3-فرمالیسم های چرخشی در سه بعدی

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه چهاردهم بهمن ۱۴۰۱ | 8:42

بردار رودریگز [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: فرمول چرخش رودریگز

بردار رودریگز ( گاهی اوقات بردار گیبس نامیده می شود ، با مختصاتی به نام پارامترهای رودریگز ) [3] [4] را می توان بر حسب محور و زاویه چرخش به صورت زیر بیان کرد:

$\mathbf {g} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{2}}$

این نمایش یک آنالوگ با ابعاد بالاتر از طرح گنومونیک است که ربع‌های واحد را از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی نگاشت می‌کند.

این یک ناپیوستگی در 180 درجه ( رادیان π ) دارد: همانطور که هر بردار چرخشی r به زاویه ای از رادیان π تمایل دارد، مماس آن به بی نهایت میل می کند.

یک چرخش g به دنبال چرخش f در نمایش رودریگز شکل ترکیب چرخشی ساده دارد.

$(\mathbf {g} ,\mathbf {f} )={\frac {\mathbf {g} +\mathbf {f} -\mathbf {f} \times \mathbf {g} }{1-\ mathbf {g} \cdot \mathbf {f} }}\,.$

امروزه، ساده ترین راه برای اثبات این فرمول در نمایش دوگانه (وفادار) است ، که در آن g = n̂ tan a و غیره.

ویژگی‌های ترکیبی مشتق ماتریس پائولی که ذکر شد نیز با مشتق کواترنیونی معادل زیر یکسان است. یک کواترنیون مرتبط با چرخش فضایی R به صورت زیر بسازید،

$S=\cos {\frac {\phi }{2}}+\sin {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} .$ سپس ترکیب چرخش R B با R A ، چرخش R C = R B R A است، با محور چرخش و زاویه که توسط حاصل ضرب ربع‌ها تعریف می‌شود.

$A=\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} \quad {\text{and}}\quad B= \cos {\frac {\beta }{2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B}،$ به این معنا که

$C=\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta } {2}}+\sin {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} \right)\left(\cos {\frac {\alpha }{2}}+\sin {\frac {\ آلفا {2}}\mathbf {A} \right).$

این ضرب کواترنیون را گسترش دهید

$\cos {\frac {\gamma }{2}}+\sin {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} =\left(\cos {\frac {\beta }{2 }}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \ mathbf {A} \right)+\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} +\sin {\frac {\ alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\mathbf {A} +\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2} }\mathbf {B} \times \mathbf {A} \راست).$

دو طرف این معادله را بر همانی ضربی از معادله قبلی تقسیم کنید،

$\cos {\frac {\gamma }{2}}=\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}-\sin {\frac { \beta }{2}}\sin {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} ,$ و ارزیابی کنید

$\tan {\frac {\gamma }{2}}\mathbf {C} ={\frac {\tan {\frac {\beta }{2}}\mathbf {B} +\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {A} +\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \times \mathbf { A} }{1-\tan {\frac {\beta }{2}}\tan {\frac {\alpha }{2}}\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }}.$

این فرمول رودریگز برای محور چرخش مرکب است که بر حسب محورهای چرخش دو جزء تعریف شده است. او این فرمول را در سال 1840 استخراج کرد (به صفحه 408 مراجعه کنید). [3] سه محور چرخش A , B , C یک مثلث کروی را تشکیل می دهند و زوایای دو وجهی بین صفحاتی که توسط اضلاع این مثلث تشکیل شده اند با زوایای چرخش مشخص می شوند.

پارامترهای رودریگز اصلاح شده (MRPs) را می توان بر حسب محور و زاویه اویلر بیان کرد.

$\mathbf {p} ={\hat {\mathbf {e} }}\tan {\frac {\theta }{4}}\,.$ اجزای آن را می توان بر حسب اجزای یک کواترنیون واحد بیان کرد که نشان دهنده همان چرخش است.

$p_{x,y,z}={\frac {q_{i,j,k}}{1+q_{r}}}\,.$

بردار Rodrigues اصلاح شده یک ربع واحد نقشه برداری طرح ریزی استریوگرافی از یک کره 3 بر روی ابرصفحه بردار خالص 3 بعدی است. طرح ریزی کواترنیون مخالف -q منجر به یک بردار رودریگز اصلاح شده متفاوت می شودپس $\mathbf {p} ^{s}$ نسبت به طرح کواترنیون اصلی q . با مقایسه مولفه ها به آن می رسیم

$p_{x,y,z}^{s}={\frac {-q_{i,j,k}}{1-q_{r}}}={\frac {-p_{x,y ,z}}{\mathbf {p} ^{2}}}\,.$ قابل ذکر است، اگر یکی از این بردارها در داخل واحد 3 کره قرار داشته باشد، دیگری در خارج خواهد بود.

پارامترهای کیلی–کلاین [ ویرایش ]

به تعریف در Wolfram Mathworld مراجعه کنید .

آنالوگ های با ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: چرخش در فضای 4 بعدی اقلیدسی

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی