2-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:41

محور و زاویه اویلر (بردار چرخش) [ ویرایش ]

تجسم یک چرخش که با محور و زاویه اویلر نشان داده شده است.

از قضیه چرخش اویلر می دانیم که هر چرخشی را می توان به صورت یک چرخش منفرد حول یک محور بیان کرد. محور بردار واحدی است (به جز علامت منحصر به فرد) که با چرخش بدون تغییر باقی می ماند. بزرگی زاویه نیز منحصر به فرد است و علامت آن با علامت محور چرخش تعیین می شود.

محور را می توان به عنوان یک بردار واحد سه بعدی نشان داد

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$ و زاویه توسط θ اسکالر .

از آنجایی که محور نرمال شده است، تنها دو درجه آزادی دارد. زاویه سومین درجه آزادی را به این نمایش چرخشی اضافه می کند.

ممکن است کسی بخواهد چرخش را به عنوان یک بردار چرخشی یا بردار اویلر بیان کند ، یک بردار سه بعدی غیر عادی که جهت آن محور را مشخص می کند و طول آن θ است.

$\mathbf {r} =\theta {\hat {\mathbf {e} }}\,.$

بردار چرخش در برخی زمینه ها مفید است، زیرا نشان دهنده یک چرخش سه بعدی با تنها سه مقدار اسکالر (اجزای آن) است که نشان دهنده سه درجه آزادی است. این همچنین برای نمایش های مبتنی بر دنباله های سه زاویه اویلر صادق است (به زیر مراجعه کنید).

اگر زاویه چرخش θ صفر باشد، محور منحصراً تعریف نشده است. ترکیب دو چرخش متوالی که هر کدام با یک محور و زاویه اویلر نشان داده می شوند، ساده نیست و در واقع قانون جمع بردار را برآورده نمی کند، که نشان می دهد چرخش های محدود واقعاً بردار نیستند. بهتر است از ماتریس چرخش یا نماد کواترنیون استفاده کنید، حاصل را محاسبه کنید و سپس به محور و زاویه اویلر تبدیل کنید.

چرخش های اویلر [ ویرایش ]

چرخش های اویلر زمین ذاتی (سبز)، تقدم (آبی) و nutation (قرمز)

نوشتار اصلی: چرخش های اویلر

ایده پشت چرخش های اویلر این است که چرخش کامل سیستم مختصات را به سه چرخش تشکیل دهنده ساده تر، به نام های تقدم ، نوتاسیون ، و چرخش ذاتی تقسیم کنیم، که هر یک از آنها افزایشی بر یکی از زوایای اویلر است . توجه داشته باشید که ماتریس بیرونی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب مرجع است و ماتریس داخلی نشان دهنده چرخش حول یکی از محورهای قاب متحرک است. ماتریس میانی نشان دهنده چرخش حول یک محور میانی به نام خط گره ها است.

با این حال، تعریف زوایای اویلر منحصر به فرد نیست و در ادبیات از قراردادهای مختلفی استفاده شده است. این قراردادها به محورهایی که چرخش‌ها حول آن انجام می‌شوند و ترتیب آنها بستگی دارد (زیرا چرخش‌ها جابه‌جایی نیستند ) .

قراردادی که استفاده می‌شود معمولاً با مشخص کردن محورهایی که چرخش‌های متوالی در اطراف آنها انجام می‌شود (قبل از ترکیب) نشان داده می‌شود و به آنها با شاخص (1، 2، 3) یا حرف (X، Y، Z) اشاره می‌شود . جوامع مهندسی و رباتیک معمولاً از زوایای اویلر 3-1-3 استفاده می کنند. توجه داشته باشید که پس از نوشتن چرخش های مستقل، آنها دیگر حول محور خود نمی چرخند. خارجی‌ترین ماتریس، دو ماتریس دیگر را می‌چرخاند و ماتریس چرخش دوم را روی خط گره‌ها می‌گذارد، و سومین ماتریس را در یک قاب همراه با بدنه می‌گذارد. 3 × 3 × 3 = 27 ترکیب ممکن از سه چرخش اصلی وجود دارد اما فقط 3 × 2 × 2 = 12از آنها می توان برای نمایش چرخش های سه بعدی دلخواه به عنوان زوایای اویلر استفاده کرد. این 12 ترکیب از چرخش های متوالی حول یک محور (مانند XXY) جلوگیری می کنند که درجات آزادی قابل نمایش را کاهش می دهد.

بنابراین، زوایای اویلر هرگز بر حسب قاب خارجی، یا بر حسب قاب بدنه چرخاننده متحرک بیان نمی‌شوند، بلکه در یک مخلوط بیان می‌شوند. قراردادهای دیگر (به عنوان مثال، ماتریس چرخش یا کواترنیون ها) برای جلوگیری از این مشکل استفاده می شود.

در هوانوردی ، جهت گیری هواپیما معمولاً به صورت زوایای ذاتی Tait-Bryan در پیروی از قرارداد z - y ′ -x ″ بیان می شود که به آن ها heading ، elevation و bank (یا مترادف، yaw ، pitch و roll ) می گویند.

کواترنیون ها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: کواترنیون ها و چرخش فضایی

کواترنیون ها که یک فضای برداری چهار بعدی را تشکیل می دهند ، به دلیل چندین مزیت نسبت به سایر نمایش های ذکر شده در این مقاله، در نمایش چرخش ها بسیار مفید بوده اند.

یک نمایش چهارگانه چرخش به عنوان یک ویراست (کواترنیون عادی شده) نوشته می شود:

${\hat {\mathbf {q} }}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}= {\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}$

تعریف فوق، کواترنیون را به عنوان یک آرایه به دنبال قراردادی که در (ورتز 1980) و (مارکلی 2003) استفاده شده است، ذخیره می کند. یک تعریف جایگزین، که برای مثال در (کوتسیاس 1999) و (اشمیت 2001) استفاده شده است، اصطلاح "اسکالر" را به عنوان اولین عنصر کواترنیونی تعریف می کند، در حالی که عناصر دیگر یک موقعیت به پایین جابجا شده اند.

از نظر محور اویلر

${\hat {\mathbf {e} }}={\begin{bmatrix}e_{x}\\e_{y}\\e_{z}\end{bmatrix}}$

و زاویه θ مولفه های این نسخه به صورت زیر بیان می شوند:

${\begin{aligned}q_{i}&=e_{x}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&=e_{y}\sin {\frac { \theta }{2}}\\q_{k}&=e_{z}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{ 2}}\end{تراز شده}}$

بازرسی نشان می دهد که پارامترسازی کواترنیون از محدودیت زیر تبعیت می کند:

$q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}=1$

آخرین عبارت (در تعریف ما) اغلب اصطلاح اسکالر نامیده می شود، که منشأ آن در ربعات است، زمانی که به عنوان بسط ریاضی اعداد مختلط درک شود، که به صورت نوشته می شود.

$a+bi+cj+dk\qquad {\text{with }}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ و جایی که { i , j , k } اعداد ابر مختلط رضایت بخش هستند

${\begin{array}{ccccccc}i^{2}&=&j^{2}&=&k^{2}&=&-1\\ij&=&-ji&=&k&&\\jk&=& -kj&=&i&&\\ki&=&-ik&=&j&&\end{آرایه}}$

ضرب کواترنیونی که برای مشخص کردن چرخش مرکب استفاده می‌شود، به همان روش ضرب اعداد مختلط انجام می‌شود ، با این تفاوت که ترتیب عناصر باید در نظر گرفته شود، زیرا ضرب جابه‌جایی نیست. در نمادگذاری ماتریسی می توانیم ضرب کواترنیونی را به صورت بنویسیم

${\tilde {\mathbf {q}}}\otimes \mathbf {q} ={\begin{bmatrix}\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}& -q_{j}&\;\;\,q_{i}\\-q_{k}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{i}&\;\; \,q_{j}\\\;\;\,q_{j}&-q_{i}&\;\;\,q_{r}&\;\;\,q_{k}\\-q_ {i}&-q_{j}&-q_{k}&\;\;\,q_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\tilde {q}}_{i}\ \{\tilde {q}}_{j}\\{\tilde {q}}_{k}\\{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix }\;\;\،{\tilde {q}}_{r}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}\\\;\;\,{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}} _{r}&-{\tilde {q}}_{i}&\;\;\،{\tilde {q}}_{j}\\-{\tilde {q}}_{j}& \;\;\,{\tilde {q}}_{i}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}&\;\;\,{\tilde {q}}_ {k}\\-{\tilde {q}}_{i}&-{\tilde {q}}_{j}&-{\tilde {q}}_{k}&\;\;\,{\tilde {q}}_{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix} }$

بنابراین ترکیب دو چرخش متوالی کواترنیون به اندازه استفاده از ماتریس چرخش ساده است. همانطور که دو ماتریس چرخش متوالی، A 1 و A 2 به دنبال آن ترکیب می شوند

$\mathbf {A} _{3}=\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}،$ ما می‌توانیم این را با پارامترهای کواترنیون به روشی مختصر نشان دهیم:

$\mathbf {q} _{3}=\mathbf {q} _{2}\otimes \mathbf {q} _{1}$

کواترنیون ها به دلیل ویژگی های زیر یک پارامترسازی بسیار محبوب هستند:

فشرده تر از نمایش ماتریس و کمتر مستعد خطاهای گرد کردن است
عناصر کواترنیون به طور پیوسته در کره واحد در ℝ 4 تغییر می کنند ، (که با S 3 مشخص می شود ) با تغییر جهت، اجتناب از پرش های ناپیوسته (ذاتی پارامترهای سه بعدی)
بیان ماتریس چرخش بر حسب پارامترهای کواترنیونی شامل هیچ توابع مثلثاتی نیست.
ترکیب دو چرخش مجزا که به صورت کواترنیون نمایش داده می شوند با استفاده از یک ضرب کواترنیونی ساده است

مانند ماتریس‌های چرخش، کواترنیون‌ها گاهی اوقات باید به دلیل خطاهای گرد کردن مجدداً عادی شوند تا اطمینان حاصل شود که با چرخش‌های معتبر مطابقت دارند. با این حال، هزینه محاسباتی عادی سازی مجدد یک کواترنیون بسیار کمتر از عادی سازی یک ماتریس 3×3 است.

کواترنیون ها همچنین ویژگی اسپینوریال چرخش ها را در سه بعد به تصویر می کشند. برای یک جسم سه‌بعدی که توسط رشته‌ها یا باندهای شل به محیط اطراف (ثابت) متصل می‌شود، می‌توان رشته‌ها یا نوارها را پس از دو چرخش کامل حول یک محور ثابت از حالت بازشده اولیه باز کرد. از نظر جبری، رباعی که چنین چرخشی را توصیف می کند، از یک عدد اسکالر +1 (در ابتدا)، از طریق مقادیر (اسکالر + شبه بردار) به اسکالر -1 (در یک دور کامل)، از طریق مقادیر (اسکالار + شبه بردار) به اسکالر +1 (در) تغییر می کند. دو دور کامل). این چرخه هر 2 نوبت تکرار می شود. پس از 2 n چرخش (عدد صحیح n > 0 )، بدون هیچ گونه تلاش میانی برای باز کردن گره، می توان تا حدی رشته ها/باندها را به 2( n ) باز کرد.− 1) حالت چرخش با هر کاربرد از همان رویه مورد استفاده در باز کردن گره از 2 دور به 0 دور. اعمال همان رویه n بار، یک شیء درهم 2 n را به حالت باز شده یا 0 چرخش می برد. فرآیند باز کردن گره‌ها نیز هرگونه پیچش ناشی از چرخش را در مورد خود رشته‌ها/باندها حذف می‌کند. برای نشان دادن این حقایق می توان از مدل های مکانیکی سه بعدی ساده استفاده کرد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی