مثلث کالابی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه پانزدهم بهمن ۱۴۰۲ | 1:11

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مثلث Calabi یک مثلث خاص است که توسط Eugenio Calabi یافت شده و با ویژگی آن در داشتن سه مکان مختلف برای بزرگترین مربعی که در آن قرار دارد تعریف شده است. [1] این مثلث متساوی الساقین است که دارای نسبت غیرمنطقی اما جبری بین طول اضلاع و قاعده آن است . [2]

تعریف [ ویرایش ]

بزرگترین مربعی را که می توان در یک مثلث دلخواه قرار داد را در نظر بگیرید. ممکن است چنین مربعی به بیش از یک حالت در مثلث قرار گیرد. اگر بتوان بزرگترین چنین مربعی را به سه صورت مختلف قرار داد، آنگاه مثلث یا مثلث متساوی الاضلاع است یا مثلث کالابی. [3] [4] بنابراین، مثلث کالابی ممکن است به عنوان مثلثی تعریف شود که متساوی الاضلاع نیست و دارای سه مکان برای بزرگترین مربع خود است.

شکل [ ویرایش ]

مثلث △ ABC متساوی الساقین است که طول اضلاع آن برابر با AB = AC است . اگر نسبت پایه به هر دو پایه x باشد ، می توانیم AB = AC = 1، BC = x را تنظیم کنیم . سپس می توانیم سه مورد زیر را در نظر بگیریم:

مورد 1) △ ABC مثلث حاد است

شرط این است $0<x<{\sqrt {2}}$ .

در این حالت x = 1 برای مثلث متساوی الاضلاع معتبر است .

مورد 2) △ ABC مثلث قائم الزاویه است

شرط این است $x={\sqrt {2}}$ .

در این مورد هیچ ارزشی معتبر نیست.

مورد 3) △ ABC مثلث منفرد است

شرط این است ${\sqrt {2}}<x<2$ .

در این مورد مثلث Calabi برای مقدار x معتبر است $2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0$ .

نشان می دهد

نمونه پاسخ

ریشه معادله کالابی [ ویرایش ]

اگر x بزرگترین ریشه مثبت معادله کالابی باشد:

$2x^{3}-2x^{2}-3x+2=0,{\sqrt {2}}<x<2$

می توانیم مقدار x را با روش های زیر محاسبه کنیم.

روش نیوتن [ ویرایش ]

ما می توانیم تابع f : ℝ → ℝ را به صورت زیر تنظیم کنیم:

${\begin{aligned}f(x)&=2x^{3}-2x^{2}-3x+2,\\f'(x)&=6x^{2}-4x-3= 6{\bigg (}x-{\frac {1}{3}}{\bigg )}^{2}-{\frac {11}{3}}.\end{تراز شده}}$

تابع f پیوسته و قابل تمایز روی ℝ و است

${\begin{aligned}f({\sqrt {2}})&={\sqrt {2}}-2<0,\\f(2)&=4>0,\\f'( x)&>0،\forall x\in [{\sqrt {2}},2].\end{تراز شده}}$

سپس f تابع افزایشی یکنواخت است و با قضیه مقدار متوسط ، معادله Calabi f ( x ) = 0 در بازه باز جواب منحصر به فرد دارد. ${\sqrt {2}}<x<2$ .

مقدار x با روش نیوتن به صورت زیر محاسبه می شود :

${\begin{aligned}x_{0}&={\sqrt {2}},\\x_{n+1}&=x_{n}-{\frac {f(x_{n})} {f'(x_{n})}}={\frac {4x_{n}^{3}-2x_{n}^{2}-2}{6x_{n}^{2}-4x_{n} -3}}.\end{تراز شده}}$

روش کاردانو [ ویرایش ]

مقدار x را می توان با اعداد مختلط با استفاده از روش کاردانو بیان کرد :

$x={1 \over 3}{\Bigg (}1+{\sqrt[{3}]{-23+3i{\sqrt {237}} \over 4}}+{\sqrt[{3 }]{-23-3i{\sqrt {237}} \over 4}}{\Bigg )}.$ [3] [5] [a]

روش ویت [ ویرایش ]

مقدار x را نیز می توان بدون اعداد مختلط با استفاده از روش Viète بیان کرد :

${\begin{aligned}x&={1 \over 3}{\bigg (}1+{\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{ -1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}\\&=1.551387524548320392261952510264623038151 .\end{تراز شده}}$ [2]

روش لاگرانژ [ ویرایش ]

مقدار x با روش لاگرانژ نمایش کسری را به صورت زیر ادامه داده است : [1، 1، 1، 4، 2، 1، 2، 1، 5، 2، 1، 3، 1، 1، 390، ... ] =

1+11+11+14+12+11+12+11+15+12+11+13+11+11+1390+⋯ $1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+ {\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1 }{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{390+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}} }}}}}}}}}}$ . [3] [6] [7] [ب]

زاویه پایه و زاویه راس [ ویرایش ]

مثلث کالابی با زاویه قاعده θ و زاویه راس ψ به صورت زیر است:

${\begin{aligned}\theta &=\cos ^{-1}(x/2)\\&=39.13202614232587442003651601935656349795831966723206\ci\cdots ^\cdots 2006\cdots ^ \&=101.73594771534825115992696796128687300408336066553587\cdots ^{\circ }.\\\end{تراز شده}}$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

پاورقی ها [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ اگر شکل قطبی عدد مختلط را تنظیم کنیم، می توانیم مقدار x را به صورت زیر محاسبه کنیم:
${\begin{aligned}\alpha &=re^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )={\frac {-23+3i{\sqrt {237}} }{4}}،\\r&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-23)^{2}+9\cdot 237}}={\frac {1}{4}} {\sqrt {2\cdot 11^{3}}}={\Bigg (}{\sqrt {\frac {11}{2}}}{\Bigg )}^{3},\\\cos \varphi &=-{\frac {23}{4}}{\frac {1}{r}}=-{\frac {23\cdot 2{\sqrt {2}}}{4\cdot 11{\sqrt { 11}}}}=-{\frac {23}{11{\sqrt {22}}}}،\\{\sqrt[{3}]{\alpha }}&={\sqrt[{3}] {r}}e^{\frac {i\varphi }{3}}={\sqrt[{3}]{r}}{\Big (}\cos {\Big (}{\frac {\varphi } {3}}{\Big )}+i\sin {\Big (}{\frac {\varphi }{3}}{\Big )}{\Big )}،\\{\sqrt[{3}] {\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}&=2{\sqrt[{3}]{r}}\cos {\Big (}{\frac {\ varphi }{3}}{\Big )}={\sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (} \!-{23 \over 11{\sqrt {22}}}{\bigg )}{\bigg )},\\x&={\frac {1}{3}}{\bigg (}1+{\ sqrt[{3}]{\alpha }}+{\sqrt[{3}]{\bar {\alpha }}}{\bigg )}={1 \over 3}{\bigg (}1+{\ sqrt {22}}\cos \!{\bigg (}{1 \over 3}\cos ^{-1}\!\!{\bigg (}\!-{23 \over 11{\sqrt {22} }}{\bigg )}{\bigg )}{\bigg )}.\end{aligned}}$
سپس این روش کاردانو معادل روش ویته است .
^ اگر کسری ادامه یافته [ a 0 , a 1 , a 2 , ...] با اعداد h 1 , h 2 , ... و مخرج k 1 , k 2 , ... پیدا شود آنگاه رابطه بازگشتی مربوطه است.های گاوسی :
h n = a n h n − 1 + h n − 2 ,
k n = a n k n − 1 + k n − 2 .
همگراهای متوالی با فرمول داده می شوند
h n/k n=a n h n - 1 + h n - 2/a n k n - 1 + k n - 2.
اگر کسر ادامه دار باشد
[1، 1، 1، 4، 2، 1، 2، 1، 5، 2، 1، 3، 1، 1، 390، 1، 1، 2، 11، 6، 2، 1، 1، 56، 1 , 4, 3, 1, 1, 6, 9, 3, 2, 1, 8, 10, 9, 25, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 35, 1, 1, 1, 41 , 1, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 6, 2, 1, 4, 11, 1, 2, 2, 1 , 1, 6, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 7, 2, 2, 2, 36, 7, 22, 1, 2, 1, ...]، [ 8 ]
می توانیم تقریب منطقی x را به صورت زیر محاسبه کنیم:
مقدار اعداد h n و مخرج k n کسر ادامه دار نشان می دهد
تقریب منطقی x استh 95/k 95و یک کران خطا به صورت زیر است:
${\begin{aligned}x&\approx {\frac {h_{95}}{k_{95}}}\\&={\frac {10264770284430115358350493989796951584352149694} 4988866597070326335}}\\&=1.551387524548320392261952510264623815163591703803887199528007120124548320392261952510264623815163591703803887199528007120117548 03\cdots، \\\varepsilon &={\frac {1}{k_{95}(k_{95}+k_{94})}}\\&=1.82761\cdots E^{-91}.\end{تراز شده}}$

نقل قول ها [ ویرایش ]

↑ Calabi، Eugenio (3 نوامبر 1997). "طرح کلی اثبات در مورد مربع های متلاشی شده در مثلث" . بایگانی شده از نسخه اصلی در 12 دسامبر 2012 . بازبینی شده در 3 مه 2018 .
^پرش به بالا:ب استوارت 2004، ص. 15.
^پرش به بالا:وایستاین ، اریک دبلیو. " مثلث کالابی" . دنیای ریاضی .
^ کانوی، جی اچ . گای، RK (1996). "مثلث کالابی" . کتاب اعداد . نیویورک: Springer-Verlag. پ. 206.
^ استوارت 2004 ، صفحات 7-10.
↑ ژوزف لوئیس، لاگرانژ (1769)، "تصویر حل معادلات اعداد" ، خاطرات آکادمی سلطنتی علوم و نامه‌های زیبای برلین ، 23- Œuvres II، ص539-578.
↑ جوزف-لوئیس، لاگرانژ (1770)، "افزودن خاطرات در حل معادلات اعداد" ، خاطرات آکادمی سلطنتی علوم و نامه‌های زیبای برلین ، 24- Œuvres II, p.581-652.
^ (توالی A046096 در OEIS )

منابع [ ویرایش ]

استوارت، ایان (2004)، نظریه گالوا (ویرایش سوم)، چپمن و هال/CRC، شابک 978-1-58488-393-7- تئوری گالوا اشتباه .

پیوندهای خارجی [ ویرایش ]

وایستاین، اریک دبلیو. "مثلث کالابی" . دنیای ریاضی .

دسته بندی :

انواع مثلث

https://en.wikipedia.org/wiki/Calabi_triangle

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی