از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

پرتره فاز که انشعاب زین-گره را نشان می دهد

نظریه انشعاب مطالعه ریاضی تغییرات در ساختار کیفی یا توپولوژیکی یک خانواده معین از منحنی ها است، مانند منحنی های انتگرال یک خانواده از میدان های برداری ، و حل های یک خانواده از معادلات دیفرانسیل . معمولاً برای مطالعه ریاضی سیستم‌های دینامیکی به کار می‌رود ، انشعاب زمانی رخ می‌دهد که یک تغییر صاف کوچک در مقادیر پارامتر (پارامترهای انشعاب) یک سیستم باعث یک تغییر کیفی یا توپولوژیکی ناگهانی در رفتار آن شود. [1] انشعاب ها در هر دو سیستم پیوسته رخ می دهند (توضیح داده شده توسطمعادلات دیفرانسیل معمولی ، تاخیری یا جزئی ) و سیستم های گسسته (توصیف شده توسط نقشه ها).

نام "انشعاب" برای اولین بار توسط هانری پوانکاره در سال 1885 در اولین مقاله در ریاضیات که چنین رفتاری را نشان می داد معرفی شد. [2] هانری پوانکاره نیز بعداً انواع مختلفی از نقاط ثابت را نام برد و آنها را با موتیف طبقه بندی کرد [ روشن کردن ] .

انواع انشعاب [ ویرایش ]

تقسیم انشعابات به دو کلاس اصلی مفید است:

  • انشعاب های محلی، که می توانند به طور کامل از طریق تغییرات در ویژگی های پایداری محلی تعادل ها، مدارهای تناوبی یا سایر مجموعه های ثابت به عنوان پارامترها از آستانه های بحرانی تجزیه و تحلیل شوند. و
  • انشعاب‌های جهانی، که اغلب زمانی رخ می‌دهند که مجموعه‌های ثابت بزرگ‌تر سیستم با یکدیگر یا با تعادل‌های سیستم برخورد کنند. آنها را نمی توان صرفاً با تجزیه و تحلیل پایداری تعادل ها (نقاط ثابت) تشخیص داد.

دوشاخه های محلی [ ویرایش ]

انشعاب های دوره نصف شدن (L) منجر به نظم و به دنبال آن دو شاخه شدن دوره (R) که منجر به هرج و مرج می شود.

یک انشعاب محلی زمانی اتفاق می افتد که یک تغییر پارامتر باعث می شود که ثبات یک تعادل (یا نقطه ثابت) تغییر کند. در سیستم های پیوسته، این مربوط به بخش واقعی یک مقدار ویژه تعادلی است که از صفر می گذرد. در سیستم های گسسته (توصیف شده توسط نقشه ها)، این مربوط به یک نقطه ثابت است که دارای یک ضرب کننده Floquet با مدول برابر با یک است. در هر دو حالت، تعادل در نقطه انشعاب غیرهذلولی است . تغییرات توپولوژیکی در پرتره فاز سیستم را می توان با حرکت دادن پارامتر انشعاب به نقطه انشعاب (بنابراین "محلی") به همسایگی های کوچک خودسرانه نقاط ثابت دوشاخه محدود کرد.

از نظر فنی تر، سیستم دینامیکی پیوسته توصیف شده توسط معادله دیفرانسیل معمولی (ODE) را در نظر بگیرید.

{\dot x}=f(x,\lambda )\quad f\colon {\mathbb {R}}^{n}\times {\mathbb {R}}\rightarrow {\mathbb {R}}^{n }.

یک انشعاب محلی در رخ می دهد(x_{0}،\lambda _{0})اگر ماتریس ژاکوبیند{\textrm {d}}f_{{x_{0}،\lambda _{0}}} دارای یک مقدار ویژه با بخش واقعی صفر است. اگر مقدار ویژه برابر با صفر باشد، انشعاب یک انشعاب حالت پایدار است، اما اگر مقدار ویژه غیر صفر اما کاملاً خیالی باشد، این یک انشعاب Hopf است.

برای سیستم های دینامیکی گسسته، سیستم را در نظر بگیرید

x_{{n+1}}=f(x_{n},\lambda )\,.

سپس یک انشعاب محلی در آن رخ می دهد(x_{0}،\lambda _{0})اگر ماتریس {\textrm {d}}f_{{x_{0}،\lambda _{0}}} دارای مقدار ویژه با مدول برابر با یک است. اگر مقدار ویژه برابر با یک باشد، انشعاب یا یک گره زینی (که اغلب در نقشه ها انشعاب تاشو نامیده می شود)، انشعاب فرا بحرانی یا دوشاخه است. اگر مقدار ویژه برابر با 1- باشد، یک انشعاب دوره دو برابر (یا تلنگر) است و در غیر این صورت، یک انشعاب Hopf است.

نمونه هایی از انشعاب های محلی عبارتند از:

دوشاخه های جهانی [ ویرایش ]

پرتره فاز قبل، در، و بعد از انشعاب هموکلینیک در دو بعدی. مدار دوره ای رشد می کند تا زمانی که با نقطه زین برخورد کند. در نقطه انشعاب، دوره مدار تناوبی تا بی نهایت رشد کرده و به یک مدار هموکلینیک تبدیل شده است . پس از انشعاب، دیگر یک مدار دوره ای وجود ندارد. پانل سمت چپ : برای مقادیر پارامتر کوچک، یک نقطه زین در مبدا و یک چرخه حد در ربع اول وجود دارد. پانل میانی : با افزایش پارامتر انشعاب، سیکل حد رشد می کند تا جایی که دقیقاً نقطه زینی را قطع می کند و مداری با مدت نامحدود ایجاد می کند. پنل سمت راست: هنگامی که پارامتر انشعاب بیشتر افزایش می یابد، چرخه حد به طور کامل ناپدید می شود.

انشعاب‌های جهانی زمانی اتفاق می‌افتند که مجموعه‌های ثابت «بزرگ‌تر»، مانند مدارهای تناوبی، با تعادل‌ها برخورد کنند. این باعث تغییراتی در توپولوژی مسیرها در فضای فاز می شود که نمی تواند به یک محله کوچک محدود شود، همانطور که در مورد دوشاخه های محلی است. در واقع، تغییرات در توپولوژی تا یک فاصله دلخواه بزرگ (از این رو "جهانی" گسترش می یابد.

نمونه هایی از دوشاخه های جهانی عبارتند از:

  • انشعاب هموکلینیک که در آن یک چرخه حدی با یک نقطه زین برخورد می کند . [3] دو شاخه شدن هموکلینیک می تواند به صورت فوق بحرانی یا زیر بحرانی رخ دهد. نوع بالا انشعاب هموکلینیک "کوچک" یا "نوع I" است. در دوبعدی انشعاب هموکلینیک "بزرگ" یا "نوع II" وجود دارد که در آن مدار هموکلینیک انتهای دیگر منیفولدهای ناپایدار و پایدار زین را "به دام می اندازد". در سه بعد یا بیشتر، انشعاب‌های هم‌بعدی بالاتر می‌توانند رخ دهند که پویایی پیچیده و احتمالاً آشفته ایجاد می‌کنند.
  • انشعاب هتروکلینیک که در آن یک چرخه حدی با دو یا چند نقطه زین برخورد می کند. آنها شامل یک چرخه هتروکلینیک هستند . [4] انشعاب های هتروکلینیک دو نوع هستند: انشعاب های رزونانسی و انشعاب های عرضی. هر دو نوع انشعاب منجر به تغییر پایداری چرخه هتروکلینیک می شود. در یک انشعاب رزونانس، زمانی که یک شرط جبری بر روی مقادیر ویژه تعادل در چرخه برآورده شود ، ثبات چرخه تغییر می کند . این معمولاً با تولد یا مرگ یک مدار دوره ای همراه است. انشعاب عرضی یک چرخه هتروکلینیک زمانی ایجاد می شود که بخش واقعی یک مقدار ویژه عرضی یکی از تعادل های چرخه از صفر عبور کند. این همچنین باعث تغییر در ثبات چرخه هتروکلینیک می شود.
  • انشعاب دوره بی نهایت که در آن یک گره پایدار و نقطه زینی به طور همزمان در یک چرخه حدی رخ می دهد. [5] همانطور که حد یک پارامتر به یک مقدار بحرانی خاص نزدیک می شود، سرعت نوسان کاهش می یابد و دوره به بی نهایت نزدیک می شود. انشعاب دوره بی نهایت در این مقدار بحرانی رخ می دهد. فراتر از مقدار بحرانی، دو نقطه ثابت به طور پیوسته از یکدیگر در چرخه حد خارج می شوند تا نوسان را مختل کنند و دو نقطه زینی را تشکیل دهند .
  • فاجعه آسمان آبی که در آن یک چرخه حدی با یک چرخه غیرهایپربولیک برخورد می کند.

دوشاخه‌های جهانی همچنین می‌توانند مجموعه‌های پیچیده‌تری مانند جاذبه‌های بی‌نظم (مثلاً بحران ) را شامل شوند.

هم اندازه یک انشعاب [ ویرایش ]

هم بعد یک انشعاب تعداد پارامترهایی است که باید تغییر کنند تا انشعاب اتفاق بیفتد. این مربوط به همدین مجموعه پارامترهایی است که برای آن دوشاخه در فضای کامل پارامترها رخ می دهد. انشعاب‌های گره زینی و انشعاب‌های Hopf تنها انشعاب‌های محلی عمومی هستند که واقعاً هم‌بعدی-یک هستند (بقیه هم‌بعد همگانی بالاتری دارند). با این حال، انشعاب‌های متقابل و چنگال نیز اغلب به‌عنوان هم‌بعد-یک در نظر گرفته می‌شوند، زیرا فرم‌های عادی را می‌توان تنها با یک پارامتر نوشت.

نمونه‌ای از یک انشعاب دو بعدی که به خوبی مطالعه شده است، انشعاب بوگدانوف-تاکنس است.

کاربردها در فیزیک نیمه کلاسیک و کوانتومی [ ویرایش ]

نظریه انشعاب برای اتصال سیستم‌های کوانتومی به دینامیک مشابه‌های کلاسیک آن‌ها در سیستم‌های اتمی، [6] [7] [8] سیستم‌های مولکولی، [9] و دیودهای تونلی تشدید استفاده شده است. [10] نظریه انشعاب همچنین برای مطالعه دینامیک لیزر [11] و تعدادی از مثال‌های نظری که دسترسی به آنها از نظر تجربی دشوار است، مانند چاه‌های کوانتومی جفت شده [12] و چاه‌های کوانتومی استفاده شده است. [13] دلیل غالب پیوند بین سیستم‌های کوانتومی و دوشاخه‌ها در معادلات حرکت کلاسیک این است که در انشعاب‌ها، امضای مدارهای کلاسیک بزرگ می‌شود.مارتین گوتسویلر در کار کلاسیک خود [14] در مورد آشوب کوانتومی اشاره می کند . [15] بسیاری از انواع انشعاب ها با توجه به پیوندهای بین دینامیک کلاسیک و کوانتومی از جمله انشعاب های گره زینی، انشعاب های Hopf، انشعاب های ناف، انشعاب های دو برابر شدن دوره، انشعاب های اتصال مجدد، انشعاب های مماس، و انشعاب های کاسپ مورد مطالعه قرار گرفته اند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory