4-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:43

قانون تبدیل برداری [ ویرایش ]

چرخش های فعال یک بردار سه بعدی p در فضای اقلیدسی حول محور n بر روی یک زاویه η را می توان به راحتی بر حسب حاصل ضرب نقطه ای و متقاطع به صورت زیر نوشت:

$\mathbf {p} '=p_{\parallel }\mathbf {n} +\cos {\eta }\,\mathbf {p} _{\perp }+\sin {\eta }\,\mathbf {p} \wedge \mathbf {n}$ که در آن

$p_{\parallel }=\mathbf {p} \cdot \mathbf {n}$ جزء طولی p در امتداد n است که توسط حاصل ضرب نقطه ای داده می شود .

$\mathbf {p} _{\perp }=\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$ جزء عرضی p نسبت به n است و

$\mathbf {p} \wedge \mathbf {n}$

حاصل ضرب متقابل p با است n است.

فرمول بالا نشان می دهد که مولفه طولی p بدون تغییر باقی می ماند، در حالی که قسمت عرضی p در صفحه عمود بر n می چرخد . این صفحه توسط قسمت عرضی خود p و جهتی عمود بر هر دو p و n کشیده شده است. چرخش مستقیماً در معادله به صورت چرخش دوبعدی بر روی یک زاویه قابل شناسایی است η قابل شناسایی است.

چرخش های غیرفعال را می توان با همان فرمول، اما با علامت معکوس η یا n توصیف کرد.

فرمول های تبدیل بین فرمالیسم ها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نمودارها در SO(3)

ماتریس چرخش ↔ زوایای اویلر [ ویرایش ]

زوایای اویلر ( φ , θ , ψ ) را می توان از ماتریس چرخش استخراج کرد.آ $\mathbf {A}$ با بررسی ماتریس چرخش به صورت تحلیلی.

ماتریس چرخش ← زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی ) [ ویرایش ]

با استفاده از قرارداد x ، زوایای اویلر بیرونی 3-1-3 φ , θ و ψ (در اطراف محور z ، محور x و دوبارهز $ز$ -axis) را می توان به صورت زیر بدست آورد:

${\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(A_{31},A_{32}\right)\\\theta &=\arccos \left(A_{33}\right) )\\\psi &=-\operatorname {atan2} \left(A_{13},A_{23}\right)\end{تراز شده}}$

توجه داشته باشید که atan2( a , b ) معادل است که در آن ربعی که نقطه ( b , a ) در آن قرار دارد را نیز در نظر می گیرد. atan2 را ببینید .

هنگام اجرای تبدیل، باید چندین موقعیت را در نظر گرفت: [5]

به طور کلی دو راه حل در بازه [-π, π] 3 وجود دارد. فرمول فوق فقط زمانی کار می کند که θ در بازه [0, π] باشد.
برای حالت خاص A 33 = 0 , φ و ψ از A 11 و A 12 مشتق خواهند شد .
در خارج از بازه [-π, π] 3 راه حل های بی نهایت زیاد اما قابل شمارش وجود دارد .
اینکه آیا همه راه‌حل‌های ریاضی برای یک کاربرد معین اعمال می‌شوند یا نه بستگی به موقعیت دارد.

زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) → ماتریس چرخش [ ویرایش ]

مقاله اصلی: چرخش های زنجیره ای داونپورت § چرخش های زنجیره ای تایت-برایان

ماتریس چرخش A از زوایای ذاتی اویلر 3-2-1 با ضرب سه ماتریس ایجاد شده توسط چرخش حول محورها ایجاد می شود.

$\mathbf {A} =\mathbf {A} _{3}\mathbf {A} _{2}\mathbf {A} _{1}=\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A } _{Y}\mathbf {A} _{X}$

محورهای چرخش به قرارداد خاصی که استفاده می شود بستگی دارد. برای کنوانسیون x ، چرخش‌ها حول محورهای x -، y - و z با زاویه‌های ϕ ، θ و ψ هستند، ماتریس‌های مجزا به شرح زیر هستند:

${\begin{aligned}\mathbf {A} _{X}&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \phi &-\sin \phi \\0&\sin \phi &\cos \phi \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Y}&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\0&1&0\\-\sin \theta &0& \cos \theta \end{bmatrix}}\\[5px]\mathbf {A} _{Z}&={\begin{bmatrix}\cos \psi &-\sin \psi &0\\\sin \psi & \cos \psi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}\end{تراز شده}}$

این بازده

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}\cos \theta \cos \psi &-\cos \phi \sin \psi +\sin \phi \sin \theta \cos \psi &\sin \ phi \sin \psi +\cos \phi \sin \theta \cos \psi \\\cos \theta \sin \psi &\cos \phi \cos \psi +\sin \phi \sin \theta \sin \psi &-\sin \phi \cos \psi +\cos \phi \sin \theta \sin \psi \\-\sin \theta &\sin \phi \cos \theta &\cos \phi \cos \theta \\ \end{bmatrix}}$

توجه: این برای یک سیستم دست راست ، که قراردادی است که تقریباً در تمام رشته های مهندسی و فیزیک استفاده می شود، معتبر است.

تفسیر این ماتریس‌های چرخش راست دست این است که تبدیل‌های مختصات ( غیرفعال ) را در مقابل تبدیل‌های نقطه‌ای ( فعال ) بیان می‌کنند. از آنجایی که A یک چرخش از قاب محلی 1 به فریم سراسری 0 را بیان می کند (یعنی A محورهای فریم 1 wrt فریم 0 را رمزگذاری می کند )، ماتریس های چرخش ابتدایی مانند بالا تشکیل می شوند. از آنجایی که چرخش معکوس فقط چرخش جابجا شده است، اگر بخواهیم چرخش جهانی به محلی را از فریم 0 به فریم 1 کنیم، می‌نویسیم.آ⊤= $\mathbf {A} ^{\top }=(\mathbf {A} _{Z}\mathbf {A} _{Y}\mathbf {A} _{X})^{\top }=\ mathbf {A} _{X}^{\top }\mathbf {A} _{Y}^{\top }\mathbf {A} _{Z}^{\ top }$ .

