رولت (منحنی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه نوزدهم بهمن ۱۴۰۲ | 6:19

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در هندسه دیفرانسیل منحنی ها ، رولت نوعی منحنی است که سیکلوئیدها ، اپی سیکلوئیدها ، هیپوسیکلوئیدها ، تروکوئیدها ، اپی تروکوئیدها ، هیپوتروکوئیدها و در پیچ ها را تعمیم می دهد .

تعریف [ ویرایش ]

تعریف غیر رسمی [ ویرایش ]

یک سهمی سبز در امتداد یک سهمی آبی مساوی می چرخد که ثابت می ماند. ژنراتور راس سهمی نورد است و رولت را که با رنگ قرمز نشان داده شده است، توصیف می کند. در این مورد رولت سیسوئید دیوکلس است . [1]

به طور کلی، رولت منحنی است که توسط یک نقطه (به نام ژنراتور یا قطب ) که به یک منحنی معین متصل است، توصیف می شود، زیرا آن منحنی بدون لغزش، در امتداد یک منحنی معین دوم که ثابت است، می چرخد. به طور دقیق تر، با توجه به یک منحنی متصل به صفحه ای که در حال حرکت است، به طوری که منحنی بدون لغزش، در امتداد یک منحنی معین متصل به صفحه ثابتی که همان فضا را اشغال می کند، می غلتد، سپس یک نقطه متصل به صفحه متحرک یک منحنی را توصیف می کند. هواپیمای ثابت به نام رولت.

موارد خاص و مفاهیم مرتبط [ ویرایش ]

در حالتی که منحنی نورد یک خط و مولد نقطه ای از خط باشد، رولت را یک پیچ منحنی ثابت می نامند . اگر منحنی نورد یک دایره و منحنی ثابت یک خط باشد، رولت یک تروکوئید است . اگر در این مورد، نقطه روی دایره باشد، رولت یک سیکلوئید است .

یک مفهوم مرتبط یک glissette است ، منحنی که توسط یک نقطه متصل به یک منحنی معین که در امتداد دو (یا بیشتر) منحنی می‌لغزد توصیف می‌شود.

تعریف رسمی [ ویرایش ]

به طور رسمی، منحنی ها باید منحنی های قابل تمایز در صفحه اقلیدسی باشند . منحنی ثابت ثابت نگه داشته می شود. منحنی غلتشی تحت یک تبدیل همخوانی پیوسته قرار می گیرد به طوری که در همه زمان ها منحنی ها در نقطه تماس مماس هستند که وقتی در امتداد هر منحنی گرفته می شود با همان سرعت حرکت می کند (روش دیگری برای بیان این محدودیت این است که نقطه تماس دو منحنی مرکز آنی چرخش تبدیل همخوانی است). رولت به دست آمده توسط مکان ژنراتور که در معرض همان مجموعه ای از تبدیل های همخوانی قرار دارد، تشکیل می شود.

مدل سازی منحنی های اصلی به عنوان منحنی در صفحه مختلط ، اجازه دهید $r,f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ دو پارامتر طبیعی نورد باشد $r$ و ثابت $f$ منحنی ها، به گونه ای که $r(0)=f(0)$ ، $r'(0)=f'(0)$ ، و $|r'(t)|=|f'(t)|\neq 0$ برای همه $t$ . رولت مولد $p\in \mathbb {C}$ مانند $r$ رول شده است $f$ سپس توسط نگاشت داده می شود:

$t\mapsto f(t)+(pr(t)){f'(t) \over r'(t)}.$

کلیات [ ویرایش ]

اگر به جای اینکه یک نقطه به منحنی نورد متصل شود، منحنی داده شده دیگری در امتداد صفحه متحرک حمل شود، خانواده ای از منحنی های متجانس تولید می شود. ممکن است به پاکت این خانواده رولت نیز گفته شود.

مطمئناً می توان رولت ها را در فضاهای بالاتر تصور کرد، اما فرد باید بیش از فقط مماس ها را تراز کند.

مثال [ ویرایش ]

اگر منحنی ثابت یک خطی و منحنی غلتشی یک خط باشد ، داریم:

$f(t)=t+i(\cosh(t)-1)\qquad r(t)=\sinh(t)$

$f'(t)=1+i\sinh(t)\qquad r'(t)=\cosh(t).$

پارامترسازی خط به گونه ای انتخاب می شود که

$|f'(t)|={\sqrt {1^{2}+\sinh ^{2}(t)}}={\sqrt {\cosh ^{2}(t)}}=| r'(t)|.$

با استفاده از فرمول بالا به دست می آوریم:

$f(t)+(pr(t)){f'(t) \over r'(t)}=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t )) \over \cosh(t)}=t-i+(p+i){1+i\sinh(t) \over \cosh(t)}.$

اگر p = − i عبارت دارای یک بخش خیالی ثابت (یعنی − i ) باشد و رولت یک خط افقی است. یک کاربرد جالب این است که یک چرخ مربعی می‌تواند بدون جهش در جاده‌ای بچرخد که مجموعه‌ای از کمان‌های زنجیره‌ای همسان است.

لیست رولت ها [ ویرایش ]

منحنی ثابت	منحنی نورد	نقطه تولید	رولت
هر منحنی	خط	روی خط اشاره کنید	در هم پیچیدن منحنی
خط	هر	هر	سیکلوگون
خط	دایره	هر	تروکوئید
خط	دایره	روی دایره اشاره کنید	سیکلوئید
خط	بخش مخروطی	مرکز مخروطی	رولت استورم [2]
خط	بخش مخروطی	تمرکز مخروطی	رولت دلونی [3]
خط	سهمی	تمرکز سهمی	کاتناری [4]
خط	بیضی	تمرکز بیضی	طناب بیضوی [4]
خط	هذلولی	تمرکز هذلولی	کاتناری هیپربولیک [4]
خط	هذلولی	مرکز هذلولی	الاستیک مستطیلی [2] [ تأیید ناموفق ]
خط	سیکلوسیکلوید	مرکز	بیضی [5]
دایره	دایره	هر	تروکوئید مرکزی [6]
خارج از دایره	دایره	هر	اپی تروکوئید
خارج از دایره	دایره	روی دایره اشاره کنید	اپی سیکلوئید
خارج از دایره	دایره ای با شعاع یکسان	هر	لیماسون
خارج از دایره	دایره ای با شعاع یکسان	روی دایره اشاره کنید	کاردیوئید
خارج از دایره	دایره نصف شعاع	روی دایره اشاره کنید	نفروئید
داخل یک دایره	دایره	هر	هیپوتروکوئید
داخل یک دایره	دایره	روی دایره اشاره کنید	هیپوسیکلوئید
داخل یک دایره	دایره یک سوم شعاع	روی دایره اشاره کنید	دلتوئید
داخل یک دایره	دایره یک چهارم شعاع	روی دایره اشاره کنید	آستروئید
سهمی	سهمی برابر با پارامتر در جهت مخالف	راس سهمی	سیسوئید دیوکلس [1]
کاتناری	خط	مثال بالا را ببینید	خط

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

منابع [ ویرایش ]

WH Besant (1890) یادداشت‌هایی درباره رولت‌ها و گلیست‌ها از مونوگراف‌های ریاضی تاریخی دانشگاه کرنل ، که در ابتدا توسط Deighton, Bell & Co منتشر شد.
وایستاین، اریک دبلیو. "رولت" . دنیای ریاضی .

ادامه مطلب [ ویرایش ]

رولت در 2dcurves.com
Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan (به فرانسوی)
Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen (به آلمانی)

https://en.wikipedia.org/wiki/Roulette_(curve)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی