منحنی دلتوئید

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هجدهم بهمن ۱۴۰۲ | 21:44

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

دایره بیرونی ثابت

دایره نورد (1/3 شعاع دایره بیرونی)

منحنی دلتوئید با ترسیم یک نقطه محیطی روی دایره نورد تشکیل شده است

در هندسه , منحنی دلتوئید که به عنوان منحنی سه لتی یا منحنی اشتاینر نیز شناخته می شود , یک هیپوسایکلوئید سه کاسپ است . به عبارت دیگر، رولتی است که توسط یک نقطه در محیط یک دایره ایجاد می شود که بدون لغزش در امتداد داخل دایره ای با شعاع سه یا یک و نیم برابر آن می چرخد . نام آن برگرفته از حرف بزرگ یونانی دلتا (Δ) است که شبیه آن است.

به طور گسترده‌تر، دلتوئید می‌تواند به هر شکل بسته‌ای اشاره کند که سه رأس آن با منحنی‌هایی که به بیرون مقعر هستند به هم متصل شده و نقاط داخلی را به مجموعه‌ای غیر محدب تبدیل می‌کند . [1]

معادلات [ ویرایش ]

یک هیپوسایکلوئید را می توان (تا چرخش و ترجمه ) با معادلات پارامتری زیر نشان داد

$x=(ba)\cos(t)+a\cos \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,$

$y=(ba)\sin(t)-a\sin \left({\frac {ba}{a}}t\right)\,,$

که در آن a شعاع دایره غلتشی است، b شعاع دایره ای است که دایره فوق الذکر در داخل آن می چرخد و t بین صفر تا 6 π است . (در تصویر بالا b = 3a ردیابی دلتوئید.)

در مختصات پیچیده این می شود

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}$ .

متغیر t را می توان از این معادلات حذف کرد تا معادله دکارتی به دست آید

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^ {3}-3xy^{2})،\,$

بنابراین دلتوئید یک منحنی جبری مسطح درجه چهار است. در مختصات قطبی این می شود

$r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.$

منحنی دارای سه تکینگی است که مربوط به آن است $t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$ . پارامترسازی بالا دلالت بر منطقی بودن منحنی دارد که به معنای داشتن جنس صفر است.

یک پاره خط می تواند با هر انتها روی دلتوئید بلغزد و مماس بر دلتوئید باقی بماند. نقطه مماس دو بار در اطراف دلتوئید حرکت می کند در حالی که هر انتها یک بار به دور آن می چرخد.

منحنی دوگانه دلتوئید است

$x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,$

که دارای یک نقطه دوتایی در مبدا است که می تواند برای ترسیم با یک چرخش خیالی y ↦ iy قابل مشاهده باشد و منحنی را نشان دهد.

$x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,$

با یک نقطه دوتایی در مبدا صفحه واقعی.

مساحت و محیط [ ویرایش ]

مساحت دلتوئید است $2\pi a^{2}$ که در آن دوباره a شعاع دایره نورد است. بنابراین مساحت دلتوئید دو برابر دایره غلتان است. [2]

محیط (طول کل قوس) دلتوئید 16 a است . [2]

تاریخچه [ ویرایش ]

سیکلوئیدهای معمولی در اوایل سال 1599 توسط گالیله گالیله و مارین مرسن مورد مطالعه قرار گرفتند، اما منحنی های سیکلوئیدی برای اولین بار توسط اوله رومر در سال 1674 در حالی که بهترین شکل دندانه های چرخ دنده را مطالعه می کردند، تصور شدند. لئونارد اویلر اولین بررسی دلتوئید واقعی را در سال 1745 در ارتباط با یک مشکل نوری مدعی می کند.

برنامه های کاربردی [ ویرایش ]

دلتوئیدها در چندین زمینه از ریاضیات به وجود می آیند. برای مثال:

مجموعه مقادیر ویژه پیچیده ماتریس های یکنواختی مرتبه سه یک دلتوئید را تشکیل می دهد.
مقطعی از مجموعه ماتریس های یکنواختی مرتبه سه یک دلتوئید را تشکیل می دهد.
مجموعه ای از آثار احتمالی ماتریس های واحد متعلق به گروه SU(3) یک دلتوئید را تشکیل می دهد.
تقاطع دو دلتوئید خانواده ای از ماتریس های پیچیده هادامارد از مرتبه شش را پارامتر می کند.
مجموعه تمام خطوط سیمسون مثلث داده شده، یک پاکت به شکل دلتوئید را تشکیل می دهند. این به نام دلتوئید اشتاینر یا هیپوسایکلوئید اشتاینر پس از یاکوب اشتاینر که شکل و تقارن منحنی را در سال 1856 توصیف کرد، شناخته می‌شود . [3]
پوشش نیمسازهای یک مثلث یک دلتوئید است (به معنای وسیع‌تر که در بالا تعریف شد) با رئوس در نقاط وسط وسط . اضلاع دلتوئید کمان هایی از هذلول ها هستند که مجانبی با اضلاع مثلث هستند. [4] [1]
دلتوئید به عنوان راه حلی برای مشکل سوزن کاکیا پیشنهاد شد .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

آستروئید ، منحنی با چهار کاسپ
مثلث شاخ دایره‌ای ، منحنی سه ضلعی که از کمان‌های دایره‌ای شکل گرفته است
مثلث ایده آل ، منحنی سه کاسه ای که از خطوط هذلولی تشکیل شده است
شبه مثلث ، ناحیه ای سه پر بین سه مجموعه محدب مماس
زوج طوسی ، یک رولت دو سر
بادبادک (هندسه) که به آن دلتوئید نیز می گویند

منابع [ ویرایش ]

↑ «نصف سازهای یک مثلث» . www.se16.info . بازبینی شده در 26 اکتبر 2017 .
^پرش به بالا:وایستاین ، اریک دبلیو . "دلتوئید". ازMathWorld-- یک منبع وب Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html
^ لاک وود
↑ Dunn، JA، و Pretty، JA، "Nalving a Triangle"، روزنامه ریاضی 56، مه 1972، 105-108.

EH Lockwood (1961). "فصل 8: دلتوئید". کتاب منحنی ها . انتشارات دانشگاه کمبریج.
جی. دنیس لارنس (1972). کاتالوگ منحنی های صفحه ویژه . انتشارات دوور. صص 131-134 . شابک 0-486-60288-5.
ولز دی (1991). فرهنگ لغت پنگوئن هندسه عجیب و جالب . نیویورک: کتاب های پنگوئن. ص 52 . شابک 0-14-011813-6.
"Tricuspoid" در MacTutor's Famous Curves Index
"دلتوئید" در MathCurve
سوکولوف، دی دی (2001) [1994]، "منحنی اشتاینر" ، دایره المعارف ریاضیات ، انتشارات EMS

دسته بندی ها :

https://en.wikipedia.org/wiki/Deltoid_curve

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی