از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

محورهای اصلی راکت تنیس.

ویدئوی ترکیبی از یک راکت تنیس که حول سه محور می چرخد ​​- محور میانی از لبه روشن به لبه تاریک می چرخد.

صفحه عنوان "Théorie Nouvelle de la Rotation des Corps"، چاپ 1852

قضیه راکت تنیس یا قضیه محور میانی نتیجه ای در مکانیک کلاسیک است که حرکت یک جسم صلب را با سه ممان اینرسی اصلی مشخص می کند . همچنین به نام فضانورد شوروی ولادیمیر ژانیبکوف که در سال 1985 در فضا بود به یکی از پیامدهای منطقی قضیه توجه کرد ، اثر جانیبکوف نیز نامگذاری شده است، [1] اگرچه این اثر از قبل حداقل 150 سال قبل از آن شناخته شده بود و در کتابی نوشته شده بود. لویی پوانسو در سال 1834. [2] [3]

این قضیه اثر زیر را توصیف می کند: چرخش یک جسم حول محورهای اصلی اول و سوم آن پایدار است، در حالی که چرخش حول محور اصلی دوم (یا محور میانی) آن پایدار نیست.

این را می توان با آزمایش زیر نشان داد: یک راکت تنیس را با صورت افقی در دسته آن نگه دارید و سعی کنید آن را در هوا پرتاب کنید تا یک چرخش کامل حول محور افقی عمود بر دسته انجام دهد و سعی کنید برای گرفتن دسته تقریباً در همه موارد، در طی آن چرخش، صورت نیم چرخش را نیز تکمیل می کند، به طوری که صورت دیگر اکنون بالا است. در مقابل، پرتاب راکت آسان است تا حول محور دسته ( ê 1 در نمودار) بدون همراهی نیم چرخش حول محور دیگر بچرخد. همچنین می توان چرخش آن را حول محور عمودی عمود بر دستگیره ( ê 3 ) بدون هیچ گونه نیم چرخشی همراه انجام داد.

این آزمایش را می توان با هر جسمی که دارای سه ممان اینرسی متفاوت است انجام داد، به عنوان مثال با کتاب، کنترل از راه دور یا گوشی هوشمند. این اثر زمانی رخ می دهد که محور چرخش فقط اندکی با محور دوم اصلی شیء متفاوت باشد. مقاومت هوا یا جاذبه لازم نیست. [4]

تئوری

تجسم ناپایداری محور میانی. بزرگی تکانه زاویه ای و انرژی جنبشی یک جسم در حال چرخش هر دو حفظ می شوند. در نتیجه بردار سرعت زاویه ای روی تقاطع دو بیضی باقی می ماند.

0:15

نمایش اثر Dzhanibekov در ریزگرانش ، ناسا .

قضیه راکت تنیس را می توان با کمک معادلات اویلر به صورت کیفی تحلیل کرد . در شرایط بدون گشتاور ، آنها به شکل زیر هستند:

{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})\omega _{3}\omega _{2} ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&=( I_{1}-I_{3})\omega _{1}\omega _{3}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{2}-I_{1})\omega _{2}\omega _{1}~~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~{\text{(3)}}\end{تراز شده}}}

اینجا I_{1}،I_{2}،I_{3}ممان های اینرسی اصلی جسم را نشان می دهیم، و ما فرض می کنیم {\displaystyle I_{1}<I_{2}<I_{3}}. سرعت های زاویه ای اطراف سه محور اصلی جسم هستند\omega _{1}،\omega _{2}،\omega _{3}و مشتقات زمانی آنها با نشان داده می شود\dot\omega_1، \dot\omega_2، \dot\omega_3.

چرخش پایدار حول محور اصلی اول و سوم

موقعیتی را در نظر بگیرید که جسم در حال چرخش حول محور با ممان اینرسی است من_{1}. برای تعیین ماهیت تعادل، سرعت های زاویه ای اولیه کوچک را در امتداد دو محور دیگر فرض کنید. در نتیجه با توجه به رابطه (1) {\displaystyle ~{\dot {\omega }}_{1}}خیلی کوچیکه. بنابراین، وابستگی زمانی از~\omega _{1}ممکن است مورد غفلت قرار گیرد.

اکنون معادله (2) را متمایز کرده و جایگزین می کنیم{\dot {\omega }}_{3}از معادله (3)،

{\displaystyle {\begin{aligned}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})\omega _{1}{\dot {\omega }}_{3}\\I_{3}I_{2}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{1}-I_{3})(I_{2}-I_{1 })(\omega _{1})^{2}\omega _{2}\\{\text{یعنی }}~~~~{\ddot {\omega }}_{2}&={\text {(کمیت منفی)}}\cdot \omega _{2}\end{تراز شده}}}

زیرا{\displaystyle I_{2}-I_{1}>0}و{\displaystyle I_{1}-I_{3}<0}.

توجه داشته باشید که\omega _{2}مخالف است و بنابراین چرخش حول این محور برای جسم پایدار است.

استدلال مشابه آن چرخش حول محور با گشتاور اینرسی را نشان می دهدمن_{3}نیز پایدار است.

چرخش ناپایدار حول محور دوم

اکنون همان آنالیز را روی محور با ممان اینرسی اعمال کنید{\displaystyle I_{2}.}این بار{\dot {\omega }}_{{2}}خیلی کوچیکه. بنابراین، وابستگی زمانی از ~\omega _{2}ممکن است مورد غفلت قرار گیرد.

اکنون معادله (1) را متمایز کرده و جایگزین می کنیم{\dot {\omega }}_{3}از معادله (3)،

{\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{3}-I_{2})(I_{2}-I_{ 1})(\omega _{2})^{2}\omega _{1}\\{\text{ie}}~~~~{\ddot {\omega }}_{1}&={\ متن{(کمیت مثبت)}}\cdot \omega _{1}\end{تراز شده}}}

توجه داشته باشید که\omega _{1}مخالف نیست ( و بنابراین رشد خواهد کرد) و بنابراین چرخش حول محور دوم ناپایدار است . بنابراین، حتی یک اختلال کوچک در امتداد محورهای دیگر باعث می‌شود که شیء به سمت چرخش حرکت کند.

همچنین ببینید

  • زوایای اویلر - توصیف جهت یک جسم صلب
  • ممان اینرسی - اندازه گیری اسکالر اینرسی دورانی با توجه به یک محور چرخش ثابت
  • بیضی پوینسو - روش هندسی برای تجسم یک جسم صلب در حال چرخش
  • پولود - منحنی تولید شده توسط بردار سرعت زاویه ای بر روی بیضی اینرسی

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tennis_racket_theorem