ماتریس چرخش ↔ محور/زاویه اویلر [ ویرایش ]

اگر زاویه اویلر θ مضرب π نباشد ، محور اویلر ê و زاویه θ را می توان از عناصر ماتریس چرخش A به صورت زیر محاسبه کرد:

${\begin{aligned}\theta &=\arccos {\frac {A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}}\\e_{1}&={\ frac {A_{32}-A_{23}}{2\sin \theta }}\\e_{2}&={\frac {A_{13}-A_{31}}{2\sin \theta }} \\e_{3}&={\frac {A_{21}-A_{12}}{2\sin \theta }}\end{تراز شده}}$

به طور متناوب می توان از روش زیر استفاده کرد:

تجزیه ویژه ماتریس چرخش مقادیر ویژه 1 و cos θ ± i sin θ را به دست می دهد. محور اویلر بردار ویژه مربوط به مقدار ویژه 1 است و θ را می توان از مقادیر ویژه باقیمانده محاسبه کرد.

محور اویلر را می‌توان با استفاده از تجزیه مقدار منفرد نیز یافت، زیرا بردار نرمال‌شده‌ای است که فضای تهی ماتریس I - A را در بر می‌گیرد. را در بر می‌گیرد .

برای تبدیل روش دیگر، ماتریس چرخش مربوط به محور اویلر ê و زاویه θ را می توان با توجه به فرمول چرخش رودریگز (با اصلاح مناسب) به صورت زیر محاسبه کرد:

$\mathbf {A} =\mathbf {I} _{3}\cos \theta +(1-\cos \theta ){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e } }}^{\mathsf {T}}+\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }\sin \theta$

با I 3 ماتریس هویت 3 × 3 و

$\left[{\hat {\mathbf {e} }}\right]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-e_{3}&e_{2}\\e_{3}&0&- e_{1}\\-e_{2}&e_{1}&0\end{bmatrix}}$

ماتریس ضرب متقابل است .

این گسترش می یابد:

${\begin{aligned}A_{11}&=(1-\cos \theta )e_{1}^{2}+\cos \theta \\A_{12}&=(1-\cos \ تتا )e_{1}e_{2}-e_{3}\sin \theta \\A_{13}&=(1-\cos \theta )e_{1}e_{3}+e_{2}\sin \theta \\A_{21}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{1}+e_{3}\sin \theta \\A_{22}&=(1-\cos \theta )e_{2}^{2}+\cos \theta \\A_{23}&=(1-\cos \theta )e_{2}e_{3}-e_{1}\sin \theta \\A_ {31}&=(1-\cos \theta )e_{3}e_{1}-e_{2}\sin \theta \\A_{32}&=(1-\cos \theta )e_{3} e_{2}+e_{1}\sin \theta \\A_{33}&=(1-\cos \theta )e_{3}^{2}+\cos \theta \end{تراز شده}}$

همچنین ببینید: ماتریس چرخش § ماتریس چرخش از محور و زاویه

ماتریس چرخش ↔ کواترنیون [ ویرایش ]

هنگام محاسبه یک کواترنیون از ماتریس چرخش، یک علامت ابهام وجود دارد، زیرا q و - q نشان دهنده چرخش یکسانی هستند.

یکی از روش های محاسبه کواترنیون

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}$ از ماتریس چرخش A به شرح زیر است:

${\begin{aligned}q_{r}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}}\\q_ {i}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{32}-A_{23}\right)\\q_{j}&={\frac {1}{4q_{ r}}}\left(A_{13}-A_{31}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{r}}}\left(A_{21}-A_{ 12}\راست)\end{تراز شده}}$

سه روش دیگر از لحاظ ریاضی معادل برای محاسبه q وجود دارد. عدم دقت عددی را می توان با اجتناب از موقعیت هایی که در آن مخرج نزدیک به صفر است کاهش داد. یکی از سه روش دیگر به صورت زیر است: [6] [7]

${\begin{aligned}q_{i}&={\frac {1}{2}}{\sqrt {1+A_{11}-A_{22}-A_{33}}\\q_ {j}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{12}+A_{21}\right)\\q_{k}&={\frac {1}{4q_{ i}}}\left(A_{13}+A_{31}\right)\\q_{r}&={\frac {1}{4q_{i}}}\left(A_{32}-A_{ 23}\راست)\end{تراز شده}}$

ماتریس چرخش مربوط به کواترنیون q را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

$\mathbf {A} =\left(q_{r}^{2}-{\check {\mathbf {q} }}^{\mathsf {T}}{\check {\mathbf {q} } }\right)\mathbf {I} _{3}+2{\check {\mathbf {q} }}{\check {\mathbf {q} }}^{\mathrm {T} }+2q_{r} \mathbf {\mathcal {Q}}$ جایی که

${\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,,\quad \mathbf {\mathcal {Q}} ={\begin{bmatrix}0&-q_{k}&q_{j}\\q_{k}&0&-q_{i}\\-q_{j}&q_{i}&0\end {bmatrix}}$ که می دهد

آ=

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{k }q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{k }q_{r}\right)&1-2q_{i}^{2}-2q_{k}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right )\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right )&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}$

یا معادل آن

$\mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1+2q_{i}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{i}q_{j}-q_{ k}q_{r}\right)&2\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right)\\2\left(q_{i}q_{j}+q_{ k}q_{r}\right)&-1+2q_{j}^{2}+2q_{r}^{2}&2\left(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r }\right)\\2\left(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r}\right)&2\left(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r }\right)&-1+2q_{k}^{2}+2q_{r}^{2}\end{bmatrix}}$

زوایای اویلر ↔ کواترنیون [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تبدیل بین کواترنیون ها و زوایای اویلر

زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی) → چهارتایی [ ویرایش ]

ما زوایای بیرونی اویلر x -convention 3-1-3 را در نظر خواهیم گرفت را برای الگوریتم زیر در نظر خواهیم گرفت. شرایط الگوریتم به قرارداد استفاده شده بستگی دارد.

ما می توانیم کواترنیون را محاسبه کنیم

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}$

از زوایای اویلر ( φ ، θ ، ψ ) به شرح زیر است:

${\begin{aligned}q_{i}&=\cos {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j} &=\sin {\frac {\phi -\psi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&=\sin {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi +\psi }{2}}\cos {\frac {\theta {2}}\end{تراز شده}}$

زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) → کواترنیون [ ویرایش ]

یک کواترنیون معادل زوایای انحراف ( ψ )، گام ( θ ) و رول ( φ ). یا زوایای ذاتی Tait-Bryan به دنبال قرارداد z - y ′- x ″ ، می تواند توسط

${\begin{aligned}q_{i}&=\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi } {2}}-\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{j} &=\cos {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}\\q_{k}&=\cos {\frac {\phi }{2 }}\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi }{2}}-\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\psi }{2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2 }}\cos {\frac {\psi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\psi {2}}\end{تراز شده}}$

کواترنیون ← زوایای اویلر ( z - x - z بیرونی ) [ ویرایش ]

با توجه به کواترنیون چرخش

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,$

کنوانسیون x 3-1-3 زاویه های بیرونی اویلر ( φ , θ , ψ ) را می توان با

${\begin{aligned}\phi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r}\right),-\left(q_ {j}q_{k}-q_{i}q_{r}\right)\right)\\\theta &=\arccos \left(-q_{i}^{2}-q_{j}^{2 }+q_{k}^{2}+q_{r}^{2}\right)\\\psi &=\operatorname {atan2} \left(\left(q_{i}q_{k}-q_{ j}q_{r}\راست)،\چپ(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r}\right)\right)\end{تراز شده}}$

کواترنیون ← زوایای اویلر ( z - y ′- x ″ ذاتی) [ ویرایش ]

با توجه به کواترنیون چرخش

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,$

زوایای انحراف ، پیچ و تاب، یا زوایای ذاتی Tait–Bryan که از قرارداد z - y ′- x ″ پیروی می کنند، می توانند توسط

${\begin{aligned}{\text{roll}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r}q_{i}+q_{j}q_{k}\right) ,1-2\left(q_{i}^{2}+q_{j}^{2}\right)\right)\\{\text{pitch}}&=\arcsin \left(2\left( q_{r}q_{j}-q_{k}q_{i}\right)\right)\\{\text{yaw}}&=\operatorname {atan2} \left(2\left(q_{r} q_{k}+q_{i}q_{j}\right),1-2\left(q_{j}^{2}+q_{k}^{2}\right)\right)\end{تراز شده }}$

محور اویلر ↔ چهارتایی [ ویرایش ]

با توجه به محور اویلر ê و زاویه θ ، کواترنیون

$\mathbf {q} ={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\\q_{r}\end{bmatrix}}=q_{i}\mathbf {i} +q_{j}\mathbf {j} +q_{k}\mathbf {k} +q_{r}\,,$

را می توان توسط

${\begin{aligned}q_{i}&={\hat {e}}_{1}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{j}&={\hat {e}}_{2}\sin {\frac {\theta }{2}}\\q_{k}&={\hat {e}}_{3}\sin {\frac {\theta }{ 2}}\\q_{r}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\end{تراز شده}}$

با توجه به چهارتایی چرخش q ، تعریف کنید

${\check {\mathbf {q} }}={\begin{bmatrix}q_{i}\\q_{j}\\q_{k}\end{bmatrix}}\,.$

سپس محور اویلر ê و زاویه θ را می توان با استفاده از آن محاسبه کرد

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {e} }}&={\frac {\check {\mathbf {q} }}{\left\|{\check {\mathbf {q} }}\right\|}}\\\theta &=2\arccos q_{r}\end{تراز شده}}$

ماتریس چرخش ↔ بردار رودریگز [ ویرایش ]

بردار رودریگز → ماتریس چرخش [ ویرایش ]

از آنجایی که تعریف بردار رودریگز را می توان به کواترنیون های چرخشی مرتبط کرد:

${\begin{cases}g_{i}={\dfrac {q_{i}}{q_{r}}}=e_{x}\tan \left({\dfrac {\theta }{2} }\right)\\g_{j}={\dfrac {q_{j}}{q_{r}}}=e_{y}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right )\\g_{k}={\dfrac {q_{k}}{q_{r}}}=e_{z}\tan \left({\dfrac {\theta }{2}}\right)\end {موارد}}$

با استفاده از اموال زیر

$1=q_{r}^{2}+q_{i}^{2}+q_{j}^{2}+q_{k}^{2}=q_{r}^{2}\ چپ(1+{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}+{\frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2 }}}+{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}\right)=q_{r}^{2}\left(1+g_{i}^ {2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}\right)$

فرمول را می توان با فاکتورگیری به دست آورد ${\textstyle q_{r}^{2}}$ از عبارت نهایی به دست آمده برای کواترنیون ها:

$\mathbf {A} =q_{r}^{2}{\begin{bmatrix}{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{j} ^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac { q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}-{\frac {q_{k}}{q_{r}}}\راست)&2\ چپ({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{j}}{q_{r}} }\right)\\2\left({\frac {q_{i}}{q_{r}}}{\frac {q_{j}}{q_{r}}}+{\frac {q_{k }}{q_{r}}}\right)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r} ^{2}}}-2{\frac {q_{k}^{2}}{q_{r}^{2}}}&2\left({\frac {q_{j}}{q_{r} }}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\right)\\2\left({\frac {q_{ i}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}-{\frac {q_{j}}{q_{r}}}\راست)&2\چپ( {\frac {q_{j}}{q_{r}}}{\frac {q_{k}}{q_{r}}}+{\frac {q_{i}}{q_{r}}}\ راست)&{\frac {1}{q_{r}^{2}}}-2{\frac {q_{i}^{2}}{q_{r}^{2}}}-2{\ frac {q_{j}^{2}}{q_{r}^{2}}}\end{bmatrix}}$

منجر به فرمول نهایی:

$\mathbf {A} ={\frac {1}{1+g_{i}^{2}+g_{j}^{2}+g_{k}^{2}}}{\begin{ bmatrix}1+g_{i}^{2}-g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{i}g_{j}-g_{k}\راست) &2\left(g_{i}g_{k}+g_{j}\right)\\2\left(g_{i}g_{j}+g_{k}\right)&1-g_{i}^{ 2}+g_{j}^{2}-g_{k}^{2}&2\left(g_{j}g_{k}-g_{i}\right)\\2\left(g_{i} g_{k}-g_{j}\right)&2\left(g_{j}g_{k}+g_{i}\right)&1-g_{i}^{2}-g_{j}^{2 }+g_{k}^{2}\end{bmatrix}}$

فرمول های تبدیل برای مشتقات [ ویرایش ]

ماتریس چرخش ↔ سرعت های زاویه ای [ ویرایش ]

بردار سرعت زاویه ای

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}$

می توان از مشتق زمانی ماتریس چرخش استخراج کردd A/d tبا رابطه زیر:

$[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }={\begin{bmatrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&- \omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{bmatrix}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d } t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}$

اشتقاق از Ioffe اقتباس شده است [8] به شرح زیر اقتباس شده است:

برای هر بردار r 0 ، r ( t ) = A ( t ) r 0 را در نظر بگیرید و آن را متمایز کنید:

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t }}\mathbf {r} _{0}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}( t)\mathrm {r} (t)$

مشتق یک بردار، سرعت خطی نوک آن است. از آنجایی که A یک ماتریس چرخشی است، طبق تعریف، طول r ( t ) همیشه برابر با طول r 0 است و بنابراین با زمان تغییر نمی کند. بنابراین، هنگامی که r ( t ) می چرخد، نوک آن در امتداد یک دایره حرکت می کند و سرعت خطی نوک آن بر دایره مماس است. یعنی همیشه عمود بر r ( t ) . در این مورد خاص، رابطه بین بردار سرعت خطی و بردار سرعت زاویه ای است

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\omega }}(t)\times \mathbf {r} (t)= [{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)$ (به حرکت دایره ای و ضرب متقاطع مراجعه کنید مراجعه کنید ).

با گذر معادلات فوق،

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)\mathbf {r} (t )=[{\boldsymbol {\omega }}]_{\times }\mathbf {r} (t)$

که نشان می دهد

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {A} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}(t)=[{\boldsymbol {\ امگا }}]_{\ بار }$

کواترنیون ↔ سرعت های زاویه ای [ ویرایش ]

بردار سرعت زاویه ای

${\boldsymbol {\omega }}={\begin{bmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}$ می توان از مشتق کواترنیون بدست آوردd q/d tبه شرح زیر: [9]

${\begin{bmatrix}0\\\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}=2{\frac {\mathrm {d } \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}{\tilde {\mathbf {q} }}$ جایی که ${\textstyle {\tilde {\mathbf {q} }}}$ مزدوج (معکوس) از است ${\textstyle \mathbf {q} }$ .

برعکس، مشتق کواترنیون است

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {q} }{\mathrm {d} t}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}0\\\omega _ {x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{bmatrix}}\mathbf {q} \,.$

روتورها در جبر هندسی [ ویرایش ]

فرمالیسم جبر هندسی (GA) بسط و تفسیری از روش کواترنیون ارائه می دهد. مرکز GA، حاصل ضرب هندسی بردارها است، که بسط ضربات داخلی و متقابل سنتی است که توسط

$\mathbf {ab} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} +\mathbf {a} \wedge \mathbf {b}$

که در آن نماد ∧ ضرب بیرونی یا ضرب گوه ای را نشان می دهد . این حاصل ضرب بردارهای a و b دو جمله تولید می کند: یک بخش اسکالر از حاصل ضرب داخلی و یک دو بردار . دو بردار از حاصل ضرب گوه. این دو بردار صفحه عمود بر آنچه حاصل ضرب بردارها برمی گردد را توصیف می کند.

دو بردارها در GA در مقایسه با بردارها دارای برخی خواص غیرعادی هستند. در زیر حاصل ضرب هندسی، دوبردارها یک مربع منفی دارند: دوبردار x̂ŷ صفحه xy را توصیف می کند . مربع آن ( x̂ŷ ) 2 = x̂ŷx̂ŷ است. از آنجایی که بردارهای پایه واحد متعامد با یکدیگر هستند، حاصل ضرب هندسی به حاصلضرب بیرونی ضد متقارن کاهش می‌یابد - x و ŷ را می‌توان آزادانه با هزینه ضریب 1- تعویض کرد. مربع به -x̂x̂ŷŷ = -1 کاهش می یابد کاهش می یابد زیرا بردارهای پایه خود مربع به +1 می شوند.

این نتیجه به طور کلی برای همه دوبردارها صادق است و در نتیجه دوبردار نقشی مشابه واحد خیالی ایفا می کند . جبر هندسی از دو بردارها در آنالوگ خود با کواترنیون، روتور ، استفاده می کند.

$\mathbf {R} =\exp \left({\frac {-{\hat {\mathbf {B} }}\theta }{2}}\right)=\cos {\frac {\theta } {2}}-{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\,,$

که در آن B یک دوبردار واحد است که صفحه چرخش را توصیف می کند . از آنجایی که مربع B برابر 1- می شود، بسط سری توانی R توابع مثلثاتی را ایجاد می کند . فرمول چرخشی که بردار a را به بردار چرخشی b ترسیم می کند ، پس از آن است

$\mathbf {b} =\mathbf {RaR} ^{\ خنجر }$ جایی که

$\mathbf {R} ^{\dagger }=\exp \left({\frac {1}{2}}{\hat {\mathbf {B} }}\theta \right)=\cos {\ frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {B} }}\sin {\frac {\theta }{2}}$

برعکس است _آر $\scriptstyle R$ (برعکس کردن ترتیب بردارها درب $ب$ معادل تغییر علامت آن است).

مثال. چرخش حول محور

${\hat {\mathbf {v} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {z} }}\right)$

می توان با تبدیل v به دو بردار آن،

${\hat {\mathbf {B} }}={\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf {z} }}{\ کلاه {\mathbf {v} }}=\mathbf {i} {\hat {\mathbf {v} }}\,,$

که در آن i = x̂ŷẑ عنصر واحد حجم است، تنها سه بردار (شبه مقیاس) در فضای سه بعدی. نتیجه این است

${\hat {\mathbf {B} }}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}{\hat {\mathbf { z} }}+{\hat {\mathbf {z} }}{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }} \درست)\،.$

با این حال، در فضای سه بعدی، اغلب ساده تر است که عبارت B̂ = iv̂ را ترک کنیم ، با استفاده از این واقعیت که i با همه اشیاء به صورت سه بعدی رفت و آمد می کند و همچنین مربع را به -1 می دهد. چرخش بردار x در این صفحه با زاویه θ است

${\hat {\mathbf {x} }}'=\mathbf {R} {\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} ^{\dagger }=e^{-i{\ کلاه {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}{\hat {\mathbf {x} }}e^{i{\hat {\mathbf {v} }}{\frac {\theta }{2}}}={\hat {\mathbf {x} }}\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\mathbf {i} \left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}\right)\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}+{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}$

تشخیص آن

$\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}-{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf { x} }})=2\mathbf {i} ({\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }})$ و اینکه − v̂x̂v̂ بازتاب x در مورد صفحه عمود بر v̂ است یک تفسیر هندسی به عملیات چرخش می دهد: چرخش اجزایی را که موازی با v هستند حفظ می کند و فقط آنهایی را که عمود هستند تغییر می دهد. سپس شرایط محاسبه می شود:

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {v} }}{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {v} }}&={\frac {1} {3}}\left(-{\hat {\mathbf {x} }}+2{\hat {\mathbf {y} }}+2{\hat {\mathbf {z} }}\right)\\ 2\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}\wedge {\hat {\mathbf {v} }}&=2\mathbf {i} {\frac {1}{\sqrt {3} }}\left({\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {y} }}+{\hat {\mathbf {x} }}{\hat {\mathbf {z} }} \right)={\frac {2}{\sqrt {3}}}\left({\hat {\mathbf {y} }}-{\hat {\mathbf {z} }}\right)\end{ هم راستا}}$

نتیجه چرخش پس از آن است

${\hat {\mathbf {x} }}'={\hat {\mathbf {x} }}\left(\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}-{\ frac {1}{3}}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }} \sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta }{2}}+{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}} \right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}\sin {\frac {\theta }{2}}\left(\sin {\frac {\theta } {2}}-{\sqrt {3}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)$

یک بررسی ساده روی این نتیجه، زاویه θ = است2/3π . چنین چرخشی باید x̂ را به ŷ نشان دهد . در واقع، چرخش به کاهش می یابد

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&={\hat {\mathbf {x} }}\left({\frac {1}{4}}-{\ frac {1}{3}}{\frac {3}{4}}\right)+{\frac {2}{3}}{\hat {\mathbf {y} }}{\frac {\sqrt { 3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)+{\frac { 2}{3}}{\hat {\mathbf {z} }}{\frac {\sqrt {3}}{2}}\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}-{ \sqrt {3}}{\frac {1}{2}}\right)\\&=0{\hat {\mathbf {x} }}+{\hat {\mathbf {y} }}+0{ \hat {\mathbf {z} }}={\hat {\mathbf {y} }}\end{تراز شده}}$

دقیقا همانطور که انتظار می رود این فرمول چرخش نه تنها برای بردارها بلکه برای هر چند برداری معتبر است . علاوه بر این، هنگامی که از زوایای اویلر استفاده می شود، پیچیدگی عملیات بسیار کاهش می یابد. چرخش های مرکب از ضرب روتورها به وجود می آیند، بنابراین کل روتور از زوایای اویلر برابر است با

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{\gamma '}\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\alpha }=\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}'\gamma }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {x} }}'\beta }{2}}\right)\exp \left({\frac {-\mathbf {i} {\hat {\mathbf {z} }}\alpha }{2}}\ درست)$

ولی

${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {x} }}'&=\mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _ {\alpha }^{\dagger }\quad {\text{and}}\\{\hat {\mathbf {z} }}'&=\mathbf {R} _{\beta '}{\hat {\ mathbf {z} }}\mathbf {R} _{\beta '}^{\dagger }\,.\end{تراز شده}}$

این روتورها از حالت نمایی به این صورت خارج می شوند:

$\mathbf {R} _{\beta '}=\cos {\frac {\beta }{2}}-\mathbf {i} \mathbf {R} _{\alpha }{\hat {\mathbf {x} }}\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\sin {\frac {\beta }{2}}=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _ {\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }$

که در آن R β به چرخش در مختصات اصلی اشاره دارد. به طور مشابه برای چرخش γ ،

$\mathbf {R} _{\gamma '}=\mathbf {R} _{\beta '}\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\beta '}^{\ خنجر }=\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\mathbf {R} _{\gamma }\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }^{\dagger }\mathbf {R} _{\alpha }^{\dagger }\,.$

با توجه به اینکه R γ و R α جابجا می شوند (چرخش در یک صفحه باید جابجا شود) و کل روتور تبدیل می شود

$\mathbf {R} =\mathbf {R} _{\alpha }\mathbf {R} _{\beta }\mathbf {R} _{\gamma }$

بنابراین، چرخش های مرکب زوایای اویلر به مجموعه ای از چرخش های معادل در قاب ثابت اصلی تبدیل می شوند.

در حالی که روتورها در جبر هندسی تقریباً به طور یکسان با کواترنیون ها در سه بعدی کار می کنند، قدرت این فرمالیسم کلیت آن است: این روش در فضاهایی با هر تعداد ابعاد مناسب و معتبر است. در سه بعدی، چرخش ها دارای سه درجه آزادی هستند، یک درجه برای هر صفحه مستقل خطی (دو بردار) که چرخش می تواند در آن انجام شود. شناخته شده است که از جفت کواترنیون ها می توان برای ایجاد چرخش در 4 بعدی استفاده کرد که شش درجه آزادی ایجاد می کند. و رویکرد جبر هندسی این نتیجه را تأیید می کند: در 4 بعدی، شش بردار مستقل خطی وجود دارد که می توانند به عنوان مولد چرخش استفاده شوند.

زاویه-زاویه-زاویه [ ویرایش ]

چرخش ها را می توان به عنوان یک محور و یک زاویه مدل کرد. همانطور که با یک ژیروسکوپ نشان داده شده است که دارای یک محور از طریق روتور، و مقدار چرخش حول آن محور با چرخش روتور نشان داده شده است. این چرخش را می توان به صورت بیان کردزاویه∗(محور) ${\text{angle}}*({\text{axis}})$ که در آن محور یک بردار واحد است که جهت محور روتور را مشخص می کند. از مبدا، در هر جهت، همان محور چرخش است، با مقیاس زاویه معادل فاصله از مبدا. از هر نقطه دیگری در فضا، به طور مشابه همان بردار جهت اعمال شده نسبت به جهت نشان داده شده توسط نقطه شروع به جای مبدا، همان تغییر را در اطراف همان محورهایی اعمال می کند که بردار واحد مشخص می کند. اینزاویه∗محور ${\text{angle}}*{\text{axis}}$ مقیاس گذاری هر نقطه یک مختصات منحصر به فرد در نماد Angle-Angle-Angle می دهد. تفاوت بین دو مختصات بلافاصله یک محور چرخش و زاویه بین دو جهت را ایجاد می کند.

لاگ طبیعی یک کواترنیون فضای انحنای را با 3 زاویه حول 3 محور چرخش نشان می دهد و در طول قوس بیان می شود. شبیه زوایای اویلر، اما مرتبه مستقل. [10] یک فرمول ضرب دروغ وجود دارد برای جمع چرخش ها وجود دارد که این است که آنها مجموع مراحل بی نهایت کوچک هر چرخش اعمال شده به صورت سری هستند. این بدان معناست که چرخش‌ها نتیجه همه چرخش‌ها در یک لحظه اعمال می‌شوند، نه یک سری چرخش‌هایی که بعداً اعمال می‌شوند.

محورهای چرخش مطابق با دکارتی استاندارد هستند $X، Y، Z$ تبرها این چرخش ها ممکن است به سادگی اضافه و کم شوند، به خصوص زمانی که فریم های در حال چرخش مانند زنجیره های IK به یکدیگر ثابت می شوند. تفاوت بین دو شی که در یک چارچوب مرجع قرار دارند به سادگی با کم کردن جهت آنها پیدا می شود. چرخش هایی که از منابع خارجی اعمال می شوند، یا از منابعی نسبت به چرخش فعلی هستند، هنوز نیاز به ضرب دارند، استفاده از فرمول رودریگز ارائه شده است.

چرخش از هر مختصات محور نشان دهنده چرخش صفحه عمود بر محور مشخص شده به طور همزمان با تمام محورهای دیگر است. اگرچه اندازه ها را می توان در زوایا در نظر گرفت، نمایش در واقع طول قوس منحنی است. یک زاویه به چرخش حول یک نقطه اشاره دارد که در آن انحنای یک دلتا است که به نقطه فعلی در جهت اینرسی اعمال می شود.

فقط یک یادداشت مشاهده‌ای: ربع‌های لاگ دارای حلقه‌ها یا اکتاوهای چرخش هستند. یعنی برای چرخش های بیشتر از 4 $\pi$ منحنی های مرتبط دارند. به نظر می رسد انحنای چیزهایی که به این مرز نزدیک می شوند، به طور آشفته ای به مدارها می پرند.

برای زوایای «قابل خواندن توسط انسان»، از 1-هنجار می‌توان برای تغییر مقیاس زوایای استفاده کرد تا «مناسب‌تر» به نظر برسند. بسیار شبیه به درجه سانتیگراد ممکن است درست تر از فارنهایت در نظر گرفته شود.

${Q}={\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}$

سایر مقادیر مرتبط بلافاصله قابل استخراج هستند:

${\begin{matrix}\|V\|{\text{یا }}\|V\|_{2}={\sqrt {XX+YY+ZZ}}\\\|V\|_ {1}=|X|+|Y|+|Z|\پایان{ماتریس}}$

زاویه کل چرخش ....

$\theta =\|V\|$

محور چرخش ...

${\text{Axis}}(\ln Q)={\begin{bmatrix}{\frac {X}{\theta }}\\{\frac {Y}{\theta }}\\{\ frac {Z}{\theta }}\end{bmatrix}}$

نمایش کواترنیون [ ویرایش ]

$q={\begin{bmatrix}\cos {\frac {\theta }{2}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {X}{\|Q\ |}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {Y}{\|Q\|}}\\\sin {\frac {\theta }{2}}{\frac {Z}{\|Q\|}}\end{bmatrix}}$

محاسبات ماتریس پایه [ ویرایش ]

این از چرخش بردارهای (1،0،0)، ، (0،0،1)، و کاهش ثابت ساخته شده است.

با توجه به ورودی ${Q}=[{X}،{Y}،{Z}]$ ،

${\begin{matrix}q_{r}=\cos \theta \\q_{i}=\sin \theta \cdot {\frac {X}{\|Q\|}}\\q_{j }=\sin \theta \cdot {\frac {Y}{\|Q\|}}\\q_{k}=\sin \theta \cdot {\frac {Z}{\|Q\|}}\ پایان{ماتریس}}$

که برای محاسبه ماتریس حاصل استفاده می شود...

${\begin{bmatrix}1-2q_{j}^{2}-2q_{k}^{2}&2(q_{i}q_{j}-q_{k}q_{r})&2( q_{i}q_{k}+q_{j}q_{r})\\2(q_{i}q_{j}+q_{k}q_{r})&1-2q_{i}^{2} -2q_{k}^{2}&2(q_{j}q_{k}-q_{i}q_{r})\\2(q_{i}q_{k}-q_{j}q_{r} )&2(q_{j}q_{k}+q_{i}q_{r})&1-2q_{i}^{2}-2q_{j}^{2}\end{bmatrix}}$

محاسبه پایه جایگزین [ ویرایش ]

به طور متناوب از این می توان استفاده کرد

داده شده: ${A}=[X,Y,Z]$

تبدیل به محور زاویه $\theta =\|A\|$ ، و" $[x,y,z]={\frac {A}{\|A\|}}$

برخی از عبارات جزئی را محاسبه کنید:

${\begin{matrix}x_{y}=xy(1-\cos \theta)&w_{x}=x\sin \theta &x_{x}=xx(1-\cos \theta)\\y_ {z}=yz(1-\cos \theta)&w_{y}=y\sin \theta &y_{y}=yy(1-\cos \theta)\\x_{z}=xz(1-\cos \theta )&w_{z}=z\sin \theta &z_{z}=zz(1-\cos \theta)\end{ماتریس}}$

ماتریس حاصل را محاسبه کنید:

${\begin{bmatrix}\cos \theta +x_{x}&x_{y}+w_{z}&w_{y}+x_{z}\\w_{z}+x_{y}&\cos \theta +y_{y}&y_{z}-w_{x}\\x_{z}-w_{y}&w_{x}+y_{z}&\cos \theta +z_{z}\end{bmatrix }}$

منبسط:

${\begin{bmatrix}\cos \theta +x^{2}(1-\cos \theta )&xy(1-\cos \theta)-z\sin \theta &y\sin \theta +xz( 1-\cos \theta )\\z\sin \theta +xy(1-\cos \theta)&\cos \theta +y^{2}(1-\cos \theta)&yz(1-\cos \ تتا )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta)-y\sin \theta &x\sin \theta +yz(1-\cos \theta)&\cos \theta +z^{2 }(1-\cos \theta )\end{bmatrix}}$

چرخش برداری [ ویرایش ]

بردار را بچرخانید $v=(X,Y,Z)$ حول بردار چرخش $Q=(X,Y,Z)$ .

زاویه چرخش خواهد بود" ${\theta }={\|Q\|}$ .

کسینوس زاویه ضربدر بردار برای چرخش، به اضافه سینوس زاویه ضربدر محور چرخش، به علاوه کسینوس منهای زاویه ضربدر حاصل ضرب نقطه بردار و محور چرخش ضربدر محور چرخش را محاسبه کنید.

$V'=\cos(\theta )*v+\sin(\theta )*\left({\frac {Q}{\|Q\|}}\times v\right)+(1-\cos (\theta ))\left({\frac {Q}{\|Q\|}}\cdot v\right)*{\frac {Q}{\|Q\|}}$

چند نکته: حاصل ضرب نقطه ای شامل کسینوس زاویه بین بردار در حال چرخش و محور چرخش ضربدر طول V است. حاصل ضرب متقاطع شامل سینوس زاویه بین بردار در حال چرخش و محور چرخش است.

چرخش یک بردار چرخشی [ ویرایش ]

استفاده از فرمول چرخش مرکب رودریگز

برای یک بردار چرخش معین ${Q}=(X,Y,Z)$ و یک بردار چرخشی دیگر ${A}=(X,Y,Z)$ برای چرخاندن قاب به اطراف

از بردارهای چرخش اولیه، زوایا و محورها را استخراج کنید:

$\theta ={\frac {\|Q\|}{2}}$

$\gamma ={\frac {\|A\|}{2}}$

محور چرخش نرمال شده برای قاب فعلی:

$Q_{n}={\frac {Q}{\|Q\|}}$

محور چرخش نرمال شده برای چرخش قاب به دور:

$A_{n}={\frac {A}{\|A\|}}$

زاویه نتیجه چرخش است

$\alpha =2\cos ^{-1}(\cos(\theta)\cos(\gamma)+\sin(\theta)\sin(\gamma)Q_{n}\cdot A_{n} )$

یا

$\alpha =2cos^{-1}({\cos(\theta -\gamma )}(1-(Q_{n}\cdot A_{n})+{\cos(\theta +\gamma )}(1+(Q_{n}\cdot A_{n})))$

نتیجه، محور چرخش نرمال نشده:

$r=\sin(\gamma)\cos(\theta)A_{n}+\sin(\theta)\cos(\gamma)Q_{n}+\sin(\theta)\sin(\gamma )A_{n}\ بار Q_{n}$

یا

$r=(A_{n}\times Q_{n})({\cos({\theta }-\gamma )}-{\cos({\theta }+\gamma )})+A_{n }({\sin(\theta +\gamma )}+{\sin(\theta -\gamma )})+Q_{n}({\sin(\theta +\gamma )}-{\sin({\ تتا }-\گاما )})$

فرمول چرخش رودریگز منجر به این می‌شود که می‌توان از خطای زاویه حاصل از بالا برای نرمال سازی بردار استفاده کرد، اما برای محدوده‌های بزرگ شکست می‌خورد. بنابراین محور نتیجه را مانند هر بردار دیگری نرمال کنید.

$R_{n}={\frac {r}{\|r\|}}$

و مختصات چرخش فریم نهایی:

$R=\alpha R_{n}$

چرخش چرخش حول یک محور ثابت [ ویرایش ]

یک بردار چرخشیس ${Q}$ نشان دهنده سه محور است. اینها می‌توانند به‌عنوان خلاصه‌نویسی برای چرخاندن چرخش به دور با استفاده از «چرخش یک بردار چرخشی» بالا استفاده شوند. این عبارات به بهترین شکل به عنوان قطعات کد نمایش داده می شوند.

برخی از ثابت های مورد استفاده در عبارات دیگر را تنظیم کنید.

${\begin{aligned}n_{x}&={\frac {Q_{x}}{\|Q\|}}\\n_{y}&={\frac {Q_{y}}{ \|Q\|}}\\n_{z}&={\frac {Q_{z}}{\|Q\|}}\\{\text{زاویه}}&=\|Q\|\\ s&=\sin({\text{angle}})\\c_{1}&=\cos({\text{angle}})\\c&=1-c_{1}\end{تراز شده}}$

با استفاده از مقادیر بالا ...

${\text{x-axis}}=\left[x=cn_{x}^{2}+c_{1},\;y=cn_{x}n_{y}+sn_{z}، \;z=cn_{x}n_{z}-sn_{y}\right]$

یا

${\text{y-axis}}=\left[x=cn_{y}n_{x}-sn_{z},\;y=cn_{y}^{2}+c_{1}، \;z=cn_{y}n_{z}+sn_{x}\right]$

یا

${\text{z-axis}}=\left[x=cn_{z}n_{x}+sn_{y},\;y=cn_{z}n_{y}-sn_{x}، \;z=cn_{z}^{2}+c_{1}\right]$

تبدیل از ماتریس پایه [ ویرایش ]

تعیین کننده ماتریس را محاسبه کنید ...

$d={\frac {({\text{basis}}_{{\text{right}}_{X}}+{\text{basis}}_{{\text{up}}_{ Y}}+{\text{basis}}_{{\text{forward}}_{Z}})-1}{2}}$

تبدیل به زاویه چرخش ...

$\theta =2\arccos(d)$

$yz={\text{basis}}_{{\text{up}}_{Z}}-{\text{basis}}_{{\text{forward}}_{Y}}$

$xz={\text{basis}}_{{\text{forward}_{X}}-{\text{basis}}_{{\text{right}}_{Z}}$

$xy={\text{basis}}_{{\text{right}}_{Y}}-{\text{basis}}_{{\text{up}}_{X}}$

محاسبه ضریب نرمال ...

${\text{normal}}={\frac {1}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}$

$n={\begin{bmatrix}yz\cdot {\text{normal}}\\xz\cdot {\text{normal}}\\xy\cdot {\text{normal}}\end{bmatrix} }$

زاویه-زاویه-زاویه حاصل:

${n}\cdot \theta$

تبدیل از بردار معمولی (Y) [ ویرایش ]

نمایش یک نرمال به عنوان یک چرخش، این فرض را بر این می گیرد که بردار $(0،1،0)$ "بالا" است. اگر یک محور دیگر اصلی در نظر گرفته شود، مختصات را می توان به سادگی تعویض کرد.

این یک بردار ورودی نرمال شده را در جهت نرمال فرض می کند

$N={\begin{bmatrix}{\text{normal}}_{X}\\{\text{normal}}_{Y}\\{\text{normal}}_{Z}\end {bmatrix}}$

زاویه به سادگی مجموع مختصات x/z است (یا y,x اگر Z 'بالا' باشد یا y,z اگر X 'بالا' باشد)...

${\text{angle}}=|N_{x}|+|N_{z}|$ اگر زاویه 0 باشد، کار انجام شده است، نتیجه با $(0,0,0)$

$r=1/({\text{angle}})$ برخی از مقادیر موقت؛ این مقادیر فقط به جزئی ارجاع داده می شوند...

$t={\begin{bmatrix}N_{x}\cdot r\\N_{y}\\N_{z}\cdot r\end{bmatrix}}$ از نرمال پیش بینی شده در محور Y به عنوان زاویه چرخش استفاده کنید...

${\text{target}}_{\text{angle}}=\cos ^{-1}(t_{Y})$

${\text{result}}={\begin{bmatrix}t_{Z}\cdot {\text{target}_{\text{angle}}\\0\\-t_{X}\cdot {\text{target}}_{\text{angle}}\end{bmatrix}}$

تراز کردن عادی با استفاده از پایه [ ویرایش ]

مماس و دو مماس پیش‌فرض چرخش‌هایی که فقط مجموعه نرمال خود را دارند، منجر به مماس و دو مماس نامنظم می‌شود. متناوباً یک ماتریس پایه بسازید و با استفاده از روش ذکر شده از مبنا تبدیل کنید. نرمال موارد فوق را محاسبه کنید و ماتریس تبدیل ...

${\text{normal}}_{\text{twist}}={\sqrt {t_{Z}^{2}+t_{X}^{2}}}$

${\begin{bmatrix}\left(N_{y}\cdot {\frac {-t_{X}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\right)&N_ {x}&{\frac {t_{Z}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\\\left(N_{z}\cdot {\frac {t_{Z} {{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\right)-\left(N_{x}\cdot {\frac {-t_{X}}{{\text{normal}} _{\text{twist}}}}\right)&N_{y}&0\\\left(-N_{y}\cdot {\frac {t_{Z}}{{\text{normal}}_{\ text{twist}}}}\right)&N_{z}&{\frac {-t_{X}}{{\text{normal}}_{\text{twist}}}}\end{bmatrix}}$ و سپس از پایه برای ثبت تبدیل کواترنیون استفاده کنید...

تراز کردن عادی به طور مستقیم [ ویرایش ]

یا این محاسبات مستقیمی است که با یک چهارمین log به دست می آید. بردار نتیجه فوق را محاسبه کنید و سپس ...

${\begin{matrix}t_{X_{n}}=t_{X}\cdot {\text{normal}}_{\text{twist}}\\t_{Z_{n}}=t_{ Z}\cdot {\text{normal}}_{\text{twist}}\\s=\sin({\text{target}}_{\text{angle}})\\c=1-\cos ({\text{هدف}}_{\text{زاویه}})\end{ماتریس}}$ این زاویه است

${\text{angle}}=\arccos((t_{Y}+1)*(1-t_{X_{n}})/2-1);$ این ضربات جزئی در زیر استفاده می شوند ...

${\begin{matrix}yz=s\cdot n_{X}\\xz=(2-c\cdot (n_{X}^{2}+n_{Z}^{2}))\cdot t_{Z_{n}}\\xy=s\cdot n_{X}*t_{Z_{n}}+s\cdot n_{Z}\cdot (1-t_{X_{n}})\end{ ماتریس}}$ محاسبه بردار چرخش نرمال شده (محور چرخش)...

$n={\begin{bmatrix}{\frac {yz}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}\\{\frac {xz}{ \sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{2}}}}\\{\frac {xy}{\sqrt {yz^{2}+xz^{2}+xy^{ 2}}}\end{bmatrix}}$

و در نهایت کواترنیون log حاصل را محاسبه کنید.

${\text{final}}_{\text{result}}={\text{angle}}\cdot {n}$

تبدیل از زاویه محور [ ویرایش ]

این محور ورودی را فرض می کند ${a}=[{X}،{Y}،{Z}]$ عادی شده است. اگر 0 چرخش وجود دارد، نتیجه را با $(0,0,0)$

$\theta ={\text{زاویه}}$

${\text{result}}=\theta *{a}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Rotation_formalisms_in_three_dimensions

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی