1-گروه های لی و جبرهای لی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:48

گروه های لی و جبرهای لی

نشان می دهد گروه های کلاسیک
نشان می دهد گروه های لی ساده
نشان می دهد گروه های لی دیگر
نشان می دهد جبرهای لی
نشان می دهد جبر لی نیمه ساده
نشان می دهد نظریه نمایش
نشان می دهد گروه های لی در فیزیک
نشان می دهد دانشمندان
واژه نامه جدول گروه های لی
v تی ه

ساختار جبری ← نظریه حلقه نظریه حلقه

نشان می دهد مفاهیم اساسی
نشان می دهد جبر جابجایی
نشان می دهد جبر غیر جابجایی
v تی ه

در ریاضیات ، یک جبر لی ، که جبر لی نامیده می شود، زیرا نادرست است، (تلفظ / l iː / LEE ) یک فضای برداری است . ${\mathfrak {g}}$ همراه با عملیاتی به نام براکت لی ، یک نقشه دوخطی متناوب ${\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ ، که همانی ژاکوبی را ارضا می کند . براکت لی دو بردار $ایکس$ و $y$ نشان داده شده است $[x,y]$ . [a] فضای برداری ${\mathfrak {g}}$ همراه با این عملیات یک جبر غیر انجمنی است ، به این معنی که براکت لی لزوماً انجمنی نیست .

جبرهای لی ارتباط نزدیکی با گروه‌های لی دارند ، که گروه‌هایی هستند که منیفولدهای همواری نیز دارند : هر گروه لی جبر لی را ایجاد می‌کند که فضای مماس آن در همانی است. برعکس، برای هر جبر لی با ابعاد محدود بر روی اعداد حقیقی یا مختلط، یک گروه لی متصل متناظر وجود دارد که تا پوشش های محدود منحصر به فرد است ( قضیه سوم لی ). این مکاتبات به فرد اجازه می دهد تا ساختار و طبقه بندی گروه های لی را از نظر جبرهای لی مطالعه کند.

در فیزیک، گروه‌های لی به‌عنوان گروه‌های متقارن از سیستم‌های فیزیکی ظاهر می‌شوند و جبرهای لی آنها (بردارهای مماس نزدیک به همانی) ممکن است به عنوان حرکات تقارن بی‌نهایت کوچک در نظر گرفته شوند. بنابراین جبرهای لی و نمایش آنها به طور گسترده در فیزیک، به ویژه در مکانیک کوانتومی و فیزیک ذرات استفاده می شود.

یک مثال ابتدایی فضای بردارهای سه بعدی است ${\mathfrak {g}}=\mathbb {R} ^{3}$ با عملیات براکت که توسط ضرب خارجی تعریف شده است . $[x,y]=x\times y.$ از آنجایی که این چولگی متقارن است
$x\times y=-y\times x$ و به جای تداعی، همانی ژاکوبی را ارضا می کند:

. $x\times (y\times z)\ =\ (x\times y)\times z\ +\ y\times (x\time z).$

این جبر لی از گروه لی از چرخش های فضا و هر بردار است $v\in \mathbb {R} ^{3}$ ممکن است به صورت یک چرخش بینهایت کوچک حول محور تصویر شود $v$ ، با سرعتی برابر با اندازه $v$ . براکت لی معیاری برای عدم جابه‌جایی بین دو چرخش است: از آنجایی که یک چرخش با خودش جابه‌جا می‌شود، ویژگی متناوب را داریم. $[x,x]=x\times x=0$ .

=
${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}x&0\\0&y\end{bmatrix}}\right]&= {\begin{bmatrix}ax&by\\cx&dy\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}ax&bx\\cy&dy\\\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&b(yx )\\c(xy)&0\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

نشان می دهد ${\mathfrak {d}}(2)$ یک خرده جبر است، اما ایده آل نیست. در واقع، هر زیرفضای خطی تک بعدی یک جبر لی دارای ساختار جبر القایی است که به طور کلی ایده آل نیست. برای هر جبر لی ساده، همه جبرهای لی آبلی هرگز نمی توانند ایده آل باشند.

حاصل جمع مستقیم و نیمه مستقیم [ ویرایش ]

برای دو جبر لی ${\mathfrak {g^{}}}$ و" ${\mathfrak {g'}}$ ، مجموع مستقیم آنها جبر لی فضای برداری است" ${\mathfrak {g}}\plus {\mathfrak {g'}}$ متشکل از تمام جفت ها(،")،∈، "∈" ${\mathfrak {}}(x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}$ ، با عمل

، $[(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y'])،$

به طوری که کپی از،" ${\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}'$ رفت و آمد با یکدیگر:. $[(x,0),(0,x')]=0.$

اجازه دهید ${\mathfrak {g}}$ جبر لی باشد و ${\mathfrak {i}}$ یک ایده آل از ${\mathfrak {g}}$ . اگر نقشه متعارف→ ${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ تقسیم می کند (یعنی بخشی را می پذیرد)، سپس ${\mathfrak {g}}$ گفته می شود ضرب نیمه مستقیم از ${\mathfrak {i}}$ و ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}$ ، ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}$ . جمع نیمه مستقیم جبرهای لی را نیز ببینید .

قضیه لوی می گوید که جبر لی با ابعاد محدود حاصلضرب نیمه مستقیم رادیکال آن و جبر فرعی مکمل ( زیرجبر لوی ) است.

مشتقات [ ویرایش ]

اشتقاقی در جبر لی ${\mathfrak {g}}$ (یا در هر جبر غیر انجمنی ) یک نقشه خطی است :→ $\delta \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}$ که از قانون لایب نیتس پیروی می کند ، یعنی

$\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]$

برای همه $x,y\in {\mathfrak {g}}$ . اشتقاق درونی مرتبط با هر∈ $x\in {\mathfrak {g}}$ نقشه برداری الحاقی استآد $\mathrm {ad} _{x}$ تعریف شده بوسیله $\mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]$ . (این اشتقاقی در نتیجه همانی ژاکوبی است.) اشتقاق های بیرونی مشتقاتی هستند که از نمایش الحاقی جبر لی به دست نمی آیند. اگر ${\mathfrak {g}}$ نیمه ساده است ، هر اشتقاقی درونی است.

مشتقات یک فضای برداری را تشکیل می دهندDهr $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ ، که زیر جبر لی از ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ ; براکت جابجاگر است. مشتقات درونی یک زیر جبر لی ازDهr $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})$ .

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال، با توجه به یک ایده آل جبر لی ${\mathfrak {i}}\subset {\mathfrak {g}}$ نمایندگی الحاقی ${\mathfrak {ad}}_{\mathfrak {g}}$ از ${\mathfrak {g}}$ به عنوان مشتقات بیرونی بر روی عمل می کندمن ${\mathfrak {i}}$ از آنجا که $[x,i]\subset {\mathfrak {i}}$ برای هرچی∈ $x\in {\mathfrak {g}}$ ون $i\in {\mathfrak {i}}$ . برای جبر لی ${\mathfrak {b}}_{n}$ ماتریس های مثلثی بالایی در ${\mathfrak {gl}}(n)$ ، ایده الی دارد ${\mathfrak {n}}_{n}$ از ماتریس های مثلثی کاملاً بالایی (که در آن تنها عناصر غیرصفر بالای قطر ماتریس هستند). به عنوان مثال، جابجایی عناصر درب3 ${\mathfrak {b}}_{3}$ و3 ${\mathfrak {n}}_{3}$ می دهد ${\begin{aligned}\left[{\begin{bmatrix}a&b&c\\0&d&e\\0&0&f\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&x&y\\0&0&z\\0&0&0\end{bmatrix} }\right]&={\begin{bmatrix}0&ax&ay+bz\\0&0&dz\\0&0&0\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}0&dx&ex+yf\\0&0&fz\\0&0&0\end{bmatrix}}\ \&={\begin{bmatrix}0&(ad)x&(af)y-ex+bz\\0&0&(df)z\\0&0&0\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

نشان می دهد که مشتقات بیرونی وجود داردب3 ${\mathfrak {b}}_{3}$ که درDer(3) ${\text{Der}}({\mathfrak {n}}_{3})$ .

جبر لی تقسیم [ ویرایش ]

فرض کنید V یک فضای برداری با بعد محدود روی یک میدان F باشد، ${\mathfrak {gl}}(V)$ جبر لی تبدیل های خطی و⊆ ${\mathfrak {g}}\subseteq {\mathfrak {gl}}(V)$ یک جبر لی. سپس ${\mathfrak {g}}$ اگر ریشه های چندجمله ای های مشخصه همه تبدیل های خطی در آن تقسیم می شود ${\mathfrak {g}}$ در میدان پایه F قرار دارند. [6] به طور کلی، جبر لی با ابعاد محدود ${\mathfrak {g}}$ اگر دارای یک جبر فرعی کارتن باشد که تصویر آن در زیر نمایش الحاقی است تقسیم می شود آگهی:→ $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ جبر لی تقسیم شده است. شکل حقیقی تقسیم شده یک جبر لی نیمه ساده پیچیده (ر.ک. #شکل حقیقی و پیچیدگی ) نمونه ای از جبر لی حقیقی تقسیم شده است. همچنین برای اطلاعات بیشتر به تقسیم جبر لی مراجعه کنید .

مبنای فضای برداری [ ویرایش ]

برای محاسبات عملی، اغلب انتخاب یک مبنای فضای برداری صریح برای جبر راحت است. یک ساختار متداول برای این مبنا در ثابت های ساختار مقاله ترسیم شده است .

تعریف با استفاده از نماد نظری دسته [ ویرایش ]

اگرچه تعاریف بالا برای درک متعارف جبرهای لی کی است، پس از درک این موضوع، می توان با استفاده از نمادهای رایج در نظریه دسته بندی ، یعنی با تعریف جبر لی بر اساس نقشه های خطی - یعنی مورفیسم ها ، بینش بیشتری به دست آورد. از دسته فضاهای برداری - بدون در نظر گرفتن عناصر منفرد. (در این بخش، میدانی که جبر بر روی آن تعریف شده است، فرض می شود که دارای مشخصه ای متفاوت از دو باشد.)

برای تعریف نظری دسته‌بندی جبرهای لی، دو هم ریختی قیطانی مورد نیاز است. اگر A یک فضای برداری باشد، یکریختی تبادلی :آ⊗آ→آ⊗آ $\tau :A\otime A\to A\otime A$ تعریف شده است

$\tau (x\otimes y)=y\otime x.$

بندگی چرخه‌ای جایگشت : $\sigma :A\otimes A\otime A\to A\otime A\otimes A$ به عنوان ... تعریف شده است

$\sigma =(\mathrm {id} \otimes \tau )\circ (\tau \otimes \mathrm {id})،$

جایی کهمند $\mathrm{id}$ مورفیسم همانی است. هم ارز، $\سیگما$ تعریف شده است

$\sigma (x\otimes y\otimes z)=y\otimes z\otimes x.$

با این نماد، جبر لی را می توان به عنوان یک شی تعریف کرد آ $آ$ در رده فضاهای برداری همراه با مورفیسم

$[\cdot ,\cdot ]:A\otime A\right arrow A$

که دو برابری مورفیسم را برآورده می کند

$[\cdot ,\cdot ]\circ (\mathrm {id} +\tau )=0,$

. $[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot ]\otimes \mathrm {id})\circ (\mathrm {id} +\sigma +\sigma ^{2})=0.$

مثالها [ ویرایش ]

فضاهای برداری [ ویرایش ]

هر فضای برداری $V$ وقف براکت لی یکسان صفر به جبر لی تبدیل می شود. چنین جبرهای لی آبلی نامیده می شوند . زیر هر جبر لی تک بعدی بر روی یک میدان، با خاصیت متناوب براکت لی، آبلی است.

جبر انجمنی با براکت جابجاگر [ ویرایش ]

در جبر انجمنی آ $آ$ بر فراز یک مزرعه $اف$ با ضرب(،)↦ $(x,y)\mapsto xy$ ، ممکن است یک براکت لی توسط جابجاگر تعریف شود $[x,y]=xy-yx$ . با این براکت،آ $آ$ جبر لی است. [7] جبر انجمنی A ، جبر پوششی جبر لی نامیده می شود.(آ،[⋅،⋅]) $(A,[\,\cdot \,,\cdot \,])$ . هر جبر لی را می توان در جبری که از یک جبر انجمنی به این شکل ناشی می شود، جاسازی کرد. جبر فراگیر جهانی را ببینید .
جبر انجمنی اندومورفیسم های فضای بردار F $V$ با براکت لی بالا نشان داده شده است ${\mathfrak {gl}}(V)$ .
برای فضای برداری با ابعاد محدود $V=F^{n}$ ، مثال قبلی دقیقاً جبر لی از n × n ماتریس است که نشان داده شده استل(،) ${\mathfrak {gl}}(n,F)$ یا ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ ، [8] و با براکت $[X,Y]=XY-YX$ جایی که مجاورت نشان دهنده ضرب ماتریس است. این جبر لی از گروه خطی عمومی است که از ماتریس های معکوس تشکیل شده است.

ماتریس های ویژه [ ویرایش ]

دو زیر جبر مهم از ${\mathfrak {gl}}_{n}(F)$ هستند:

ماتریس های ردیابی صفر جبر لی خطی ویژه را تشکیل می دهند ${\mathfrak {sl}}_{n}(F)$ ، جبر لی گروه خطی ویژه اسL() $\mathrm {SL} _{n}(F)$ . [9]
ماتریس های کج- هرمیتین جبر لی واحد را تشکیل می دهندتو ${\mathfrak {u}}(n)$ ، جبر لی از گروه واحد U ( n ).

جبرهای لی ماتریسی [ ویرایش ]

یک گروه ماتریس پیچیده یک گروه لی است که از ماتریس ها تشکیل شده است.جی⊂م(سی) $G\subset M_{n}(\mathbb {C} )$ ، که در آن ضرب G ضرب ماتریسی است. جبر لی مربوطه ${\mathfrak {g}}$ فضای ماتریس هایی است که بردارهای مماس بر G در داخل فضای خطی هستندم(سی) $M_{n}({\mathbb {C}})$ : این شامل مشتقاتی از منحنی های ص در G در همانی است:

. ${\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {C})\ \mid \ {\text{ smooth }}c:\mathbb {R } \به G,\ c(0)=I\}.$

براکت لی از ${\mathfrak {g}}$ توسط جابجاگر ماتریس ها داده می شود، $[X,Y]=XY-YX$ . با توجه به جبر لی، می توان گروه لی را به عنوان تصویر نگاشت نمایی ماتریس بازیابی کرد.انقضا:م(سی)→م(سی) $\exp :M_{n}(\mathbb {C})\to M_{n}(\mathbb {C})$ تعریف شده بوسیله یانقضا⁡ $\exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+\cdots$ ، که برای هر ماتریس همگرا می شود $ایکس$ : به این معنا که،جی=انقضا⁡ $G=\exp({\mathfrak {g}})$ .

