جبر لی نیمه ساده

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و پنجم بهمن ۱۴۰۱ | 11:43

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

گروه های لی و جبرهای لی

نشان می دهد گروه های کلاسیک
نشان می دهد گروه های لی ساده
نشان می دهد گروه های لی دیگر
نشان می دهد جبرهای لی
نشان می دهد جبر لی نیمه ساده
نشان می دهد نظریه نمایش
نشان می دهد گروه های لی در فیزیک
نشان می دهد دانشمندان
واژه نامه جدول گروه های لی
v تی ه

در ریاضیات ، جبر لی نیمه ساده است اگر مجموع مستقیم جبرهای لی ساده باشد . (یک جبر لی ساده یک جبر لی غیرآبلی بدون هیچ ایده آل مناسب غیر صفر است ).

در سرتاسر مقاله، مگر اینکه خلاف آن ذکر شده باشد، جبر لی یک جبر لی با بعد محدود بر روی میدانی با مشخصه 0 است. برای چنین جبر لی ${\mathfrak {g}}$ ، اگر غیر صفر باشد، شرایط زیر معادل هستند:

${\mathfrak {g}}$ نیمه ساده است؛
شکل کیلینگ ، κ(x,y) = tr(ad( x )ad( y ))، غیر منحط است .
${\mathfrak {g}}$ هیچ ایده آل آبلی غیر صفر ندارد.
${\mathfrak {g}}$ هیچ ایده آل غیر صفر قابل حلی ندارد .
رادیکال (حداکثر ایده آل قابل حل) از ${\mathfrak {g}}$ صفر است.

اهمیت [ ویرایش ]

اهمیت نیمه سادگی ابتدا از تجزیه لوی ناشی می شود، که بیان می کند که هر جبر لی با ابعاد محدود حاصلضرب نیمه مستقیم یک ایده آل قابل حل (رادیکال آن) و یک جبر نیمه ساده است. به طور خاص، جبر لی غیر صفر وجود ندارد که هم قابل حل و هم نیمه ساده باشد.

جبرهای لی نیمه ساده، در تضاد کامل با جبرهای لی قابل حل، طبقه بندی بسیار زیبایی دارند . جبرهای لی نیمه ساده بر روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر به طور کامل توسط سیستم ریشه آنها طبقه بندی می شوند که به نوبه خود توسط نمودارهای دینکین طبقه بندی می شوند . جبرهای نیمه ساده بر روی میدان‌های غیر جبری بسته را می‌توان بر حسب مواردی که در قسمت بسته جبری قرار دارند درک کرد، اگرچه طبقه‌بندی تا حدودی پیچیده‌تر است. شکل حقیقی را برای مورد جبرهای لی نیمه ساده حقیقی، که توسط الی کارتان طبقه بندی شدند، ببینید .

علاوه بر این، نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده بسیار تمیزتر از جبرهای لی عمومی است. برای مثال، تجزیه اردن در جبر لی نیمه ساده با تجزیه اردن در نمایش آن منطبق است. این مورد برای جبرهای لی به طور کلی نیست.

اگر ${\mathfrak {g}}$ پس نیمه ساده است ${\mathfrak g}=[{\mathfrak g}،{\mathfrak g}]$ . به طور خاص، هر جبر لی نیمه ساده خطی یک جبر فرعی از است ${\mathfrak {sl}}$ , جبر لی خطی ویژه . مطالعه ساختار ${\mathfrak {sl}}$ بخش مهمی از نظریه نمایش برای جبرهای لی نیمه ساده را تشکیل می دهد.

تاریخچه [ ویرایش ]

جبرهای لی نیمه ساده بر روی اعداد مختلط اولین بار توسط ویلهلم کیلینگ (1888-1890) طبقه بندی شد، اگرچه اثبات او فاقد دقت بود. اثبات او توسط الی کارتان (1894) در دکترای خود سختگیرانه شد. پایان نامه، که جبرهای لی حقیقی نیمه ساده را نیز طبقه بندی کرد. متعاقباً این مورد اصلاح شد و طبقه‌بندی کنونی توسط نمودارهای دینکین توسط یوجین دینکین 22 ساله در سال 1947 ارائه شد. برخی اصلاحات جزئی انجام شده است (به ویژه توسط جی پی سره)، اما اثبات در اصول آن بدون تغییر است و می‌توان آن را انجام داد. در هر مرجع استاندارد یافت می شود، مانند ( هوم فری 1972 ).

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

هر ایده آل، ضریب و حاصل جبرهای لی نیمه ساده دوباره نیمه ساده است. [1]
مرکز جبر لی نیمه ساده ${\mathfrak {g}}$ بی اهمیت است (از آنجایی که مرکز یک ایده آل آبلی است). به عبارت دیگر نمایندگی الحاقی $\operatorname {ad}$ تزریقی است علاوه بر این، تصویر [2] به نظر می رسد $\operatorname {Der}({\mathfrak g})$ از مشتقات در ${\mathfrak {g}}$ . از این رو،: $\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}{\overset {\sim }{\to }}\operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$ یک یکریختی است. [3] (این یک مورد خاص از لم وایتهد است .)
از آنجایی که نمایش الحاقی تزریقی است، یک جبر لی نیمه ساده یک جبر لی خطی در زیر نمایش الحاقی است. این ممکن است منجر به برخی ابهام شود، زیرا هر جبر لی در حال حاضر با توجه به برخی فضای برداری دیگر خطی است ( قضیه آدو )، اگرچه نه لزوماً از طریق نمایش الحاقی. اما در عمل، چنین ابهامی به ندرت رخ می دهد.
اگر ${\mathfrak {g}}$ پس جبر لی نیمه ساده است ${\mathfrak g}=[{\mathfrak g}،{\mathfrak g}]$ (زیرا ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}}،{\mathfrak {g}}]$ نیمه ساده و آبلی است). [4]
جبر لی با ابعاد محدود ${\mathfrak {g}}$ بیش از یک میدان k با مشخصه صفر نیمه ساده است اگر و فقط در صورتی که پسوند پایه باشد ${\mathfrak {g}}\otimes _{k}F$ برای هر پسوند فیلد نیمه ساده استاف⊃ک $F\supset k$ . [5] بنابراین، برای مثال، یک جبر لی حقیقی با بعد محدود، نیمه ساده است اگر و تنها در صورتی که پیچیدگی آن نیمه ساده باشد.

تجزیه اردن [ ویرایش ]

هر اندومورفیسم x از فضای برداری محدود بعدی بر روی میدانی با مشخصه صفر را می توان به طور منحصربفرد به یک قسمت نیمه ساده (یعنی قابل قطریابی بر روی بسته جبری) و بدون توان تجزیه کرد.

$x=s+n\$

به طوری که s و n با یکدیگر رفت و آمد دارند. علاوه بر این، هر یک از s و n یک چند جمله ای در x هستند . این تجزیه جردن x است .

موارد فوق در مورد نمایندگی الحاقی صدق می کند $\operatorname {ad}$ یک جبر لی نیمه ساده ${\mathfrak {g}}$ . یک عنصر x از ${\mathfrak {g}}$ گفته می شود که نیمه ساده است (مثلاً پوچتوان) اگر $\operatorname {ad} (x)$ یک عملگر نیمه ساده (به عبارت دیگر پوچتوان) است. [6] اگر $x\in {\mathfrak {g}}$ ، سپس تجزیه انتزاعی جردن بیان می کند که x را می توان به صورت منحصر به فرد نوشت:

$x=s+n$

جایی که $س$ نیمه ساده است، $n$ پوچتوان است و $[s,n]=0$ . [7] علاوه بر این، اگر $y\in {\mathfrak {g}}$ با x رفت و آمد می کند ، سپس با هر دو رفت و آمد می کند $s,n$ همچنین.

عوامل تجزیه جردن انتزاعی از طریق هر نمایشی از ${\mathfrak {g}}$ به این معنا که با توجه به هر نمایش ρ،

$\rho (x)=\rho (s)+\rho (n)\,$

تجزیه اردن ρ( x ) در جبر اندومورفیسم فضای نمایش است. [8] (این به عنوان یک نتیجه از قضیه تقلیل پذیری کامل ویل ثابت می شود ؛ به قضیه ویل در مورد تقلیل پذیری کامل مراجعه کنید#کاربرد: حفظ تجزیه جردن .)

ساختار [ ویرایش ]

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی نیمه ساده (بعد محدود) روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر باشد. ساختار ${\mathfrak {g}}$ را می توان با یک عمل الحاقی از یک زیر جبر متمایز بر روی آن توصیف کرد، یک زیر جبر کارتان . طبق تعریف، [9] یک جبر فرعی کارتن (همچنین به نام حداکثر زیر جبر پیچشی نیز نامیده می شود ) ${\mathfrak {h}}$ از ${\mathfrak {g}}$ یک زیر جبر حداکثر است به طوری که، برای هر∈ $h\in {\mathfrak {h}}$ ، $\operatorname {ad} (h)$ قابل مورب است . همانطور که معلوم است، ${\mathfrak {h}}$ آبلی است و بنابراین همه عملگرها در $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ به طور همزمان قابل قطر هستند . برای هر تابع خطی $\ آلفا$ از ${\mathfrak {h}}$ ، فرض کنید

${\mathfrak {g}}_{\alpha }=\{x\in {\mathfrak {g}}|[h,x]=\alpha (h)x\,{\text{ برای همه } }h\in {\mathfrak {h}}\}$ .

(توجه داشته باشید که $\mathfrak{g}_0$ متمرکز کننده است ${\mathfrak {h}}$ .) سپس

تجزیه فضای ریشه - [10] با توجه به یک جبر کارتان ${\mathfrak {h}}$ ، آن را نگه می دارد ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {h}}$ و تجزیه وجود دارد (به عنوان یک ${\mathfrak {h}}$ -مدول):

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

جایی که $\ فی$ مجموعه ای از همه تابع های خطی غیر صفر است $\ آلفا$ از ${\mathfrak {h}}$ به طوری که ${\mathfrak {g}}_{\alpha }\neq \{0\}$ . علاوه بر این، برای هر یک، $\alpha،\beta \in \Phi$ ،

$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }]\subseteq {\mathfrak {g}}_{\alpha +\beta }$ ، که برابری اگر است $\alpha +\beta \neq 0$ .
$[{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]\oplus {\mathfrak {g}}_{-\alpha }\oplus {\ mathfrak {g}}_{\alpha }\simeq {\mathfrak {sl}}_{2}$ به عنوان جبر لی
$\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$ ; به خصوص،⁡ $\dim {\mathfrak {g}}=\dim {\mathfrak {h}}+\#\Phi$ .
${\mathfrak {g}}_{2\alpha }=\{0\}$ ; به عبارت دیگر، $2\alpha \not \in \Phi$ .
با توجه به فرم کیلینگ B ،، ${\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{\beta }$ متعامد با یکدیگر هستند اگر $\alpha +\beta \neq 0$ ; محدودیت B به ${\mathfrak {h}}$ غیر منحط است

(سخت ترین مورد برای نشان دادن این است $\dim {\mathfrak {g}}_{\alpha }=1$ . شواهد استاندارد همه از برخی حقایق در نظریه نمایش استفاده می کنند ${\mathfrak {sl}}_{2}$ ; به عنوان مثال، سره از این حقیقیت استفاده می کند که یک2 ${\mathfrak {sl}}_{2}$ -ماژول با عنصر اولیه وزن منفی بی‌بعدی است، متناقضکم نور⁡ $\dim {\mathfrak {g}}<\infty$ .)

فرض کنید $h_{\alpha }\in {\mathfrak {h}},e_{\alpha }\in {\mathfrak {g}}_{\alpha },f_{\alpha }\in {\mathfrak {g }_{-\alpha }$ $[e_{\alpha },f_{\alpha }]=h_{\alpha },[h_{\alpha },e_{\alpha }]=2e_{\alpha },[h_{\alpha }, f_{\alpha }]=-2f_{\alpha }$ ; به عنوان مثال،،ه، $h_{\alpha },e_{\alpha },f_{\alpha }$ مطابق با اساس استاندارد از2 ${\mathfrak {sl}}_{2}$ .

توابع خطی در $\ فی$ ریشه های نامیده می شوند ${\mathfrak {g}}$ نسبت به ${\mathfrak {h}}$ . ریشه ها گستره می شوند∗ ${\mathfrak {h}}^{*}$ (از زمانی که اگر $\alpha (h)=0,\alpha \in \Phi$ ، سپس $\operatorname {ad} (h)$ عملگر صفر است. یعنی $ساعت$ در مرکز قرار دارد که صفر است.) علاوه بر این، از نظریه نمایش2 ${\mathfrak {sl}}_{2}$ ، یکی تقارن و خواص انتگرالی زیر را استنباط می کند $\ فی$ : برای هر، $\alpha،\beta \in \Phi$ ،

اندومورفیسم
$s_{\alpha }:{\mathfrak {h}}^{*}\to {\mathfrak {h}}^{*},\,\gamma \mapsto \gamma -\gamma (h_{\alpha })\alpha$
برگها $\ فی$ ثابت $s_{\alpha }(\Phi )\subset \Phi$ ).
$\بتا (h_{\alpha })$ یک عدد صحیح است.

توجه داشته باشید که $s_{\alpha }$ دارای خواص $s_{\alpha }(\alpha)=-\alpha$ و (2) مجموعه نقطه ثابت است $\{\gamma \in {\mathfrak {h}}^{*}|\gamma (h_{\alpha })=0\}$ ، که به این معنی است $s_{\alpha }$ بازتاب با توجه به ابر صفحه مربوط به است $\ آلفا$ . سپس موارد فوق این را می گوید $\ فی$ یک سیستم ریشه است .

از نظریه کلی سیستم ریشه چنین برمی آید که $\ فی$ شامل یک پایه است1 $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}$ از ${\mathfrak {h}}^{*}$ به طوری که هر ریشه ترکیبی خطی از1 $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{l}$ با ضرایب صحیح همان علامت؛ ریشه $\alpha _{i}$ ریشه های ساده نامیده می شوند . فرض کنید $e_{i}=e_{\alpha _{i}}$ و غیره. سپس3ل $3l$ عناصر،من،من $e_{i},f_{i},h_{i}$ (به نام مولدهای Chevalley ) تولید می کنند ${\mathfrak {g}}$ به عنوان جبر لی علاوه بر این، آنها روابط (به نام روابط سره ): با $a_{ij}=\alpha _{j}(h_{i})$ ،

$[h_{i},h_{j}]=0,$

$[e_{i},f_{i}]=h_{i},[e_{i},f_{j}]=0,i\neq j,$

$[h_{i},e_{j}]=a_{ij}e_{j},[h_{i},f_{j}]=-a_{ij}f_{j},$

$\operatorname {ad} (e_{i})^{-a_{ij}+1}(e_{j})=\operatorname {ad} (f_{i})^{-a_{ij}+ 1}(f_{j})=0,i\neq j$ .

برعکس این نیز صادق است: یعنی جبر لی ایجاد شده توسط مولدها و روابط مانند بالا یک جبر لی نیمه ساده (بعد محدود) است که دارای تجزیه فضای ریشه مانند بالا است (به شرطی که $[a_{ij}]_{1\leq i,j\leq l}$ ماتریس کارتن است ). این یک قضیه سره است . به طور خاص، دو جبر لی نیمه ساده اگر سیستم ریشه یکسانی داشته باشند، هم شکل هستند.

مفهوم ماهیت بدیهی یک سیستم ریشه و قضیه سره این است که می توان تمام سیستم های ریشه ممکن را برشمرد. از این رو، جبرهای لی نیمه ساده "همه ممکن" (بعد محدود بر روی یک میدان بسته جبری با مشخصه صفر).

گروه ویل گروه تبدیل خطی است∗≃ ${\mathfrak {h}}^{*}\simeq {\mathfrak {h}}$ تولید شده توسطس $s_{\alpha }$ 's گروه ویل تقارن مهم مسئله است. به عنوان مثال، وزن هر نمایش محدود بعدی از ${\mathfrak {g}}$ تحت گروه ویل ثابت هستند. [11]

نمونه تجزیه فضای ریشه در sl n (C) [ ویرایش ]

برای ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C} )$ و زیر جبر کارتن ${\mathfrak {h}}$ از ماتریس های مورب، تعریف کنید $\lambda _{i}\in {\mathfrak {h}}^{*}$ توسط

$\lambda _{i}(d(a_{1},\ldots ,a_{n}))=a_{i}$ ،

جایی که $d(a_{1},\ldots,a_{n})$ نشان دهنده ماتریس مورب با $a_{1}،\ldots،a_{n}$ در مورب سپس تجزیه توسط داده می شود

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \left(\bigoplus _{i\neq j}{\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}\راست)$

جایی که

${\mathfrak {g}}_{\lambda _{i}-\lambda _{j}}={\text{Span}}_{\mathbb {C}}(e_{ij})$

برای بردار $e_{ij}$ که در ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {C})$ با مبنای استاندارد (ماتریسی)، معنی $e_{ij}$ نشان دهنده بردار پایه در $من$ - ردیف و $j$ ستون -ام. این تجزیه از ${\mathfrak {g}}$ دارای یک سیستم ریشه مرتبط است:

$\Phi =\{\lambda _{i}-\lambda _{j}:i\neq j\}$

sl 2 (C) [ ویرایش ]

به عنوان مثال، ${\mathfrak {sl}}_{2}({\mathbb {C}})$ تجزیه است

${\mathfrak {sl}}_{2}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}$

و سیستم ریشه مرتبط است

$\Phi =\{\lambda _{1}-\lambda _{2},\lambda _{2}-\lambda _{1}\}$

sl 3 (C) [ ویرایش ]

که ${\mathfrak {sl}}_{3}(\mathbb {C} )$ تجزیه است

${\mathfrak {sl}}_{3}={\mathfrak {h}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{2}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{1}-\lambda _{3}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{3}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{2}-\lambda _{1}}\oplus {\mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{1}}\oplus { \mathfrak {g}}_{\lambda _{3}-\lambda _{2}}$

و سیستم ریشه مرتبط توسط داده می شود

$\Phi =\{\pm (\lambda _{1}-\lambda _{2}),\pm (\lambda _{1}-\lambda _{3}),\pm (\lambda _ {2}-\lambda _{3})\}$

مثالها [ ویرایش ]

همانطور که در #ساختار اشاره شد ، جبرهای لی نیمه ساده به پایان رسیدسی $\mathbb {C}$ (یا به طور کلی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر) توسط سیستم ریشه مرتبط با جبرهای فرعی کارتان طبقه بندی می شوند و سیستم های ریشه نیز به نوبه خود با نمودارهای دینکین طبقه بندی می شوند. نمونه هایی از جبرهای لی نیمه ساده، جبرهای لی کلاسیک ، با نمادهایی که از نمودارهای داینکین آنها گرفته شده است ، عبارتند از:

$A_{n}:$ +1 ${\mathfrak {sl}}_{{n+1}}$ , جبر لی خطی ویژه .
$B_{n}:$ س2+1 ${\mathfrak {so}}_{{2n+1}}$ ، جبر لی متعامد خاص بعد فرد .
$C_{n}:$ سپ2 ${\mathfrak {sp}}_{{2n}}$ , جبر ساده لی .
$D_{n}:$ س2 ${\mathfrak {so}}_{{2n}}$ ، جبر لی متعامد ویژه زوج بعدی (>1 $n> 1$ ).

محدودیت $n> 1$ در $D_{n}$ خانواده مورد نیاز است زیرا ${\mathfrak {so}}_{2}$ تک بعدی و جابجایی است و بنابراین نیمه ساده نیست.

این جبرهای لی به گونه ای شماره گذاری شده اند که n رتبه باشد . تقریباً همه این جبرهای لی نیمه ساده در واقع ساده هستند و اعضای این خانواده ها تقریباً همه متمایز هستند، به جز برخی از برخوردها در رتبه های کوچک. مثلا ${\mathfrak {so}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\oplus {\mathfrak {so}}_{3}$ ${\mathfrak {sp}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{5}$ . این چهار خانواده به همراه پنج استثنا ( E 6 , E 7 , E 8 , F 4 و G 2 ) در واقع تنها جبرهای لی ساده بر روی اعداد مختلط هستند.

طبقه بندی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: سیستم ریشه

جبرهای ساده لی توسط نمودارهای دینکین متصل طبقه بندی می شوند .

هر جبر لی نیمه ساده بر روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه 0، مجموع مستقیم جبرهای ساده لی (طبق تعریف) است و جبرهای ساده لی با ابعاد محدود در چهار خانواده قرار می گیرند - A n , B n , C n و D n – با پنج استثناء E 6 , E 7 , E 8 , F 4 و G 2 . جبرهای لی ساده توسط نمودارهای دینکین متصل طبقه بندی می شوند، در سمت راست نشان داده شده است، در حالی که جبرهای لی نیمه ساده با نمودارهای دینکین که لزوماً به هم متصل نیستند، مطابقت دارند، که در آن هر جزء نمودار مربوط به مجموع تجزیه جبر لی نیمه ساده به جبرهای لی ساده است.

طبقه بندی با در نظر گرفتن یک جبر فرعی کارتان (به زیر مراجعه کنید) و عملکرد الحاقی آن در جبر لی ادامه می یابد. سپس سیستم ریشه عمل هم جبر لی اصلی را تعیین می کند و هم باید یک شکل بسیار محدود داشته باشد که می تواند توسط نمودارهای دینکین طبقه بندی شود. برای جزئیات بیشتر به بخش زیر که در مورد زیرجبرها و سیستم های ریشه کارتان توضیح می دهد مراجعه کنید.

این طبقه بندی به طور گسترده یکی از زیباترین نتایج در ریاضیات در نظر گرفته می شود - فهرست مختصری از بدیهیات، از طریق یک اثبات نسبتاً کوتاه، یک طبقه بندی کامل اما غیر پیش پا افتاده با ساختار شگفت انگیز به دست می آید. این را باید با طبقه‌بندی گروه‌های ساده محدود مقایسه کرد که بسیار پیچیده‌تر است.

شمارش چهار خانواده غیر زائد است و فقط از جبرهای ساده تشکیل شده است اگر $n\geq 1$ برای A n $n\geq 2$ برای B n $n\geq 3$ برای C n و $n\geq 4$ برای D n . اگر کسی شروع به شماره گذاری کمتر کند، شمارش اضافی است، و بین جبرهای ساده لی هم شکلی استثنایی دارد که در هم شکلی نمودارهای دینکین منعکس می شود . E n را نیز می توان به پایین گسترش داد، اما در زیر E 6 نسبت به جبرهای غیر استثنایی هم شکل هستند.

در یک میدان غیر جبری بسته، طبقه‌بندی پیچیده‌تر است - یکی جبرهای ساده لی را بر روی بسته جبری طبقه‌بندی می‌کند، سپس برای هر یک از آنها، جبرهای لی ساده را بر روی میدان اصلی که این شکل را دارند (بر روی بسته) طبقه‌بندی می‌کنند. به عنوان مثال، برای طبقه بندی جبرهای لی حقیقی ساده، جبرهای لی حقیقی را با پیچیدگی معین طبقه بندی می کنیم که به عنوان اشکال حقیقی جبر لی پیچیده شناخته می شوند. این را می توان با نمودارهای Satake انجام داد ، که نمودارهای دینکین با داده های اضافی ("تزیینات") هستند. [12]

نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: نظریه نمایش جبرهای لی نیمه ساده

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی نیمه ساده (بعد محدود) روی یک میدان بسته از نظر جبری با مشخصه صفر باشد. سپس، مانند ${\textstyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ جایی که $\ فی$ سیستم ریشه است. ریشه های ساده را انتخاب کنید $\ فی$ ; یک ریشه $\ آلفا$ از $\ فی$ سپس مثبت نامیده می شود و با نشان داده می شود $\ آلفا > 0$ اگر ترکیبی خطی از ریشه های ساده با ضرایب صحیح غیر منفی باشد. فرض کنید ${\textstyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {h}}\oplus \bigoplus _{\alpha >0}{\mathfrak {g}}_{\alpha }}$ ، که حداکثر زیر جبر قابل حل است ${\mathfrak {g}}$ ، جبر بورل .

بگذارید V یک ساده (احتمالاً بی‌بعدی) باشد ${\mathfrak {g}}$ -مدول. اگر V اتفاقاً a را بپذیرد ${\mathfrak b}$ -بردار $v_{0}$ ، [13] سپس تا مقیاس بندی منحصر به فرد است و بالاترین وزن بردار V نامیده می شود . همچنین یک ${\mathfrak {h}}$ -بردار وزن و ${\mathfrak {h}}$ -وزن0 $v_{0}$ ، یک تابع خطی از ${\mathfrak {h}}$ ، بالاترین وزن V نامیده می شود . پس حقایق اساسی و در عین حال غیر پیش پا افتاده [14] برای هر تابع خطی (1) هستند∈∗ $\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}$ ، یک ساده وجود دارد ${\mathfrak {g}}$ -مدول $V^{\mu }$ داشتن $\mu$ به عنوان بالاترین وزن آن و (2) دو ماژول ساده با بالاترین وزن یکسان معادل هستند. به طور خلاصه، یک دوگانگی بین وجود دارد∗ ${\mathfrak {h}}^{*}$ و مجموعه ای از کلاس های هم ارزی ساده ${\mathfrak {g}}$ ماژول هایی که بردار وزن بورل را می پذیرند.

برای کاربردها، شخص اغلب به یک ساده با بعد محدود علاقه مند است ${\mathfrak {g}}$ ماژول (نمایش غیرقابل کاهش با بعد محدود). این به ویژه زمانی که ${\mathfrak {g}}$ جبر لی یک گروه لی است (یا پیچیده شدن آن)، زیرا از طریق مکاتبات لی ، یک نمایش جبر لی را می توان با نمایش گروه لی ادغام کرد که موانع برطرف شوند. معیار بعدی سپس به این نیاز می پردازد: توسط اتاق مثبت ویل $C\subset {\mathfrak {h}}^{*}$ ، منظور ما مخروط محدب است $C=\{\mu \in {\mathfrak {h}}^{*}|\mu (h_{\alpha })\geq 0,\alpha \in \Phi >0\}$ جایی که∈[،-] $h_{\alpha }\in [{\mathfrak {g}}_{\alpha },{\mathfrak {g}}_{-\alpha }]$ یک بردار منحصر به فرد است به طوری که()=2 $\alpha (h_{\alpha })=2$ . سپس این معیار چنین است: [15]

⁡ $\dim V^{\mu <\infty$ اگر و فقط اگر، برای هر ریشه مثبت>0 $\ آلفا > 0$ ، $\mu (h_{\alpha })$ یک عدد صحیح است و $\mu$ نهفته در $سی$ .

یک تابع خطی $\mu$ ارضای شرط معادل فوق وزن انتگرال غالب نامیده می شود. از این رو، به طور خلاصه، بین وزن های انتگرال غالب و کلاس های هم ارزی ساده محدود وجود دارد. ${\mathfrak {g}}$ ماژول ها، نتیجه ای که به عنوان قضیه بالاترین وزن شناخته می شود . کاراکتر یک ماژول ساده با ابعاد محدود در نوبت توسط فرمول کاراکتر ویل محاسبه می شود .

قضیه ناشی از ویل می گوید که در یک میدان مشخصه صفر، هر مدول محدود بعدی یک جبر لی نیمه ساده ${\mathfrak {g}}$ کاملا قابل کاهش است ؛ یعنی جمع مستقیم ساده است ${\mathfrak {g}}$ -ماژول ها از این رو، نتایج فوق پس از آن برای نمایش‌های بعدی محدود یک جبر لی نیمه ساده اعمال می‌شود.

جبر لی نیمه ساده حقیقی [ ویرایش ]

برای یک جبر لی نیمه ساده بر روی میدانی که دارای مشخصه صفر است اما از نظر جبری بسته نیست، هیچ نظریه ساختار کلی مانند آنچه برای میدان های بسته از نظر جبری مشخصه صفر است وجود ندارد. اما در زمینه اعداد حقیقی، هنوز نتایج ساختار وجود دارد.

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ یک جبر لی نیمه ساده حقیقی با بعد محدود باشد و ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {g}}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ پیچیدگی آن (که باز هم نیمه ساده است). جبر لی حقیقی ${\mathfrak {g}}$ شکل حقیقی نامیده می شودسی ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$ . اگر شکل حقیقی روی آن منفی-معین باشد، فرم فشرده نامیده می شود. این لزوما جبر لی یک گروه لی فشرده است (از این رو، نام).

کیف فشرده [ ویرایش ]

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ فرم فشرده است و ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ یک زیر فضای آبلی حداکثر. می توان نشان داد (به عنوان مثال، از حقیقیت ${\mathfrak {g}}$ جبر لی یک گروه لی فشرده است) که $\operatorname {ad} ({\mathfrak {h}})$ متشکل از ماتریس‌های شیبدار-هرمیتی، قابل مورب از رویسی $\mathbb {C}$ با مقادیر ویژه خیالی از این رو، ${\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ زیر جبر کارتن است ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }$ و منجر به تجزیه فضای ریشه می شود (ر.ک. #ساختار )

${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

جایی که هر کدام $\ آلفا \ در \ فی$ به ارزش حقیقی استمن $i{\mathfrak {h}}$ ; بنابراین، می توان با یک تابع حقیقی-خطی در فضای برداری حقیقی شناسایی کردمن $i{\mathfrak {h}}$ .

به عنوان مثال، فرض کنید ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {su}}(n)$ و بگیر ${\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}$ فضای فرعی همه ماتریس های مورب. توجه داشته باشید ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {C}$ . فرض کنید $e_{i}$ تابع خطی روی باشد ${\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ داده شده توسط $e_{i}(H)=h_{i}$ برای $H=\operatorname {diag} (h_{1},\dots,h_{n})$ . سپس برای هر کدام $H\in {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }$ ،

$[H,E_{ij}]=(e_{i}(H)-e_{j}(H))E_{ij}$

جایی ک $E_{{ij}}$ ماتریسی است که دارای 1 در است $(من، ج)$ نقطه -ام و صفر در جای دیگر. از این رو، هر ریشه $\ آلفا$ از فرم است $\alpha =e_{i}-e_{j},i\neq j$ و تجزیه فضای ریشه، تجزیه ماتریس ها است: [16]

. ${\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }={\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\oplus \bigoplus _{i\neq j}\mathbb {C} E_{ij}.$

جعبه غیر فشرده [ ویرایش ]

فرض کنید ${\mathfrak {g}}$ لزوماً یک فرم فشرده نیست (یعنی امضای فرم کیلینگ همگی منفی نیست). فرض کنید، علاوه بر این، دارای یک دگرگونی کارتن است $\ تتا$ و فرض کنید ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ تجزیه فضای ویژه باشد $\ تتا$ ، جایی کهک،پ ${\mathfrak {k}}،{\mathfrak {p}}$ به ترتیب فضاهای ویژه 1 و -1 هستند. به عنوان مثال، اگر ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{n}\mathbb {R}$ و $\ تتا$ پس انتقال ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}(n)$ .

فرض کنید ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}$ یک زیرفضای آبلی حداکثر باشد. اکنون، $\operatorname {ad} ({\mathfrak {p}})$ متشکل از ماتریس های متقارن (با توجه به یک ضرب داخلی مناسب) و در نتیجه عملگرها در $\operatorname {ad} ({\mathfrak {a}})$ با مقادیر ویژه حقیقی به طور همزمان قابل قطریابی هستند. با تکرار آرگومان های فیلد پایه بسته جبری، تجزیه به دست می آید (به نام تجزیه فضای ریشه محدود ): [17]

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus \bigoplus _{\alpha \in \Phi }{\mathfrak {g}}_{\alpha }$

جایی که

عناصر در $\ فی$ ریشه های محدود نامیده می شوند ،
$\theta ({\mathfrak {g}}_{\alpha })={\mathfrak {g}}_{-\alpha }$ برای هر تابع خطی $\ آلفا$ ; به خصوص، $-\Phi \subset \Phi$ ،
${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {a}}\oplus Z_{\mathfrak {k}}({\mathfrak {a}})$ .

علاوه بر این، $\ فی$ یک سیستم ریشه است اما لزوماً کاهش نمی یابد (یعنی ممکن است رخ دهد $\alpha,2\alpha$ هر دو ریشه هستند).

مورد sl(n,C) [ ویرایش ]

اگر ${\mathfrak {g}}=\mathrm {sl} (n,\mathbb {C} )$ ، سپس ${\mathfrak {h}}$ ممکن است به عنوان زیر جبر مورب در نظر گرفته شود ${\mathfrak {g}}$ ، متشکل از ماتریس های مورب که مجموع ورودی های قطری آنها صفر است. از آنجا که ${\mathfrak {h}}$ ابعاد دارد $n-1$ ، ما آن را می بینیم $\mathrm {sl} (n;\mathbb {C})$ رتبه دارد $n-1$ .

بردارهای ریشه $ایکس$ در این مورد ممکن است به عنوان ماتریس در نظر گرفته شود $E_{i,j}$ با $i\neq j$ ، جایی که $E_{i,j}$ ماتریسی با 1 در است $(من، ج)$ نقطه و صفر در جاهای دیگر. [18] اگر $اچ$ یک ماتریس مورب با ورودی های مورب است $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ ، پس داریم

$[H,E_{i,j}]=(\lambda _{i}-\lambda _{j})E_{i,j}$ .

بنابراین، ریشه برای $\mathrm {sl} (n,\mathbb {C})$ تابع های خطی هستند $\alpha _{i,j}$ داده شده توسط

$\alpha _{i,j}(H)=\lambda _{i}-\lambda _{j}$ .

پس از شناسایی ${\mathfrak {h}}$ با دوتایی آن، ریشه ها تبدیل به بردار می شوند: $\alpha _{i,j}:=e_{i}-e_{j}$ در فضای $n$ -چوارهایی که مجموع آنها صفر است. این سیستم ریشه ای است که به آن معروف است $A_{n-1}$ در برچسب گذاری معمولی

انعکاس مربوط به ریشه $\alpha _{i,j}$ عمل می کند ${\mathfrak {h}}$ با جابجایی $من$ و $j$ ورودی های مورب سپس گروه ویل فقط گروه جایگشتی است $n$ عناصر، با تغییر ورودی های مورب ماتریس ها به داخل عمل می کنند ${\mathfrak {h}}$ .

کلیات [ ویرایش ]

مقالات اصلی: جبر لی تقلیلی و جبر لی تقسیم شده

جبرهای لی نیمه ساده تعمیم های خاصی را می پذیرند. اولاً، بسیاری از جملاتی که برای جبرهای لی نیمه ساده صادق هستند، به طور کلی برای جبرهای لی تقلیلی صادق هستند . به طور انتزاعی، جبر لی تقلیلی جبر لی تقلیلی است که نمایش الحاقی آن کاملاً قابل تقلیل است ، در حالی که به طور مشخص، جبر لی تقلیلی مجموع مستقیم یک جبر لی نیمه ساده و یک جبر لی آبلی است . مثلا، ${\mathfrak {sl}}_{n}$ نیمه ساده است و ${\mathfrak {gl}}_{n}$ تقلیل دهنده است. بسیاری از خصوصیات جبرهای لی نیمه ساده فقط به کاهش پذیری بستگی دارد.

بسیاری از ویژگی‌های جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی نه تنها برای جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی بر روی میدان‌های بسته جبری، بلکه عموماً برای جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی نسبت به سایر زمینه‌ها صادق است: جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی بر روی میدان‌های بسته جبری همیشه تقسیم می‌شوند. ، اما در مورد سایر زمینه ها همیشه اینطور نیست. جبرهای Split لی اساساً همان تئوری نمایش را دارند که جبرهای لی نیمه ساده بر روی میدان های بسته جبری، به عنوان مثال، جبر تقسیم شده کارتان همان نقشی را ایفا می کند که زیر جبر کارتان بر روی میدان های بسته جبری بازی می کند. این رویکردی است که در ( بورباکی 2005برای مثال، که نمایش‌های جبرهای لی نیمه ساده/تقلیلی را طبقه‌بندی می‌کند.

گروه های نیمه ساده و تقلیل [ ویرایش ]

یک گروه لی متصل نیمه ساده نامیده می شود که جبر لی آن یک جبر لی نیمه ساده، یعنی مجموع مستقیم جبرهای لی ساده باشد. اگر جبر لی آن مجموع مستقیم جبرهای لی ساده و پیش پا افتاده (یک بعدی) باشد به آن تقلیل می گویند . گروه های تقلیل به طور طبیعی به صورت تقارن تعدادی از اشیاء ریاضی در جبر، هندسه و فیزیک رخ می دهند. مثلا گروه $GL_{n}(\mathbb {R})$ تقارن یک فضای برداری حقیقی n بعدی (به طور معادل، گروه ماتریس های معکوس) تقلیل دهنده است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Semisimple_Lie_algebra

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی