ریاضیات

استفاده از تانسورهای لوی- سویتا [ ویرایش ]

• در هر مبنای، ضرب خارجی با فرمول تانسوری داده می شودجایی کهتانسور کوواریانت لوی-سیویتا است (موقعیت شاخص ها را یادداشت می کنیم). که با فرمول ذاتی داده شده در اینجا مطابقت دارد .
• در یک پایه متعارف با جهت گیری یکسان با فضا ،با فرمول شبه تانسوری داده می شودجایی کهنماد لوی- سویتا است (که یک شبه تانسور است). این فرمولی است که برای فیزیک روزمره استفاده می شود، اما فقط برای این انتخاب خاص پایه کار می کند.
• در هر مبنای متعارف،با فرمول شبه تانسوری داده می شودجایی کهنشان می دهد که آیا اساس جهت گیری یکسان با فضا دارد یا خیر.

فرمول دوم از تغییر جهت فضا در هنگام معکوس کردن یک مبنای متعارف اجتناب می کند.

خواص [ ویرایش ]

معنی هندسی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: ضرب سه گانه

شکل 1. مساحت متوازی الاضلاع به عنوان بزرگی حاصلضرب خارجی

شکل 2. سه بردار که یک متوازی الاضلاع را تعریف می کنند

بزرگی حاصلضرب خارجی را می توان به عنوان ناحیه مثبت متوازی الاضلاع دارای اضلاع a و b تفسیر کرد ( شکل 1 را ببینید ) : [ 1 ]

در واقع، می‌توان حجم V یک متوازی الاضلاع با لبه‌های a ، b و c را با استفاده از ترکیبی از یک ضرب ضربدری و یک حاصل ضرب نقطه‌ای، که حاصل ضرب سه‌گانه اسکالار نامیده می‌شود، محاسبه کرد (شکل 2 را ببینید):

از آنجایی که نتیجه حاصل ضرب سه گانه اسکالر ممکن است منفی باشد، حجم متوازی الاضلاع با مقدار مطلق آن به دست می آید:

از آنجایی که بزرگی حاصلضرب خارجی بر حسب سینوس زاویه بین آرگومان‌های آن می‌رود، ضرب ضربدری را می‌توان به‌عنوان اندازه‌گیری عمودگرایی در نظر گرفت ، به همان صورت که حاصل ضرب نقطه‌ای معیاری برای موازی بودن است . با توجه به دو بردار واحد ، حاصل ضرب خارجی آنها دارای قدر 1 است اگر آن دو عمود باشند و قدر صفر اگر آن دو موازی باشند. حاصلضرب نقطه‌ای دو بردار واحد درست برعکس عمل می‌کند: زمانی که بردارهای واحد عمود باشند صفر و اگر بردارهای واحد موازی باشند 1 است.

بردارهای واحد دو اتحاد راحت را فعال می‌کنند: حاصل ضرب نقطه‌ای دو بردار واحد، کسینوس (که ممکن است مثبت یا منفی باشد) زاویه بین دو بردار واحد را به دست می‌دهد. بزرگی حاصلضرب خارجی دو بردار واحد سینوس را به دست می دهد (که همیشه مثبت خواهد بود).