در زیر نمونه‌هایی از جبرهای لی گروه‌های لی ماتریسی آمده است: [10]

گروه خطی ویژه اسL(سی) ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {C} )$ ، متشکل از همه n × n ماتریس با تعیین کننده 1. جبر لی آنسل(سی) ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C})$ شامل تمام n × n ماتریس با ورودی های پیچیده و ردیابی 0 است. به طور مشابه، می توان گروه لی حقیقی متناظر را تعریف کرد.اسL(آر) ${\rm {SL}}_{n}(\mathbb {R} )$ و جبر لی آنسل(آر) ${\mathfrak {sl}}_{n}({\mathbb {R}})$ .
گروه واحد $U(n)$ متشکل از n × n ماتریس واحد (راضی کننده∗=-1 $U^{*}=U^{-1}$ ). جبر لی آن استتو ${\mathfrak {u}}(n)$ متشکل از ماتریس های چوله-خود الحاقی (∗=- $X^{*}=-X$ ).
گروه متعامد ویژه اسO $\mathrm {SO} (n)$ ، متشکل از ماتریس های متعامد یک تعیین کننده حقیقی (آتی=آ-1 $A^{\mathrm {T} }=A^{-1}$ ). جبر لی آن استس $\mathfrak{so}(n)$ متشکل از ماتریس های متقارن چول حقیقی (تی=- $X^{\rm {T}}=-X$ ). گروه کامل متعامدO $\mathrm{O}(n)$ ، بدون شرط یک تعیین کننده، شاملاسO $\mathrm {SO} (n)$ و یک جزء متصل جداگانه، بنابراین همان جبر لی را دارداسO $\mathrm {SO} (n)$ . چرخش های بینهایت کوچک با ماتریس های متقارن چوله را نیز ببینید . به طور مشابه، می توان نسخه پیچیده ای از این گروه و جبر را به سادگی با اجازه دادن به ورودی های ماتریس پیچیده تعریف کرد.

دو بعدی [ ویرایش ]

در هر زمینه ای $اف$ تا یکریختی، یک جبر لی دو بعدی غیرآبلی وجود دارد. با مولدهای x، y، براکت آن به صورت تعریف می شود= $\left[x,y\right]=y$ . گروه ین را در یک بعد تولید می کند.

این را می توان با ماتریس ها متوجه شد:

$x=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{آرایه}}\راست).$

از آنجا که

$\left({\begin{array}{cc}1&c\\0&0\end{array}}\right)^{n+1}=\left({\begin{array}{cc}1&c\\ 0&0\end{آرایه}}\راست)$

برای هر عدد طبیعی $n$ و هرج $ج$ ، می بینیم که عناصر گروه لی حاصل ماتریس های مثلثی بالایی 2×2 با قطر واحد پایین هستند:

$\exp(a\cdot {}x+b\cdot {}y)=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}( e^{a}-1)\\0&1\end{آرایه}}\right)=1+{\tfrac {e^{a}-1}{a}}\left(a\cdot {}x+b \cdot {}y\right).$

سه بعدی [ ویرایش ]

جبر هایزنبرگ اچ3(آر) ${\rm {H}}_{3}(\mathbb {R} )$ یک جبر لی سه بعدی است که توسط عناصر x ، y و z با براکت های لی تولید می شود.

$[x,y]=z,\quad [x,z]=0,\quad [y,z]=0$ .

معمولاً به عنوان فضای 3×3 ماتریس های کاملاً مثلثی بالا، با براکت لی جابجاگر و پایه درک می شود.

$x=\left({\begin{array}{cccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&1\\0&0&0\end{آرایه}}\right),\quad z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad$

هر عنصری از گروه هایزنبرگ به عنوان ضرب مولدهای گروه، یعنی نمایی ماتریسی این مولدهای جبر لی، نمایش داده می شود.

$\left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)=e^{by}e^{cz}e^{ax}~.$

جبر لیس(3) ${\mathfrak {so}}(3)$ از گروه SO(3) توسط سه ماتریس پوشیده شده است [11]

$F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({ \begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\ 1&0&0\\0&0&0\end{آرایه}}\راست)~.\quad$

روابط کموتاسیون بین این مولدها می باشد

$[F_{1},F_{2}]=F_{3},$

$[F_{2},F_{3}]=F_{1},$

$[F_{3},F_{1}]=F_{2}.$

فضای سه بعدی اقلیدسی $\mathbb {R} ^{3}$ با براکت لی داده شده توسط ضرب ضربدری بردارها ، روابط کموتاسیون مشابهی دارد: بنابراین، هم شکل است ${\mathfrak {so}}(3)$ . این جبر لی به طور واحد معادل عملگرهای معمولی مولفه تکانه زاویه‌ای اسپین (فیزیک) برای ذرات اسپین-1 در مکانیک کوانتومی است .

ابعاد بی نهایت [ ویرایش ]

دسته مهمی از جبرهای لی حقیقی بی‌بعدی در توپولوژی دیفرانسیل به وجود می‌آیند . فضای میدان های برداری ص روی یک منیفولد قابل تمایز M یک جبر لی را تشکیل می دهد که در آن براکت لی به عنوان جابجایی میدانهای برداری تعریف شده است . یکی از راه‌های بیان براکت لی از طریق فرمالیسم مشتقات لی است که با اجازه دادن به L X ( f ) مشتق جهت تابع f در یک میدان برداری X با عملگر دیفرانسیل جزئی مرتبه اول L X را شناسایی می‌کند. جهت از X. براکت لی [ X, Y ] دو میدان برداری، میدان برداری است که از طریق عملکرد آن بر روی توابع با فرمول تعریف شده است:

$L_{[X,Y]}f=L_{X}(L_{Y}f)-L_{Y}(L_{X}f).\,$

جبرهای Kac-Moody دسته بزرگی از جبرهای لی بی‌بعدی هستند که ساختار آن‌ها بسیار شبیه به موارد با ابعاد محدود بالا است.
جبر مویال یک جبر لی بی‌بعدی است که شامل تمام جبرهای کلاسیک لی به عنوان جبرهای فرعی است.
جبر Virasoro در نظریه ریسمان از اهمیت بالایی برخوردار است .

نمایندگی ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمایش جبر لی

تعاریف [ ویرایش ]

با توجه به فضای برداری V ، اجازه دهید ${\mathfrak {gl}}(V)$ جبر لی متشکل از تمام اندومورفیسم های خطی V را با براکت نشان دهید $[X,Y]=XY-YX$ . نمایشی از جبر لی ${\mathfrak {g}}$ روی V یک هم شکل جبر لی است

:→. $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).$

یک نمایش در صورتی وفادار است که هسته آن صفر باشد. قضیه آدو [12] بیان می کند که هر جبر لی با بعد محدود، یک نمایش وفادار در فضای برداری با بعد محدود دارد.

نمایندگی الحاقی [ ویرایش ]

برای هر جبر لی ${\mathfrak {g}}$ ، می توانیم یک نمایندگی تعریف کنیم

$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$

داده شده توسط $\operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]$ ; این یک نمایش در فضای برداری است ${\mathfrak {g}}$ نمایندگی الحاقی نامیده می شود .

اهد نظریه نمایش [ ویرایش ]

یکی از جنبه های مهم مطالعه جبرهای لی (به ویژه جبرهای لی نیمه ساده) مطالعه نمایش آنها است. (در واقع، اکثر کتاب‌های فهرست شده در بخش منابع، بخش قابل توجهی از صفحات خود را به نظریه نمایش اختصاص می‌دهند.) اگرچه قضیه آدو نتیجه مهمی است، اما هدف اصلی نظریه نمایش یتن یک نمایش وفادار از جبر لی معین نیست. ${\mathfrak {g}}$ . در واقع، در حالت نیمه ساده، نمایش الحاقی از قبل وفادار است. بلکه هدف این است که تمام نمایش های ممکن را درک کنیم ${\mathfrak {g}}$ ، تا مفهوم طبیعی هم ارزی. در حالت نیمه ساده بر روی میدانی از مشخصه صفر، قضیه ویل [13] می گوید که هر نمایش محدود بعدی، مجموع مستقیمی از نمایش های تقلیل ناپذیر است (آنهایی که هیچ زیرفضاهای ثابت ناچیز ندارند). نمایش های تقلیل ناپذیر، به نوبه خود، توسط قضیه ای با بیشترین وزن طبقه بندی می شوند طبقه‌بندی می‌شوند .

نظریه نمایش در فیزیک [ ویرایش ]

نظریه نمایش جبرهای لی نقش مهمی در بخش‌های مختلف فیزیک نظری دارد. در آنجا، عملگرهایی را در فضای حالت هایی در نظر می گیریم که روابط کموتاسیون طبیعی خاصی را برآورده می کنند. این روابط کموتاسیون معمولاً از تقارن مسئله ناشی می‌شوند - به طور خاص، آنها روابط جبر لی گروه تقارن مربوطه هستند. به عنوان مثال می توان عملگرهای حرکت زاویه ای را نام برد که روابط کموتیشن آنها از جبر لی است.س(3) ${\mathfrak {so}}(3)$ از گروه چرخش SO(3) . به طور معمول، فضای حالت‌ها با عملگرهای مربوطه از غیرقابل کاهش بودن فاصله دارد، اما می‌توان تلاش کرد تا آن را به قطعات تقلیل‌ناپذیر تجزیه کرد. برای انجام این کار، شخص باید نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر جبر لی را بداند. برای مثال، در مطالعه اتم هیدروژن کوانتومی ، کتب درسی مکانیک کوانتومی (بدون نامگذاری آن) یک طبقه بندی از نمایش های تقلیل ناپذیر جبر لی ارائه می دهند.س(3) ${\mathfrak {so}}(3)$ .

تئوری ساختار و طبقه بندی [ ویرایش ]

جبرهای لی را می توان تا حدی طبقه بندی کرد. به طور خاص، این یک کاربرد برای طبقه بندی گروه های لی دارد.

آبلی، بی اندازه و قابل حل [ ویرایش ]

مشابه گروه‌های آبلی، پوچتوان و حلپذیر که بر حسب زیرگروه‌های مشتق شده تعریف می‌شوند، می‌توان جبر آبلی، پوچتوان و لی قابل حل را تعریف کرد.

جبر لی ${\mathfrak {g}}$ آبلی استاگر براکت لی ناپدید شود، یعنی [ x , y ] = 0، برای همه x و y در ${\mathfrak {g}}$ . جبرهای لی آبلی مربوط به گروه های لی متصل (یا آبلی ) مانند فضاهای برداری است. $\mathbb {K} ^{n}$ یا توری ${\mathbb {T}}^{n}$ ، و همه به شکل هستند، ${\mathfrak {k}}^{n}،$ به معنی n بعدی با براکت لی ساده.

یک کلاس کلی تر از جبرهای لی با ناپدید شدن همه جابجایی کننده ها با طول مشخص تعریف می شود. جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر سری مرکزی پایین باشد ، نیرومند نیست

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،{\mathfrak {g }}]>[[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،{\mathfrak {g}}]،{\mathfrak {g}}]>\cdots$

در نهایت صفر می شود بر اساس قضیه انگل ، جبر لی، اگر و فقط اگر برای هر شما در ${\mathfrak {g}}$ اندومورفیسم جانبی

$\operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]$

بی اندازه است

به طور کلی تر، جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر سری مشتق شده قابل حل است :

${\mathfrak {g}}>[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]>[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،[{\mathfrak { g}}،{\mathfrak {g}}]]>[[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}} ]]،[[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]،[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]]]>\cdots$

در نهایت صفر می شود

هر جبر لی با ابعاد محدود دارای یک ایده آل حداکثر قابل حل منحصر به فرد است که رادیکال آن نامیده می شود . تحت مکاتبات لی، گروه‌های لی متصل پوچتوان (به ترتیب، قابل حل) با جبرهای لی پوچتوان (به ترتیب قابل حل) مطابقت دارند.

ساده و نیمه ساده [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: جبر لی نیمه ساده

جبر لی « ساده » است اگر ایده آل های غیر پیش پا تاده نداشته باشد و آبلی نباشد. (این نشان می دهد که جبر لی تک بعدی – لزوماً آبلی – بنا به تعریف ساده نیست، حتی اگر هیچ ایده آلی بی اهمیتی نداشته باشد.) جبر لی. ${\mathfrak {g}}$ نیمه ساده نامیده می شوداگر به مجموع مستقیم جبرهای ساده هم شکل باشدچندین ویژگی معادل برای جبرهای نیمه ساده وجود دارد، مانند نداشتن ایده‌آل غیرصفر قابل حل.

مفهوم نیمه سادگی برای جبرهای لی ارتباط نزدیکی با تقلیل پذیری کامل (نیمه سادگی) نمایش آنها دارد. هنگامی که میدان زمین F دارای مشخصه صفر باشد، هر نمایش محدود بعدی جبر لی نیمه ساده نیمه ساده است (یعنی مجموع مستقیم نمایش های تقلیل ناپذیر). به طور کلی، جبر لی در صورتی که نمایش الحاقی آن نیمه ساده باشد، تقلیل نامیده می شود. بنابراین، یک جبر لی نیمه ساده تقلیل دهنده است.

معیار کارتان [ ویرایش ]

معیار کارتان شرایطی را برای عدم توانمندی، حل شدنی یا نیمه ساده بودن جبر لی ارائه می دهد. این بر اساس مفهوم فرم کشتار ، یک فرم دوخطی متقارن است ${\mathfrak {g}}$ با فرمول تعریف شده است

، $K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v))،$

که در آن tr نشان دهنده اثر یک عملگر خطی است . جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر و فقط اگر شکل Killing غیر منحط باشد نیمه ساده است . جبر لی ${\mathfrak {g}}$ اگر و فقط اگر قابل حل استک $K({\mathfrak {g}}،[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}])=0.$

طبقه بندی [ ویرایش ]

تجزیه لوی یک جبر لی دلخواه را به صورت مجموع نیمه مستقیم رادیکال قابل حل آن و یک جبر لی نیمه ساده را تقریباً به روشی متعارف بیان می کند. (چنین تجزیه ای برای جبر لی با ابعاد محدود بر روی میدانی با مشخصه صفر وجود دارد. [14] ) علاوه بر این، جبرهای لی نیمه ساده بر روی یک میدان جبری بسته کاملاً از طریق سیستم های ریشه خود طبقه بندی شده اند .

ارتباط با گروه های لی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: گروه لی-تطابق جبر لی

فضای مماس یک کره در یک نقطه $ایکس$ . اگر $ایکس$ عنصر همانی است، سپس فضای مماس نیز جبر لی است.

اگرچه جبرهای لی اغلب به تنهایی مورد مطالعه قرار می گیرند، از نظر تاریخی آنها به عنوان وسیله ای برای مطالعه گروه های لی به وجود آمده اند. .

اکنون به طور خلاصه رابطه بین گروه های لی و جبرهای لی را بیان می کنیم. هر گروه لی یک جبر لی تعیین شده متعارف را ایجاد می کند (به طور مشخص، فضای مماس در همانی ). برعکس، برای هر جبر لی با ابعاد محدود ${\mathfrak {g}}$ ، یک گروه لی مرتبط مربوطه وجود داردجی $جی$ با جبر لی ${\mathfrak {g}}$ . این قضیه سوم لی است . فرمول بیکر-کمپبل-هاسدورف را ببینید. این گروه لی به طور منحصر به فرد تعیین نمی شود. با این حال، هر دو گروه لی با جبر لی یکسان، به صورت محلی هم شکل هستند، و به ویژه، پوشش جهانی یکسانی دارند . به عنوان مثال، گروه متعامد خاص SO(3) و گروه واحد ویژه SU(2) همان جبر لی را ایجاد می کنند که هم شکل است.آر3 $\mathbb {R} ^{3}$ با ضرب متقابل، اما SU(2) یک پوشش دوگانه با اتصال ساده SO(3) است.

با این حال، اگر گروه‌های لی را به سادگی به هم متصل کنیم، مطابقت یک به یک داریم: برای هر جبر لی (حقیقی محدود) ${\mathfrak {g}}$ ، یک گروه لی به سادگی متصل وجود داردجی $جی$ با جبر لی ${\mathfrak {g}}$ .

مطابقت بین جبرهای لی و گروه‌های لی به روش‌های مختلفی استفاده می‌شود، از جمله در طبقه‌بندی گروه‌های لی و موضوع مربوط به نظریه نمایش . گروه‌های لی. هر نمایشی از جبر لی به طور منحصر به فردی به نمایشی از گروه لی مرتبط و ساده متصل می شود، و برعکس هر نمایشی از هر گروه لی نمایشی از جبر لی گروه را القا می کند. نمایندگی ها در مکاتبات یک به یک هستند. بنابراین، دانستن بازنمودهای جبر لی، مسئله بازنمودهای گروه را حل می کند.

در مورد طبقه‌بندی، می‌توان نشان داد که هر گروه لی مرتبط با جبر لی معین نسبت به پوشش جهانی یک زیرگروه مرکزی گسسته هم شکل است. بنابراین طبقه‌بندی گروه‌های لی صرفاً به شمارش زیرگروه‌های مجزای مرکز تبدیل می‌شود ، زمانی که طبقه‌بندی جبرهای لی شناخته شد (که توسط Cartan و همکاران به صورت نیمه ساده حل شد. حل شد ).

اگر جبر لی بی‌بعدی باشد، موضوع ظریف‌تر است. در بسیاری از موارد، نقشه نمایی حتی به صورت محلی همومورفیسم نیست (به عنوان مثال، در Diff( S 1 )، ممکن است دیفئومورفیسم هایی را به طور دلخواه نزدیک به همانی پیدا کنید که در تصویر exp وجود ندارد). علاوه بر این، برخی از جبرهای لی بی‌بعدی جبر لی هیچ گروهی نیستند.

شکل حقیقی و پیچیدگی [ ویرایش ]

با توجه به الف جبر لی پیچیده ${\mathfrak {g}}$ ، یک جبر لی حقیقی0 $\mathfrak{g}_0$ گفته می شود که یک شکل حقیقی است است ${\mathfrak {g}}$ اگر پیچیدگی ${\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} \simeq {\mathfrak {g}}$ هم شکل است ${\mathfrak {g}}$ . [15] یک شکل حقیقی لازم نیست منحصر به فرد باشد. مثلا، ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {C}$ دو شکل حقیقی دارد ${\mathfrak {sl}}_{2}\mathbb {R}$ و $\mathfrak{su}_2$ . [15]

با توجه به یک جبر مختلط نیمه‌بعدی متناهی ${\mathfrak {g}}$ شكل شكته آن شكل واقعي است كه شكته مي شود. به عنوان مثال، دارای یک جبر فرعی کارتن است که از طریق یک نمایش الحاقی با مقادیر ویژه حقیقی عمل می کند. یک شکل تقسیم وجود دارد و منحصر به فرد است (تا یکریختی). [15] فرم فشرده یک شکل حقیقی است که جبر لی یک گروه لی فشرده است. یک فرم فشرده وجود دارد و همچنین منحصر به فرد است. [15]

جبر لی با ساختارهای اضی [ ویرایش ]

جبر لی را می توان به ساختارهای اضی مجهز کرد که فرض می شود با براکت سازگار هستند. به عنوان مثال، جبر لی درجه بندی شده ، جبر لی با ساختار فضای برداری درجه بندی شده است. اگر با دیفرانسیل نیز همراه باشد (به طوری که فضای برداری درجه بندی شده زیرین یک مجموعه زنجیره ای باشد)، به آن جبر لی درجه بندی شده دیفرانسیل می گویند .

آجبر لی ساده یک ساده در دسته جبرهای لی است. به عبارت دیگر، با جایگزین کردن مجموعه زیربنایی با یک مجموعه ساده به دست می‌آید (بنابراین بهتر است به عنوان یک خانواده از جبرهای لی در نظر گرفته شود).

حلقه لی [ ویرایش ]

یک حلقه لی به عنوان تعمیم جبرهای لی یا از طریق مطالعه سری های مرکزی پایین گروه ها بوجود می آید . حلقه لی به عنوان یک حلقه غیر همبسته با ضرب که ضد جابجایی است و برآورده می شود تعریف می شود. همانی ژاکوبی را برآورده می کند، تعریف می شود . به طور دقیق تر می توانیم حلقه لی را تعریف کنیم $L$ یک گروه آبلی بودن بودن با عملیات[⋅،⋅] $[\cdot،\cdot]$ که دارای خواص زیر است:

دوخطی بودن:

$[x+y,z]=[x,z]+[y,z],\quad [z,x+y]=[z,x]+[z,y]$

برای همه x , y , z ∈ L .

همانی ژاکوبی :

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0\چهارم$

برای همه x ، y ، z در L.

برای همه x در L :

$[x,x]=0\چهارم$

حلقه‌های لی نیازی به گروه‌های لی در حال اضه شدن ندارند. هر جبر لی نمونه ای از حلقه لی است. هر حلقه انجمنی را می توان با تعریف یک عملگر براکت به یک حلقه لی تبدیل کرد $[x,y]=xy-yx$ . برعکس هر جبر لی، یک حلقه مربوط به آن وجود دارد که جبر فراگیر جهانی نامیده می شود. نامیده می شود .

حلقه های لی در مطالعه گروه های P محدود از طریق مکاتبات لازارد استفاده می شوند . فاکتورهای مرکزی پایین تر یک گروه p، گروه های p آبلی محدود هستند ، بنابراین مدول ها روی Z / p Z هستند. مجموع مستقیم فاکتورهای مرکزی پایین تر، ساختار یک حلقه لی را با تعریف براکت به عنوان جابجایی دو نماینده هم مجموعه به دست می‌دهد. ساختار حلقه لی با هممورفیسم مدول دیگری، p ام غنی شده است، که حلقه لی مرتبط را به یک حلقه لی محدود به اصطلاح محدود می کند.

حلقه‌های لی نیز با مطالعه جبرهای لی بر روی حلقه‌های اعداد صحیح مانند اعداد صحیح p-adic در تعریف گروه‌های تحلیلی p-adic و درون شکل‌های آنها مفید هستند . تعریف گروه های محدود از نوع لی به دلیل Chevalley شامل محدود کردن یک جبر لی بر روی اعداد مختلط به جبر لی بر روی اعداد صحیح و سپس کاهش مدول p برای به دست آوردن جبر لی در یک میدان محدود است.

مثالها [ ویرایش ]

هر جبر لی بر روی یک حلقه عمومی به جای یک میدان ، نمونه ای از یک حلقه لی است. حلقه‌های لی ، علی‌رغم نام، گروه‌های لی نیستند .
هر حلقه انجمنی را می توان با تعریف یک عملگر براکت به یک حلقه لی تبدیل کرد

. $[x,y]=xy-yx.$

برای مثال حلقه لی ناشی از مطالعه گروه ها ، اجازه دهیدجی $جی$ یک گروه با $[x,y]=x^{-1}y^{-1}xy$ عملیات جابجاگر، و اجازه دهید $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq G_{2}\supseteq \cdots \supseteq G_{n}\supseteq \cdots$ سریال مرکزی درجی $جی$ - این زیرگروه جابجاگر است $[G_{i}،G_{j}]$ موجود است در $G_{i+j}$ برای هر $من، ج$ . سپس

$L=\bigoplus G_{i}/G_{i+1}$

یک حلقه لی است که توسط عملیات گروهی (که در هر قسمت همگن آبلی است) و عملیات براکت ارائه شده توسط

$[xG_{i},yG_{j}]=[x,y]G_{i+j}\$

به صورت خطی گسترش یته است. مرکزیت سری تضمین می کند که جابجاگر $[x,y]$ به عملیات براکت خواص تئوریک لی مناسب می دهد.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

اظهارات [ ویرایش ]

^ براکت های [،] عملکرد دوخطی را نشان می دهند× $\بار$ ; اغلب، جابجا کننده است : $[x,y]=xy-yx$ ، برای یک ضرب انجمنی در همان فضای برداری. اما نه لزوما!
^ Bourbaki (1989 ، بخش 2.) به طور کلی اجازه می دهد برای یک مدول در یک حلقه جابجایی . در این مقاله به این حلقه لی گفته می شود .

منابع

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی