2-گروه های لی و جبرهای لی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:49

تاریخچه [ ویرایش ]

جبرهای لی برای مطالعه مفهوم تبدیل های بی نهایت کوچک توسط ماریوس سوفوس لی در دهه 1870 معرفی شدند، [1] و به طور مستقل توسط ویلهلم کیلینگ [2] در دهه 1880 کشف شدند. نام جبر لی توسط هرمان ویل در دهه 1930 داده شد. در متون قدیمی از اصطلاح گروه بینهایت کوچک استفاده شده است.

تعاریف [ ویرایش ]

تعریف جبر لی [ ویرایش ]

جبر لی یک فضای برداری است $\,{\mathfrak {g}}$ روی فلان زمینه $اف$ همراه با یک عملیات باینری $[\,\cdot \,,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ براکت لی نامیده می شود که بدیهیات زیر را برآورده می کند: [b]

دوخطی بودن ،

، $[ax+by,z]=a[x,z]+b[y,z],$

$[z,ax+by]=a[z,x]+b[z,y]$

برای همه اسکالرهاآ $آ$ ،ب $ب$ که در $اف$ و تمام عناصر $ایکس$ ، $y$ ، $z$ که در ${\mathfrak {g}}$ .

جایگزینی ،

$[x,x]=0\$

برای همه $ایکس$ که در ${\mathfrak {g}}$ .

همانی ژاکوبی ،

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\$

برای همه $ایکس$ ، $y$ ، $z$ که در ${\mathfrak {g}}$ .

استفاده از دوخطی برای گسترش براکت لی $[x+y، x+y]$ و استفاده از جایگزینی نشان می دهد که $[x,y]+[y,x]=0\$ برای همه عناصر $ایکس$ ، $y$ که در ${\mathfrak {g}}$ ، نشان می دهد که دوخطی بودن و جایگزینی با هم دلالت دارند

ضد جابجایی ،

$[x,y]=-[y,x],\$

برای همه عناصر $ایکس$ ، $y$ که در ${\mathfrak {g}}$ . اگر مشخصه میدان 2 نباشد، ضد جابجایی دلالت بر جایگزینی دارد، زیرا دلالت بر آن دارد. $[x,x]=-[x,x].$ [3]

مرسوم است که جبر لی را با یک حرف کوچک کوچک نشان می دهند مانند، ${\mathfrak {g,h,b,n}}$ . اگر جبر لی با یک گروه لی مرتبط باشد، جبر با نسخه Fraktur گروه مشخص می شود: برای مثال جبر لی از ${\mathfrak {su}}(n)$ .

مولدها و ابعاد [ ویرایش ]

عناصر جبر لی ${\mathfrak {g}}$ گفته می شود که اگر کوچکترین جبر فرعی حاوی این عناصر باشد، آن را ایجاد می کند ${\mathfrak {g}}$ خود بعد یک جبر لی، بعد آن به عنوان یک فضای برداری است $اف$ . کاردینالیته یک مجموعه تولید حداقلی از جبر لی همیشه کمتر یا مساوی با بعد آن است.

برای نمونه‌های کوچک دیگر ، طبقه‌بندی جبرهای لی حقیقی کم‌بعد را ببینید.

زیر جبرها، ایده ال ها و هم شکلی ها [ ویرایش ]

براکت لی الزامی نیست که تداعی کننده باشد ، به این معنی $[[x,y],z]$ لازم نیست برابر $[x،[y،z]]$ . با این حال، انعط پذیر است . با این وجود، بسیاری از اصطلاحات حلقه ها و جبرهای انجمنی معمولاً برای جبرهای لی به کار می روند. یک زیر جبر لی یک فضای فرعی است ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ که در زیر براکت لی بسته شده است. یک ایده آل ${\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ یک زیر جبر است که شرط قوی تر را برآورده می کند: [4]

. $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.$

هممورفیسم جبر لی یک نقشه خطی سازگار با براکت های لی مربوطه است:

. $\phi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g'}},\quad \phi ([x,y])=[\phi (x),\phi (y)]\ {\text{برای همه}}\ x,y\ در {\mathfrak {g}}.$

در مورد حلقه‌های تداعی، ایده‌آل‌ها دقیقاً هسته‌های همریختیها هستند. جبر لی داده شده است ${\mathfrak {g}}$ و یک ایده آل ${\mathfrak {i}}$ در آن جبر عاملی یا جبر نسبی ساخته می شود ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ و اولین قضیه یکریختی برای جبرهای لی صادق است.

از آنجایی که براکت لی نوعی جابجایی بینهایت کوچک از گروه لی مربوطه است، می گوییم که دو عنصر $x,y\in {\mathfrak {g}}$ اگر براکت آنها ناپدید شد رفت و آمد کنید: $[x,y]=0$ .

جبر متمرکز کننده یک زیر مجموعه $S\subset {\mathfrak {g}}$ مجموعه ای از عناصر در رفت و آمد با $اس$ : به این معنا که، برای همه } ${\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]=0\ {\text{ برای همه }}ها در S\}$ . متمرکز کننده از ${\mathfrak {g}}$ خودش مرکز است ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})$ . به طور مشابه، برای یک زیرفضای S ، زیرجبر نرمال ساز از $اس$ است برای همه ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}\ \mid \ [x,s]\in S\ {\text {برای همه}}\ s\در S\}$ . [5] به طور معادل، اگر $اس$ یک زیر جبر لی است، ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$ بزرگترین زیر جبر است به طوری که $اس$ یک ایده آل از ${\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)$ .

مثالها [ ویرایش ]

برای ${\mathfrak {d}}(2)\subset {\mathfrak {gl}}(2)$ ، جابجاگر دو عنصر $g\in {\mathfrak {gl}}(2)$ $d\in {\mathfrak {d}}(2)$ :

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی