) $ad(c)$ بر $E_{n}^{\alpha }$ هستند $\alpha ^{i}$ و $0$ به ترتیب و مستقل از $n$ . بنابراین ریشه $\ آلفا$ نسبت به این زیر جبر آبلی بی نهایت منحط است. الحاق اشتقاق شرح داده شده در بالا به زیر جبر آبلی، زیر جبر آبلی را به یک جبر فرعی کارتن برای جبر لی وابسته، با مقادیر ویژه تبدیل می کند. $(\alpha ^{1},\cdots ,\alpha ^{dim{\mathfrak {h}}},0,n)$ برای. $E_{n}^{\alpha }.$

فرم کشتار [ ویرایش ]

فرم کیلینگ را می توان تقریباً با استفاده از ویژگی عدم تغییر آن به طور کامل تعیین کرد. با استفاده از نماد $ب$ برای فرم کیلینگ در ${\mathfrak {g}}$ و ${\ کلاه {B}}$ برای فرم کیلینگ در جبر وابسته به Kac-Moody،

${\hat {B}}(X_{n},Y_{m})=B(X,Y)\delta _{n+m,0},$

${\hat {B}}(X_{n},c)=0,{\hat {B}}(X_{n},d)=0$

${\hat {B}}(c,c)=0,{\hat {B}}(c,d)=1,{\hat {B}}(d,d)=0,$ که در آن تنها آخرین معادله با عدم تغییر ثابت نمی شود و در عوض بر اساس قرارداد انتخاب می شود. قابل توجه، محدودیت از ${\ کلاه {B}}$ به $ج، د$ زیرفضا یک فرم دوخطی با امضا می دهد $(+,-)$ .

ریشه affine مربوط به را بنویسید $E_{n}^{\alpha }$ مانند ${\hat {\alpha }}=(\alpha ;0;n)$ . تعریف کردن $\delta =(0,0,1)$ ، این را می توان بازنویسی کرد

${\hat {\alpha }}=\alpha +n\delta .$

مجموعه کامل ریشه ها است

${\hat {\Delta }}=\{\alpha +n\delta |n\in \mathbb {Z} ,\alpha \in \Delta \}\cup \{n\delta |n\in \ mathbb {Z}،n\neq 0\}.$ سپس $\دلتا$ غیر معمول است زیرا طول آن صفر است: $(\delta,\delta)=0$ جایی که $(\cdot,\cdot)$ شکل دوخطی روی ریشه ها است که توسط فرم کیلینگ ایجاد می شود.

ریشه ساده افین [ ویرایش ]

برای به دست آوردن مبنای ریشه های ساده برای جبر وابسته، باید یک ریشه ساده اضافی اضافه شود و با

$\alpha _{0}=-\theta +\delta$ جایی که $\ تتا$ بالاترین ریشه است ${\mathfrak {g}}$ ، با استفاده از مفهوم معمول ارتفاع یک ریشه. این اجازه می دهد تا ماتریس توسعه یافته کارتان و نمودارهای دیکین توسعه یافته را تعریف کنید .

نظریه نمایش [ ویرایش ]

تئوری نمایش برای جبرهای آفین لی معمولاً با استفاده از ماژول های Verma توسعه می یابد . درست مانند جبرهای لی نیمه ساده، اینها بالاترین وزن هستند . هیچ نمایشی با ابعاد محدود وجود ندارد. این از این واقعیت ناشی می شود که بردارهای تهی یک ماژول ورما با بعد محدود لزوماً صفر هستند. در حالی که جبرهای لی وابسته نیستند. به طور کلی، این به این دلیل است که شکل کیلینگ در فرم لورنتسی استج، $c,\delta$ جهت ها، بنابراین $(z، \bar{z})$ گاهی اوقات "مختصات مخروط نور" روی رشته نامیده می شوند. ضربات اپراتور فعلی "به صورت شعاعی سفارش داده شده" را می توان به صورت عادی زمانی که با گرفتن سفارش داده شده است درک کرد $z=\exp(\tau + i\sigma)$ با $\ tau$ جهت زمان مانند در امتداد صفحه جهان ریسمان و $\سیگما$ جهت فضایی

نمایش خلاء رتبه k [ ویرایش ]

نمایش ها با جزئیات بیشتر به شرح زیر ساخته شده اند. [1]

جبر لی را برطرف کنید ${\mathfrak {g}}$ و اساس $\{J^{\rho }\}$ . سپس $\{J_{n}^{\rho }\}=\{J^{\rho }\otime t^{n}\}$ مبنایی برای جبر حلقه مربوطه است و $\{J_{n}^{\rho }\}\cup \{c\}$ مبنایی برای جبر لی نزدیک است ${\hat {\mathfrak {g}}}$ .

نمایش خلاء رتبه $ک$ ، نشان داده شده است $V_{k}({\mathfrak {g}})$ جایی که $k\in \mathbb {C}$ نمایش مختلط با پایه است

$\{v_{n_{1}\cdots n_{m}}^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}:n_{1}\geq \cdots \geq n_{m} \geq 1,\rho _{1}\leq \cdots \leq \rho _{m}\}\cup \{\Omega \}$ و عمل را تعریف کنید $V=V_{k}({\mathfrak {g}})$ توسط (با $n> 0$ )

$c=k{\text{id}}_{V},\,J_{n}^{\rho }\Omega =0,$

$J_{-n}^{\rho }\Omega =v_{n}^{\rho }\,J_{-n}^{\rho }v_{n_{1}\cdots n_{m}} ^{\rho _{1}\cdots \rho _{m}}=v_{nn_{1}\cdots n_{m}}^{\rho \rho _{1}\cdots \rho _{m}} .$

جبر افین رأس [ ویرایش ]

همچنین ببینید: جبر عملگر راس § مثال: ماژول های خلاء WZW

نمایش خلاء در واقع می تواند به ساختار جبر رأس مجهز شود که در این صورت به آن جبر رأس افین رتبه می گویند . $ک$ . جبر لی وابسته به طور طبیعی به جبر Kac-Moody، با دیفرانسیل گسترش می یابد. $د$ توسط اپراتور ترجمه ارائه شده است $تی$ در جبر رأس

گروه و شخصیت های ویل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول شخصیت ویل-Kac

گروه ویل از جبر آفین لی را می توان به عنوان یک ضرب نیمه مستقیم از گروه ویل از جبر حالت صفر (جبر لی که برای تعریف جبر حلقه استفاده می شود ) و شبکه Coroot نوشت .

فرمول کاراکتر ویل از نویسه‌های جبری جبرهای آفین لی به فرمول کاراکتر ویل-Kac تعمیم می‌یابد . تعدادی از ساخت و سازهای جالب از اینها به دست می آید. می توان تعمیم هایی از تابع تتا ژاکوبی ساخت . این توابع تتا تحت گروه مدولار تبدیل می شوند . اتحاد های مخرج معمول جبرهای لی نیمه ساده نیز تعمیم می یابد. از آنجا که کاراکترها را می توان به عنوان "تغییر شکل" یا q-آنالوگ با بالاترین وزن نوشت، این منجر به بسیاری از اتحاد های ترکیبی جدید، شامل بسیاری از اتحاد های ناشناخته قبلی برای تابع اا ددکیند شد.. این تعمیم ها را می توان به عنوان یک مثال عملی از برنامه Langlands در نظر گرفت .

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

به دلیل ساختار سوگووارا ، جبر فراگیر جهانی هر جبر لی وابسته، جبر ویراسورو را به عنوان یک جبر فرعی دارد. این امر به جبرهای آفین لی اجازه می‌دهد تا به عنوان جبرهای تقارن تئوری‌های میدان هم‌شکل مانند مدل‌های WZW یا مدل‌های هممجموعه عمل کنند. در نتیجه، جبرهای آفین لی نیز در توضیحات صفحه جهان نظریه ریسمان ظاهر می‌شوند .

مثال [ ویرایش ]

جبر هایزنبرگ [2] توسط ژنراتورها تعریف شده است $a_{n},n\in \mathbb {Z}$ روابط کموتاسیون رضایت بخش

$[a_{m},a_{n}]=m\delta _{m+n,0}c$ را می توان به عنوان جبر لی قرابتی درک کرد ${\hat {\mathfrak {u}}}(1)$ .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Affine_Lie_algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی