​

نفروید: تعریف

در هندسه ، نفروئید (از یونانی باستان ὁ νεφρός (ho nephros) « کلیه‌شکل ») یک منحنی صفحه مشخص است . این نوعی اپی سیکلوئید است که در آن شعاع دایره کوچکتر با دایره بزرگتر یک دوم تفاوت دارد.

نام [ ویرایش ]

اگرچه اصطلاح نفروید برای توصیف منحنی های دیگر استفاده می شد، اما در این مقاله توسط ریچارد A. Proctor در سال 1878 به منحنی استفاده شد .

تعریف دقیق [ ویرایش ]

نفروئید است

  • منحنی جبری درجه 6 .
  • یک اپی سیکلوئید با دو کاسپ
  • صفحه منحنی بسته ساده = منحنی جردن

معادلات [ ویرایش ]

تولید نفروئید توسط یک دایره غلتان

پارامتریک [ ویرایش ]

اگر دایره کوچک شعاع داشته باشد{\displaystyle a}، دایره ثابت نقطه وسط دارد{\displaystyle (0,0)}و شعاع {\displaystyle 2a}، زاویه چرخش دایره کوچک است{\displaystyle 2\varphi }و اشاره کنید{\displaystyle (2a,0)}نقطه شروع (نمودار را ببینید) سپس نمایش پارامتری را دریافت می کنید :

{\displaystyle x(\varphi )=3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi =6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}

{\displaystyle y(\varphi )=3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi =4a\sin ^{3}\varphi \ ,\qquad 0\leq \varphi <2\pi }

نقشه پیچیده{\displaystyle z\to z^{3}+3z}دایره واحد را به نفروئید ترسیم می کند [3]

اثبات نمایش پارامتریک [ ویرایش ]

اثبات نمایش پارامتری به راحتی با استفاده از اعداد مختلط و نمایش آنها به عنوان صفحه مختلط انجام می شود . حرکت دایره کوچک را می توان به دو چرخش تقسیم کرد. در صفحه مختلط چرخش یک نقطه{\displaystyle z}اطراف نقطه{\displaystyle 0}(منشا) با یک زاویه{\displaystyle \varphi }را می توان با ضرب نقطه انجام داد{\displaystyle z}(عدد مختلط) توسط{\displaystyle e^{i\varphi }}. از این رو

چرخش{\displaystyle \Phi _{3}}اطراف نقطه{\displaystyle 3a}توسط زاویه{\displaystyle 2\varphi }است:{\displaystyle :z\mapsto 3a+(z-3a)e^{i2\varphi }}،

چرخش{\displaystyle \Phi _{0}}اطراف نقطه{\displaystyle 0}توسط زاویه{\displaystyle \varphi }است:{\displaystyle :\quad z\mapsto ze^{i\varphi }}.

یک نقطه{\displaystyle p(\varphi )}نفروئید توسط چرخش نقطه ایجاد می شود2آ{\displaystyle 2a}توسط {\displaystyle \Phi _{3}}و چرخش بعدی با{\displaystyle \Phi _{0}}:

{\displaystyle p(\varphi )=\Phi _{0}(\Phi _{3}(2a))=\Phi _{0}(3a-ae^{i2\varphi })=(3a-ae^ {i2\varphi })e^{i\varphi }=3ae^{i\varphi }-ae^{i3\varphi }}.

از اینجا یکی می شود

{\displaystyle {\begin{array}{cclcccc}x(\varphi )&=&3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi &=&6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ , &&\\y(\varphi )&=&3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi &=&4a\sin ^{3}\varphi &.&\end{آرایه}}}

{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\ \cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi =1,\ \cos 3\varphi = 4\cos ^{3}\varphi -3\cos \varphi ,\;\sin 3\varphi =3\sin \varphi -4\sin ^{3}\varphi }استفاده شده. توابع مثلثاتی را ببینید .)

ضمنی [ ویرایش ]

درج کردن {\displaystyle x(\varphi )}و{\displaystyle y(\varphi )}به معادله

  • {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}

نشان می دهد که این معادله یک نمایش ضمنی از منحنی است.

اثبات نمایش ضمنی [ ویرایش ]

با

{\displaystyle x^{2}+y^{2}-4a^{2}=(3a\cos \varphi -a\cos 3\varphi )^{2}+(3a\sin \varphi -a\sin 3\varphi )^{2}-4a^{2}=\cdots =6a^{2}(1-\cos 2\varphi )=12a^{2}\sin ^{2}\varphi }

یکی می گیرد

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=(12a^{2})^{3}\sin ^{6}\varphi =108a^{ 4}(4a\sin ^{3}\varphi )^{2}=108a^{4}y^{2}\ .}

جهت گیری [ ویرایش ]

اگر کاسپ ها روی محور y باشند، نمایش پارامتریک است

{\displaystyle x=3a\cos \varphi +a\cos 3\varphi ,\quad y=3a\sin \varphi +a\sin 3\varphi).}

و ضمنی:

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}x^{2}.}

خواص متریک [ ویرایش ]

برای نفروئید بالای

  • طول قوس است،{\displaystyle L=24a،}
  • مساحت {\displaystyle A=12\pi a^{2}\ }و
  • شعاع انحنا است.{\displaystyle \rho =|3a\sin \varphi |.}

اثبات این عبارات از فرمول های مناسب بر روی منحنی ها ( طول قوس ، مساحت و شعاع انحنا ) و نمایش پارامتری بالا استفاده می کند.

{\displaystyle x(\varphi )=6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \ ,}

{\displaystyle y(\varphi )=4a\sin ^{3}\varphi }

و مشتقات آنها

{\displaystyle {\dot {x}}=-6a\sin \varphi (1-2\cos ^{2}\varphi )\ ,\quad \ {\ddot {x}}=-6a\cos \varphi ( 5-6\cos ^{2}\varphi )\ ,}

{\displaystyle {\dot {y}}=12a\sin ^{2}\varphi \cos \varphi \quad ,\quad \quad \quad \quad {\ddot {y}}=12a\sin \varphi (3 \cos ^{2}\varphi -1)\ .}

اثبات طول قوس

{\displaystyle L=2\int _{0}^{\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\;d\ varphi =\cdots =12a\int _{0}^{\pi }\sin \varphi \;d\varphi =24a}.

اثبات برای منطقه

{\displaystyle A=2\cdot {\tfrac {1}{2}}|\int _{0}^{\pi [x{\dot {y}}-y{\dot {x}}]\ ;d\varphi |=\cdots =24a^{2}\int _{0}^{\pi }\sin ^{2}\varphi \;d\varphi =12\pi a^{2}}.

اثبات شعاع انحنا

{\displaystyle \rho =\left|{\frac {\left({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}\right)^{\frac {3 {2}}}{{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}}\right|=\cdots =|3a\sin \ varphi |.}

نفروئید به عنوان پاکت مداد دایره ای

ساخت و ساز [ ویرایش ]

  • می توان آن را با چرخاندن یک دایره با شعاع تولید کردآ{\displaystyle a}در خارج از یک دایره ثابت با شعاع{\displaystyle 2a}. از این رو، نفروئید یک اپی سیکلوئید است .

نفروید به عنوان پاکت مداد دایره ای [ ویرایش ]

  • بگذار باشد{\displaystyle c_{0}}یک دایره و{\displaystyle D_{1},D_{2}}نقاط یک قطرد12{\displaystyle d_{12}}، سپس پاکت مداد دایره ای که نقاط میانی روی آنها قرار دارد{\displaystyle c_{0}}و لمس می کنندد12{\displaystyle d_{12}}یک نفروئید با کاسپ است{\displaystyle D_{1},D_{2}}.

اثبات [ ویرایش ]

اجازه دهید{\displaystyle c_{0}}دایره باشد{\displaystyle (2a\cos \varphi,2a\sin \varphi)}با نقطه میانی{\displaystyle (0,0)}و شعاع{\displaystyle 2a}. قطر ممکن است روی محور x قرار گیرد (نمودار را ببینید). مداد دایره معادلاتی دارد:

{\displaystyle f(x,y,\varphi )=(x-2a\cos \varphi )^{2}+(y-2a\sin \varphi )^{2}-(2a\sin \varphi )^{ 2}=0\ .}

شرایط پاکت است

{\displaystyle f_{\varphi }(x,y,\varphi )=2a(x\sin \varphi -y\cos \varphi -2a\cos \varphi \sin \varphi )=0\ .}

به راحتی می توان نقطه نفروئید را بررسی کرد{\displaystyle p(\varphi )=(6a\cos \varphi -4a\cos ^{3}\varphi \;,\;4a\sin ^{3}\varphi )}راه حل سیستم است{\displaystyle f(x,y,\varphi )=0,\;f_{\varphi }(x,y,\varphi )=0}و از این رو یک نقطه از پاکت مداد دایره.

نفروئید به عنوان پاکت مداد خطوط [ ویرایش ]

نفروید: مماس به عنوان وترهای دایره، اصل

نفروید: مماس به صورت وترهای یک دایره

مشابه با تولید یک کاردیوئید به عنوان پاکت یک مداد از خطوط، روش زیر انجام می شود:

  1. یک دایره بکشید، محیط آن را به قسمت های مساوی تقسیم کنید{\displaystyle 3N}نقاط (نمودار را ببینید) و آنها را به طور متوالی شماره گذاری کنید.
  2. آکوردها را بکشید:{\ نمایش سبک (1،3)، (2،6)،....، (n،3n)،....،(N،3N)، (N+1،3)، (N+2، 6) ....،}. (یعنی: نقطه دوم با سرعت سه برابر حرکت می کند.)
  3. پاکت این آکوردها نفروئید است.

اثبات [ ویرایش ]

در نظر زیر از فرمول های مثلثاتی استفاده می شود{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta ,\ \sin \alpha +\sin \beta ,\ \cos(\alpha +\beta),\ \cos 2\alpha }. به منظور ساده نگه داشتن محاسبات، اثبات برای نفروئید با کاسپ در محور y ارائه شده است. معادله مماس : برای نفروئید با نمایش پارامتریک

{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\;y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi }:

از اینجا یکی بردار نرمال را تعیین می کند{\displaystyle {\vec {n}}=({\dot {y}},-{\dot {x}})^{T}}، در ابتدا.
معادله مماس{\displaystyle {\dot {y}}(\varphi )\cdot (xx(\varphi ))-{\dot {x}}(\varphi )\cdot (yy(\varphi ))=0}است:

{\displaystyle (\cos 2\varphi \cdot x\ +\ \sin 2\varphi \cdot y)\cos \varphi =4\cos ^{2}\varphi \ .}

برای{\displaystyle \varphi ={\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}فرد به کاسپ نفروئید می رسد، جایی که هیچ تانژانتی وجود ندارد. برای {\displaystyle \varphi \neq {\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}}می توان تقسیم بر{\displaystyle \cos \varphi }بدست آوردن

  • {\displaystyle \cos 2\varphi \cdot x+\sin 2\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ .}

معادله وتر : به دایره با نقطه وسط{\displaystyle (0,0)}و شعاع4{\displaystyle 4}: معادله وتر حاوی دو نقطه{\displaystyle (4\cos \theta,4\sin \theta),\ (4\cos {\color {red}3}\theta ,4\sin {\color {red}3}\theta ))}است:

{\displaystyle (\cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y)\sin \theta =4\cos \theta \sin \theta \ .}

برای{\displaystyle \theta =0,\pi }آکورد تا حدی منحط می شود. برای{\displaystyle \theta \neq 0,\pi }می توان تقسیم بر{\displaystyle \sin \theta }و معادله وتر را بدست می آورد:

  • {\displaystyle \cos 2\theta \cdot x+\sin 2\theta \cdot y=4\cos \theta \ .}

دو زاویه،{\displaystyle \varphi،\theta }متفاوت تعریف شده اند {\displaystyle \varphi }نیمی از زاویه چرخش است،{\displaystyle \تتا }پارامتر دایره ای است که آکوردهای آن مشخص می شود)، برای={\displaystyle \varphi =\theta }یکی همین خط را می گیرد. از این رو هر وتر از دایره بالا مماس بر نفروئید و است

  • نفروید پوشش آکوردهای دایره است.

نفروئید به عنوان سوزاننده یک نیمه دایره[ ویرایش ]

نفروئید به عنوان سوزاننده دایره: اصل

نفروید به عنوان سوزاننده یک نیمه دایره

ملاحظاتی که در بخش قبل بیان شد، دلیلی بر این واقعیت است که کاستیک نیمی از دایره نفروئید است.

  • اگر در صفحه، پرتوهای نور موازی با نیمی از یک دایره بازتابی برخورد کنند (نمودار را ببینید)، آنگاه پرتوهای بازتاب شده مماس بر نفروئید هستند.

اثبات [ ویرایش ]

دایره ممکن است مبدأ به عنوان نقطه میانی (مانند بخش قبل) و شعاع آن باشد{\displaystyle 4}. دایره دارای نمایش پارامتریک است

{\displaystyle k(\varphi)=4(\cos \varphi,\sin \varphi)\.}

مماس در نقطه دایرهک: {\displaystyle K:\ k(\varphi )}دارای وکتور نرمال {\displaystyle {\vec {n}}_{t}=(\cos \varphi ,\sin \varphi )^{T}}. پرتو منعکس شده دارای بردار نرمال است (نمودار را ببینید{\displaystyle {\vec {n}}_{r}=(\cos {\color {red}2}\varphi ,\sin {\color {red}2}\varphi )^{T}}و حاوی نقطه دایره است {\displaystyle K:\ 4(\cos \varphi ,\sin \varphi )}. بنابراین پرتو منعکس شده بخشی از خط معادله است

{\displaystyle \cos {\color {red}2}\varphi \cdot x\ +\ \sin {\color {red}2}\varphi \cdot y=4\cos \varphi \ ,}

که در نقطه مماس بر نفروئید قسمت قبل است

{\displaystyle P:\ (3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,3\sin \varphi +\sin 3\varphi )}(بالا را ببین).

سوزاننده نفروئید در انتهای فنجان چای

تکامل و تکامل یک نفروئید [ ویرایش ]

نفروید و
سرخابی تکامل یافته آن: نقطه ای با دایره منقبض و مرکز انحنا

تکامل [ ویرایش ]

تکامل یک منحنی محل مراکز انحنا است. در جزئیات: برای یک منحنی {\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(ها)}با شعاع انحنا{\displaystyle \rho (s)}تکامل نشان می دهد

{\displaystyle {\vec {x}}={\vec {c}}(s)+\rho (s){\vec {n}}(s).}

با{\displaystyle {\vec {n}}(ها)}واحد مناسب جهت گیری معمولی است.

برای نفروئید فرد دریافت می کند:

  • تکامل یک نفروئید نفروئید دیگری به اندازه نیمی است که 9 درجه چرخیده است (نمودار را ببینید) .

اثبات [ ویرایش ]

نفروئید همانطور که در تصویر نشان داده شده است دارای نمایش پارامتریک است

{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi ,\quad y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi \ ,}

بردار نرمال واحد که به مرکز انحنا اشاره دارد

{\displaystyle {\vec {n}}(\varphi )=(-\cos 2\varphi ,-\sin 2\varphi )^{T}}(به بخش بالا مراجعه کنید)

و شعاع انحنا{\displaystyle 3\cos \varphi }(س. بخش خصوصیات متریک). از این رو تکامل دارای این نمایش است:

{\displaystyle x=3\cos \varphi +\cos 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \cos 2\varphi =\cdots =3\cos \varphi -2\cos ^{3}\varphi ,}

{\displaystyle y=3\sin \varphi +\sin 3\varphi -3\cos \varphi \cdot \sin 2\varphi \ =\cdots =2\sin ^{3}\varphi \ ,}

که یک نفروئید به اندازه نصف بزرگ است و 9 درجه چرخیده است (نمودار و بخش § معادلات بالا را ببینید)

درگیر [ ویرایش ]

از آنجا که فرگشت نفروئید نفروئید دیگری است، مجروح شدن نفروئید نیز نفروئید دیگری است. نفرویید اصلی در تصویر، انفروید نفروئید کوچکتر است.

وارونگی (سبز) نفروئید (قرمز) در سراسر دایره آبی

وارونگی نفروئید [ ویرایش ]

وارونگی _

{\displaystyle x\mapsto {\frac {4a^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y\mapsto {\frac {4a^{2}y}{x ^{2}+y^{2}}}}

در سراسر دایره با نقطه وسط{\displaystyle (0,0)}و شعاع2آ{\displaystyle 2a}نفروئید را با معادله ترسیم می کند

{\displaystyle (x^{2}+y^{2}-4a^{2})^{3}=108a^{4}y^{2}}

روی منحنی درجه 6 با معادله

{\displaystyle (4a^{2}-(x^{2}+y^{2}))^{3}=27a^{2}(x^{2}+y^{2})y^{ 2}}(نمودار را ببینید).

نفروئید در زندگی روزمره: سوزاننده بازتاب نور از داخل یک استوانه.

منابع [ ویرایش ]

  1. ↑ وایستاین، اریک دبلیو. "نفروید" . دنیای ریاضی .
  2. ↑ «نفروید» . تاریخ ریاضی . بازیابی شده در 222-8-12 .
  3. ^ مستندات ریاضی اشیاء محقق شده در برنامه تجسم 3D-XplorMath
  • Arganbright, D., Practical Handbook of Spreadsheet Curves and Geometric Constructions , CRC Press, 1939, ISBN -8493-8938- , p. 54.
  • Borceux, F., A Differential Approach to Geometry: Geometric Trilogy III , Springer, 214, ISBN 978-3-319-1735-8 , p. 148.
  • Lockwood, EH, A Book of Curves, Cambridge University Press, 1961, ISBN 978--521--5585-7 , p. 7.

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

در ویکی‌انبار رسانه‌های مربوط به نفروید وجود دارد .

  • دنیای ریاضی: نفروئید
  • Xahlee: نفروئید

https://en.wikipedia.org/wiki/Nephroid

​