ریاضیات

تاریخچه [ ویرایش ]

سرخس بارنزلی با استفاده از بازی آشوب ایجاد شد . اشکال طبیعی (سرسس، ابر، کوه و غیره) ممکن است از طریق یک سیستم عملکرد تکرار شونده (IFS) بازآفرینی شوند.

یکی از طرفداران اولیه نظریه آشوب، هانری پوانکاره بود. در دهه 1880، او در حین مطالعه مسئله سه جسم ، دریافت که می‌تواند مدارهایی وجود داشته باشد که غیر تناوبی باشند، اما برای همیشه افزایش یابند و به یک نقطه ثابت نزدیک نشوند. [63] [64] [65] در سال 1898، ژاک هادامارد یک مطالعه تأثیرگذار درباره حرکت آشفته یک ذره آزاد که بدون اصطکاک روی سطحی با انحنای منفی ثابت می‌لغزد به نام « بیلیارد هادامارد » منتشر کرد. [66] هادامارد توانست نشان دهد که همه مسیرها ناپایدار هستند، به این ترتیب که تمام مسیرهای ذرات به طور نمایی از یکدیگر واگرا می شوند، با یک توان لیاپانوف مثبت .

نظریه آشوب در زمینه نظریه ارگودیک آغاز شد . مطالعات بعدی، همچنین در مورد معادلات دیفرانسیل غیرخطی ، توسط جورج دیوید بیرخوف ، [67] آندری نیکولاویچ کولموگروف ، [68] [69] [70] مری لوسی کارترایت و جان ادنسور لیتل وود ، [71] و استفان اسمیل انجام شد. . [72] به جز اسمیل، این مطالعات همگی مستقیماً از فیزیک الهام گرفتند: مسئله سه جسم در مورد بیرخوف، آشفتگی و مشکلات نجومی در مورد کولموگروف، و مهندسی رادیو در مورد کارترایت و لیتل وود. [نیاز به استناد ]اگرچه حرکت بی نظم سیاره مشاهده نشده بود، اما تجربی گرایان با تلاطم در حرکت سیال و نوسان غیر تناوبی در مدارهای رادیویی بدون بهره مندی از نظریه ای برای توضیح آنچه می دیدند مواجه شده بودند.

علیرغم بینش های اولیه در نیمه اول قرن بیستم، نظریه آشوب تنها پس از اواسط قرن رسمیت یافت، زمانی که برای اولین بار برای برخی از دانشمندان آشکار شد که نظریه خطی ، نظریه غالب سیستم در آن زمان، به سادگی نمی تواند موارد مشاهده شده را توضیح دهد. رفتار آزمایش های خاص مانند نقشه لجستیک . آنچه به اندازه گیری عدم دقت و " صدا " ساده نسبت داده شده بود توسط نظریه پردازان آشوب به عنوان یک جزء کامل از سیستم های مورد مطالعه در نظر گرفته شد.

کاتالیزور اصلی برای توسعه نظریه آشوب کامپیوتر الکترونیکی بود. بسیاری از ریاضیات نظریه آشوب شامل تکرار مکرر فرمول های ساده ریاضی است که انجام آن با دست غیرعملی است. رایانه های الکترونیکی این محاسبات مکرر را عملی می کردند، در حالی که ارقام و تصاویر امکان تجسم این سیستم ها را فراهم می کردند. یوشیسوکه اوئدا به عنوان دانشجوی فارغ التحصیل در آزمایشگاه چیهیرو هایاشی در دانشگاه کیوتو در حال آزمایش با کامپیوترهای آنالوگ بود و در 27 نوامبر 1961 متوجه چیزی شد که او آن را "پدیده های انتقالی تصادفی" نامید. با این حال مشاور او در آن زمان با نتایج او موافق نبود و تا سال 1970 به او اجازه نداد که یافته های خود را گزارش کند. [73] [74]

تلاطم در گرداب نوک از بال هواپیما . مطالعات مربوط به نقطه بحرانی که سیستمی فراتر از آن تلاطم ایجاد می کند، برای نظریه آشوب مهم بود، به عنوان مثال توسط فیزیکدان شوروی، لو لاندو ، که نظریه تلاطم لاندو-هوپف را توسعه داد، تجزیه و تحلیل شد . دیوید روئل و فلوریس تاکنس بعداً در برابر لاندو پیش‌بینی کردند که تلاطم سیال می‌تواند از طریق یک جاذبه عجیب ، مفهوم اصلی نظریه آشوب ایجاد شود.

ادوارد لورنز از پیشگامان اولیه این نظریه بود. علاقه او به هرج و مرج به طور تصادفی از طریق کارش در پیش بینی آب و هوا در سال 1961 به وجود آمد . ، برای اجرای شبیه سازی آب و هوا. آنها می خواستند یک توالی از داده ها را دوباره ببینند و برای صرفه جویی در زمان، شبیه سازی را در اواسط مسیر شروع کردند. آنها این کار را با وارد کردن پرینت داده‌هایی که با شرایط وسط شبیه‌سازی اصلی مطابقت دارد، انجام دادند. در کمال تعجب، آب و هوایی که دستگاه شروع به پیش بینی کرد کاملاً متفاوت از محاسبه قبلی بود. آنها این موضوع را در پرینت کامپیوتر دنبال کردند. کامپیوتر با دقت 6 رقمی کار می کرد، اما چاپ شده متغیرها را به یک عدد 3 رقمی گرد کرد، بنابراین مقداری مانند 0.506127 به عنوان 0.506 چاپ می شود. این تفاوت ناچیز است و اتفاق نظر در آن زمان این بود که نباید اثر عملی داشته باشد. با این حال، لورنز کشف کرد که تغییرات کوچک در شرایط اولیه باعث ایجاد تغییرات بزرگ در نتیجه بلندمدت می شود. [76]کشف لورنز، که نام خود را به جاذبه‌های لورنز داد، نشان داد که حتی مدل‌سازی دقیق اتمسفر نیز نمی‌تواند به طور کلی پیش‌بینی دقیق آب و هوای بلندمدت را انجام دهد.

در سال 1963، بنوا ماندلبرو الگوهای تکرارشونده ای را در هر مقیاسی در داده های قیمت پنبه یافت. [77] او پیش از آن نظریه اطلاعات را مطالعه کرده بود و به این نتیجه رسید که نویز مانند مجموعه کانتور طراحی شده است : در هر مقیاسی نسبت دوره‌های حاوی نویز به دوره‌های بدون خطا ثابت است - بنابراین خطاها اجتناب‌ناپذیر هستند و باید با اضافه کردن افزونگی برنامه‌ریزی شوند. . [78] مندلبروت هم «اثر نوح» (که در آن تغییرات ناگهانی ناپیوسته می‌تواند رخ دهد) و هم «اثر جوزف» (که در آن تداوم یک مقدار می‌تواند برای مدتی رخ دهد، اما پس از آن ناگهان تغییر کند) را توصیف کرد. [79] [80] این ایده که تغییرات در قیمت به طور معمول توزیع شده است را به چالش کشید. در سال 1967، او " طول سواحل بریتانیا چقدر است؟ خود تشابه آماری و بعد کسری " را منتشر کرد، که نشان می‌دهد طول خط ساحلی با مقیاس ابزار اندازه‌گیری متفاوت است، در همه مقیاس‌ها به خودش شباهت دارد و از نظر طول بی‌نهایت است. دستگاه اندازه گیری بی نهایت کوچک [81] او با این استدلال که یک توپ ریسمان در صورت مشاهده از دور (0 بعدی)، یک توپ وقتی از نزدیک (3 بعدی) یا یک رشته منحنی (1 بعدی) به نظر می رسد، به عنوان یک نقطه ظاهر می شود. ابعاد یک جسم نسبت به ناظر است و ممکن است کسری باشد. جسمی که بی‌نظمی آن در مقیاس‌های مختلف ثابت است ("خود شباهت") یک فراکتال است (مثلاً اسفنج منگر است .، واشر Sierpiński و منحنی کوخ یا دانه برف که بی نهایت طولانی است اما فضای محدودی را در بر می گیرد و ابعاد فراکتالی آن حدود 1.2619 است. در سال 1982، ماندلبروت هندسه فراکتال طبیعت را منتشر کرد که به کلاسیک نظریه آشوب تبدیل شد. [82]

در دسامبر 1977، آکادمی علوم نیویورک اولین سمپوزیوم در مورد آشوب را با حضور دیوید رول، رابرت می ، جیمز آ. یورک (که اصطلاح "آشوب" در ریاضیات استفاده می شود)، رابرت شاو و هواشناس ادوارد برگزار کرد. لورنز. سال بعد پیر کوله و چارلز ترسر «تکرارهای اندومورفیسم و ​​گروه‌های عادی‌سازی مجدد» را منتشر کردند و مقاله میچل فایگنبام «جهان‌شمولی کمی برای طبقه‌ای از تبدیل‌های غیرخطی» سرانجام پس از 3 سال رد داوران در یک مجله منتشر شد. [43] [83] بنابراین Feigenbaum (1975) و Coullet & Tresser (1978) جهانی بودن را کشف کردند.در هرج و مرج، به کاربرد نظریه آشوب در بسیاری از پدیده های مختلف اجازه می دهد.

در سال 1979، آلبرت جی لیبچابر ، طی سمپوزیومی که توسط پیر هوهنبرگ در آسپن سازماندهی شد ، مشاهدات تجربی خود را از آبشار انشعاب که منجر به آشفتگی و آشفتگی در سیستم‌های همرفت ریلی-بنارد می‌شود ، ارائه کرد. او در سال 1986 همراه با میچل جی. فایگنبام به خاطر دستاوردهای الهام بخششان جایزه ولف را در فیزیک دریافت کردند. [84]

در سال 1986، آکادمی علوم نیویورک با همکاری مؤسسه ملی سلامت روان و دفتر تحقیقات نیروی دریایی اولین کنفرانس مهم در مورد آشوب در زیست شناسی و پزشکی را سازماندهی کرد. در آنجا، برناردو هوبرمن یک مدل ریاضی از اختلال ردیابی چشم در میان افراد مبتلا به اسکیزوفرنی ارائه کرد. [85] این منجر به تجدید فیزیولوژی در دهه 1980 از طریق استفاده از نظریه آشوب، به عنوان مثال، در مطالعه چرخه های قلبی پاتولوژیک شد.

در سال 1987، Per Bak ، Chao Tang و Kurt Wiesenfeld مقاله ای را در Physical Review Letters [86] منتشر کردند که برای اولین بار انتقادی خود سازمان یافته (SOC) را توصیف می کند، که یکی از مکانیسم هایی است که پیچیدگی در طبیعت به وجود می آید.

در کنار رویکردهای عمدتاً مبتنی بر آزمایشگاه مانند ماسه‌پایه باک تانگ ویزنفلد ، بسیاری از تحقیقات دیگر بر روی سیستم‌های طبیعی یا اجتماعی در مقیاس بزرگ متمرکز شده‌اند که شناخته شده (یا مشکوک) هستند که رفتار تغییرناپذیر مقیاس را نشان می‌دهند. اگرچه این رویکردها همیشه (حداقل در ابتدا) توسط متخصصان در موضوعات مورد بررسی مورد استقبال قرار نگرفتند، با این وجود SOC به عنوان یک نامزد قوی برای توضیح تعدادی از پدیده های طبیعی، از جمله زمین لرزه ها (که مدت ها قبل از کشف SOC شناخته شده بودند، شناخته شده است. به عنوان منبعی از رفتار تغییرناپذیر مقیاس مانند قانون گوتنبرگ-ریشتر که توزیع آماری اندازه‌های زلزله را توصیف می‌کند و قانون اوموری [87]توصیف فراوانی پس لرزه ها)، شعله های خورشیدی ، نوسانات در سیستم های اقتصادی مانند بازارهای مالی (اشاره به SOC در اقتصاد فیزیک رایج است ) ، شکل گیری چشم انداز، آتش سوزی جنگل ها ، رانش زمین ، اپیدمی ها، و تکامل بیولوژیکی (مثلاً در جایی که SOC مورد استفاده قرار گرفته است. به عنوان مکانیزم دینامیکی پشت نظریه " تعادل نقطه گذاری " ارائه شده توسط نایلز الدرج و استیون جی گولد). با توجه به پیامدهای توزیع بدون مقیاس اندازه رویدادها، برخی از محققان پیشنهاد کرده اند که پدیده دیگری که باید به عنوان نمونه ای از SOC در نظر گرفته شود، وقوع جنگ است. این تحقیقات SOC شامل تلاش برای مدل‌سازی (یا توسعه مدل‌های جدید یا تطبیق مدل‌های موجود با ویژگی‌های یک سیستم طبیعی معین)، و تجزیه و تحلیل داده‌های گسترده برای تعیین وجود و/یا ویژگی‌های قوانین مقیاس‌بندی طبیعی است.

در همان سال، جیمز گلیک Chaos: Making a New Science را منتشر کرد که پرفروش شد و اصول کلی نظریه آشوب و همچنین تاریخچه آن را به عموم مردم معرفی کرد. [88] نظریه آشوب در ابتدا حوزه چند فرد منزوی بود که به تدریج به عنوان یک رشته فرا رشته ای و نهادی، عمدتاً تحت نام تحلیل سیستم های غیرخطی ، ظهور کرد. با اشاره به مفهوم تغییر پارادایم توماس کوهن که در ساختار انقلاب‌های علمی (1962) آشکار شد، بسیاری از «باغ‌شناسان» (همانطور که برخی خود را توصیف کردند) ادعا کردند که این نظریه جدید نمونه‌ای از چنین تغییری است، تزی که توسط گلیک تأیید شده است. .

در دسترس بودن رایانه‌های ارزان‌تر و قدرتمندتر، کاربرد نظریه آشوب را گسترش می‌دهد. در حال حاضر، نظریه آشوب یک حوزه تحقیقاتی فعال باقی مانده است، [89] که شامل بسیاری از رشته های مختلف مانند ریاضیات ، توپولوژی ، فیزیک ، [90] سیستم های اجتماعی ، [91] مدل سازی جمعیت ، زیست شناسی ، هواشناسی ، اخترفیزیک ، نظریه اطلاعات ، علوم اعصاب محاسباتی ، مدیریت بحران همه گیر ، [16] [17] و غیره.

قیاس محبوب اما نادرست برای آشوب [ ویرایش ]

وابستگی حساس به شرایط اولیه (یعنی اثر پروانه ای) با استفاده از فولکلور زیر نشان داده شده است [88] :

«به دلیل نداشتن میخ، کفش گم شد .

به دلیل نداشتن کفش، اسب گم شد .

برای نداشتن اسب، سوارکار گم شد .

به دلیل نداشتن یک سوار، نبرد شکست خورد .

برای نبرد، پادشاهی از دست رفت .

و همه چیز به خاطر نیاز به یک میخ نعل اسبی " .

بر اساس موارد فوق، بسیاری از مردم به اشتباه معتقدند که تأثیر یک اغتشاش اولیه کوچک به طور یکنواخت با زمان افزایش می‌یابد و هر اغتشاش کوچک در نهایت می‌تواند تأثیر زیادی بر ادغام‌های عددی ایجاد کند. با این حال، در سال 2008، پروفسور لورنز اظهار داشت که او احساس نمی‌کند که این آیه هرج و مرج واقعی را توصیف می‌کند، اما این آیه پدیده ساده‌تر بی‌ثباتی را بهتر نشان می‌دهد و این آیه به طور ضمنی نشان می‌دهد که رویدادهای کوچک بعدی، نتیجه را معکوس نمی‌کنند (Lorenz, 2008 [ 92] ). بر اساس تحليل، آيه فقط دلالت بر واگرايى دارد، نه محدوديت [6] . مرزبندی برای اندازه محدود الگوی پروانه مهم است.