5-تبدیل فوریه

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۱ | 7:32

قضیه پلانچرل و قضیه پارسوال [ ویرایش ]

فرض کنید f ( x ) و g ( x ) انتگرال پذیر باشند و f̂ ( ξ ) و ĝ ( ξ ) تبدیل فوریه آنها باشند. اگر f ( x ) و g ( x ) نیز مربع انتگرال پذیر باشند ، فرمول پارسوال به شرح زیر است: [17]

$\langle f,g\rangle _{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,dx= \int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi ){\overline {{\hat {g}}(\xi )}}\,d\xi ,$

که در آن نوار نشان دهنده صرف پیچیده است .

قضیه پلانچرل که از مطالب فوق نتیجه می گیرد بیان می کند که [18]

$\|f\|_{L^{2}}=\int _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}\,d\xi .$

قضیه پلانچرل این امکان را فراهم می‌کند که تبدیل فوریه را با استدلال پیوستگی به یک عملگر واحد در L 2 ( R ) بسط دهیم . در L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) ، این پسوند با تبدیل فوریه اصلی تعریف شده در L 1 ( R ) مطابقت دارد ، بنابراین دامنه تبدیل فوریه به L 1 ( R ) + L 2 ( R ) بزرگ می شود (و در نتیجه به L p ( R )برای 1 ≤ p ≤ 2 ). قضیه پلانچرل در علوم این تعبیر را دارد که تبدیل فوریه انرژی کمیت اصلی را حفظ می کند. اصطلاحات این فرمول ها کاملاً استاندارد نیست. قضیه پارسوال فقط برای سری فوریه اثبات شد و اولین بار توسط لیاپانوف اثبات شد. اما فرمول پارسوال برای تبدیل فوریه نیز منطقی است، و بنابراین حتی اگر در زمینه تبدیل فوریه توسط پلانچرل ثابت شد، هنوز هم اغلب به عنوان فرمول پارسوال، یا رابطه پارسوال، یا حتی قضیه پارسوال از آن یاد می شود.

دوگانگی Pontryagin را برای فرمول بندی کلی این مفهوم در زمینه گروه های آبلی فشرده محلی ببینید.

فرمول جمع پواسون [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فرمول جمع پواسون

فرمول جمع پواسون (PSF) معادله ای است که ضرایب سری فوریه جمع تناوبی یک تابع را به مقادیر تبدیل فوریه پیوسته تابع مرتبط می کند. فرمول جمع پواسون می گوید که برای توابع به اندازه کافی منظم f ،

$\sum _{n}{\hat {f}}(n)=\sum _{n}f(n).$

دارای انواع مختلفی از اشکال مفید است که با استفاده از خواص مقیاس‌پذیری و تغییر زمان تبدیل فوریه از شکل اصلی به دست می‌آیند. این فرمول در مهندسی، فیزیک و نظریه اعداد کاربرد دارد. دو دامنه فرکانس فرمول جمع پواسون استاندارد تبدیل فوریه گسسته زمان نیز نامیده می شود .

جمع پواسون به طور کلی با فیزیک محیط های تناوبی مانند هدایت گرما روی یک دایره مرتبط است. جواب اصلی معادله گرما روی یک دایره تابع تتا نامیده می شود . در تئوری اعداد برای اثبات ویژگی‌های تبدیل توابع تتا استفاده می‌شود، که معلوم می‌شود یک نوع شکل مدولار است ، و به طور کلی به نظریه اشکال اتومورفیک متصل است، جایی که در یک طرف فرمول ردیابی سلبرگ ظاهر می‌شود .

تمایز [ ویرایش ]

فرض کنید f ( x ) یک تابع کاملاً متمایز پیوسته است و هم f و هم مشتق آن f' قابل انتگرال هستند. سپس تبدیل فوریه مشتق به دست می آید

${\widehat {f'\,}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d}{dx}}f(x)\right\}=2\ pi i\xi {\hat {f}}(\xi ).$

به طور کلی تر، تبدیل فوریه n امین مشتق f ( n ) با استفاده از

${\widehat {f^{(n)}}}(\xi )={\mathcal {F}}\left\{{\frac {d^{n}}{dx^{n}}} f(x)\right\}=(2\pi i\xi )^{n}{\hat {f}}(\xi).$

با اعمال تبدیل فوریه و استفاده از این فرمول ها می توان برخی از معادلات دیفرانسیل معمولی را به معادلات جبری تبدیل کرد که حل آنها بسیار آسان تر است. این فرمول‌ها همچنین قاعده کلی را ایجاد می‌کنند که " f ( x ) صاف است اگر و فقط اگر f̂ ( ξ ) به سرعت به 0 برای | ξ | ∞ ∞ بیفتد ." با استفاده از قوانین مشابه برای تبدیل فوریه معکوس، می‌توان گفت: " f ( x ) به سرعت به 0 می‌افتد برای | x | ∞ اگر و فقط اگر f̂ ( ξ )صاف است."

قضیه کانولوشن [ ویرایش ]

مقاله اصلی: قضیه کانولوشن

تبدیل فوریه بین کانولوشن و ضرب توابع ترجمه می شود. اگر f ( x ) و g ( x ) به ترتیب با تبدیل های فوریه f̂ ( ξ ) و ĝ ( ξ ) توابع انتگرال پذیر باشند، تبدیل فوریه کانولوشن از حاصلضرب تبدیل های فوریه f̂ ( ξ ) و ĝ ( به دست می آید. ξ ) (در سایر قراردادها برای تعریف تبدیل فوریه ممکن است یک عامل ثابت ظاهر شود).

این بدان معنی است که اگر:

$h(x)=(f*g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(y)g(xy)\,dy,$

که در آن ∗ عملیات پیچیدگی را نشان می دهد، سپس:

${\hat {h}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )\cdot {\hat {g}}(\xi ).$

در تئوری سیستم خطی زمان ثابت (LTI) ، معمولاً g ( x ) به عنوان پاسخ ضربه یک سیستم LTI با ورودی f ( x ) و خروجی h ( x ) تفسیر می‌شود ، زیرا تکانه واحد را جایگزین f ( x ) می‌کنیم. h ( x ) = g ( x ) را به دست می دهد . در این حالت ĝ ( ξ ) نشان دهنده پاسخ فرکانسی سیستم است.

برعکس، اگر f ( x ) را بتوان به عنوان حاصلضرب دو تابع مربعی انتگرال پذیر p ( x ) و q ( x ) تجزیه کرد ، آنگاه تبدیل فوریه f ( x ) با کانولوشن تبدیل های فوریه مربوطه p̂ ( ξ ) به دست می آید. ) و q̂ ( ξ ) .

قضیه همبستگی متقابل [ ویرایش ]

مقاله اصلی: همبستگی متقابل

به روشی مشابه، می توان نشان داد که اگر h ( x ) همبستگی متقابل f ( x ) و g ( x ) باشد :

$h(x)=(f\star g)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}g(x+y)\,dy$

سپس تبدیل فوریه h ( x ) برابر است با:

${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}\cdot {\hat {g}}(\xi ).$

به عنوان یک مورد خاص، خودهمبستگی تابع f ( x ) به صورت زیر است:

$h(x)=(f\star f)(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(y)}}f(x+y)\,dy$

برای کدام

${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )=\left|{\hat {f}}(\xi )\right|^{2}.$

توابع ویژه [ ویرایش ]

یکی از انتخاب های مهم یک پایه متعارف برای L 2 ( R ) توسط توابع Hermite ارائه شده است.

$\psi _{n}(x)={\frac {\sqrt[{4}]{2}}{\sqrt {n!}}}e^{-\pi x^{2}}\ mathrm {He} _{n}\left(2x{\sqrt {\pi }}\right)$

که در آن He n ( x ) چندجمله‌ای هرمیت " احتمال‌گرا" هستند که به صورت تعریف می‌شوند.

$\mathrm {He} _{n}(x)=(-1)^{n}e^{\frac {x^{2}}{2}}\left({\frac {d}{dx}} \راست)^{n}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}$

تحت این قرارداد برای تبدیل فوریه، ما آن را داریم

${\hat {\psi }}_{n}(\xi )=(-i)^{n}\psi _{n}(\xi )$ .

به عبارت دیگر، توابع هرمیت یک سیستم متعارف کامل از توابع ویژه برای تبدیل فوریه در L 2 ( R ) را تشکیل می دهند. [14] با این حال، این انتخاب از توابع ویژه منحصر به فرد نیست. تنها چهار مقدار ویژه مختلف از تبدیل فوریه وجود دارد (±1 و ± i ) و هر ترکیب خطی از توابع ویژه با مقدار ویژه یکسان تابع ویژه دیگری را به دست می دهد. در نتیجه، می توان L 2 ( R ) را به صورت مجموع مستقیم چهار فضای H 0 , H 1 , H تجزیه کرد.2 و H 3 که در آن تبدیل فوریه روی He k به سادگی با ضرب در i k عمل می کند.

از آنجایی که مجموعه کامل توابع هرمیت وضوح هویت را ارائه می‌کند، تبدیل فوریه را می‌توان با چنین مجموع عباراتی که با مقادیر ویژه بالا وزن شده‌اند، نشان داد و این مجموع را می‌توان به صراحت جمع کرد. این رویکرد برای تعریف تبدیل فوریه اولین بار توسط نوربرت وینر انجام شد . [19] در میان ویژگی‌های دیگر، توابع هرمیت به‌طور تصاعدی در حوزه‌های فرکانس و زمان کاهش می‌یابند، و بنابراین از آن‌ها برای تعریف تعمیم تبدیل فوریه، یعنی تبدیل فوریه کسری مورد استفاده در تحلیل زمان-فرکانس استفاده می‌شود. [20] در فیزیک ، این تبدیل توسط ادوارد کاندون معرفی شد . [21]

ارتباط با گروه هایزنبرگ [ ویرایش ]

گروه هایزنبرگ گروه خاصی از عملگرهای واحد در فضای هیلبرت L 2 ( R ) از توابع مجتمع مربعی با ارزش f روی خط واقعی است که توسط ترجمه های ( T y f ) ( x ) = f ( x + y ) ایجاد می شود. و ضرب در e 2π ixξ , ( M ξ f ) ( x ) = e 2π ixξ f (x ) . این اپراتورها مانند جابجایی (گروهی) آنها رفت و آمد نمی کنند

$\left(M_{\xi }^{-1}T_{y}^{-1}M_{\xi }T_{y}f\right)(x)=e^{2\pi iy\ xi }f(x)$

ضرب در ثابت (مستقل از x ) e 2π iyξ ∈ U (1) ( گروه دایره اعداد مختلط مدول واحد). به عنوان یک گروه انتزاعی، گروه هایزنبرگ گروه سه بعدی سه بعدی Lie ( x , ξ , z ) ∈ R 2 × U (1) با قانون گروه است.

$\left(x_{1},\xi _{1},t_{1}\right)\cdot \left(x_{2},\xi _{2},t_{2}\right)= \left(x_{1}+x_{2},\xi _{1}+\xi _{2},t_{1}t_{2}e^{2\pi i\left(x_{1}\ xi _{1}+x_{2}\xi _{2}+x_{1}\xi _{2}\right)}\right).$

گروه هایزنبرگ را با H 1 نشان دهید . روش بالا نه تنها ساختار گروه، بلکه یک نمایش واحد استاندارد از H1 را در فضای هیلبرت توصیف می کند، که ما آن را با ρ نشان می دهیم : H1 → B ( L2 ( R ) ) . اتومورفیسم خطی R 2 را تعریف کنید

$J{\begin{pmatrix}x\\\xi \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-\xi \\x\end{pmatrix}}$

به طوری که J 2 = − I . این J را می توان به یک اتومورفیسم منحصر به فرد H 1 گسترش داد :

$j\left(x,\xi ,t\right)=\left(-\xi ,x,te^{-2\pi ix\xi }\right).$

طبق قضیه استون-فون نویمان ، نمایش های واحد ρ و ρ ∘j به طور واحد معادل هستند، بنابراین یک درهم تنیده منحصر به فرد W ∈ U ( L 2 ( R ) ) وجود دارد که

$\rho \circ j=W\rho W^{*}.$

این عملگر W تبدیل فوریه است.

بسیاری از خصوصیات استاندارد تبدیل فوریه پیامدهای فوری این چارچوب کلی تر هستند. [22] برای مثال، مربع تبدیل فوریه، W 2 ، یک درهم تنیده مرتبط با J 2 = − I است، و بنابراین داریم ( W 2 f ) ( x ) = f (- x ) بازتابی از تابع اصلی f .

دامنه پیچیده [ ویرایش ]

انتگرال برای تبدیل فوریه

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi i\xi t}f(t)\,dt$

می توان مقادیر مختلط آرگومان ξ را مطالعه کرد. بسته به ویژگی‌های f ، این ممکن است اصلاً از محور واقعی همگرا نشود، یا ممکن است به یک تابع تحلیلی پیچیده برای همه مقادیر ξ = σ + iτ یا چیزی در بین آن همگرا شود. [23]

قضیه پیلی-وینر می گوید که f صاف است (یعنی n - بار برای همه اعداد صحیح مثبت n قابل تمایز است ) و به طور فشرده پشتیبانی می شود اگر و فقط اگر f̂ ( σ + iτ ) یک تابع هولومورفیک باشد که برای آن ثابت a > 0 وجود داشته باشد. که برای هر عدد صحیح n ≥ 0 ،

$\left\vert \xi ^{n}{\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq Ce^{a\vert \tau \vert }$

برای مقداری C ثابت (در این مورد، f روی [− a , a ] پشتیبانی می‌شود .) این را می‌توان با گفتن اینکه f̂ یک تابع کامل است که به سرعت در σ کاهش می‌یابد (برای τ ثابت ) و رشد نمایی در τ (به طور یکنواخت در σ ) کاهش می‌یابد. ). [24]

(اگر f صاف نباشد، اما فقط L 2 باشد، گزاره همچنان با n = 0 برقرار است. [25] ) فضای چنین توابعی از یک متغیر مختلط ، فضای Paley-Wiener نامیده می شود. این قضیه به گروه های دروغ نیمه ساده تعمیم داده شده است . [26]

اگر f روی نیم خط t ≥ 0 پشتیبانی شود ، آنگاه f را «علت» می گویند زیرا تابع پاسخ ضربه ای یک فیلتر قابل تحقق فیزیکی باید این ویژگی را داشته باشد، زیرا هیچ اثری نمی تواند مقدم بر علت آن باشد. پیلی و وینر نشان دادند که پس از آن ، f به یک تابع هولومورفیک در نیم صفحه پایین پیچیده τ < 0 گسترش می‌یابد که وقتی τ به سمت بی‌نهایت می‌رود ، به صفر می‌رود. [27] عکس آن نادرست است و مشخص نیست که چگونه تبدیل فوریه یک تابع علی را مشخص کنیم. [28]

تبدیل لاپلاس [ ویرایش ]

همچنین ببینید: تبدیل لاپلاس § تبدیل فوریه

تبدیل فوریه f̂ ( ξ ) مربوط به تبدیل لاپلاس F ( s ) است که برای حل معادلات دیفرانسیل و تحلیل فیلترها نیز استفاده می شود .

ممکن است اتفاق بیفتد که تابع f که انتگرال فوریه آن به هیچ وجه روی محور واقعی همگرا نمی شود، با این حال تبدیل فوریه پیچیده ای در ناحیه ای از صفحه مختلط تعریف شده است .

به عنوان مثال، اگر f ( t ) دارای رشد نمایی باشد، به عنوان مثال،

$\vert f(t)\vert <Ce^{a\vert t\vert }$

برای برخی از ثابت های C ، a ≥ 0 ، سپس [29]

${\hat {f}}(i\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{2\pi \tau t}f(t)\,dt,$

همگرا برای همه 2π τ < - a ، تبدیل لاپلاس دو طرفه f است.

نسخه معمول تر ("یک طرفه") تبدیل لاپلاس است

$F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.$

اگر f نیز علی و تحلیلی باشد، آنگاه: ${\hat {f}}(i\tau )=F(-2\pi \tau).$ بنابراین، گسترش تبدیل فوریه به حوزه مختلط به این معنی است که تبدیل لاپلاس را به عنوان یک مورد خاص در مورد توابع علی - اما با تغییر متغیر s = 2π iξ در بر می گیرد .

از دیدگاهی دیگر، شاید کلاسیک‌تر، تبدیل لاپلاس از نظر شکل شامل یک عبارت تنظیم‌کننده نمایی اضافی است که به آن اجازه می‌دهد خارج از خط خیالی جایی که تبدیل فوریه تعریف می‌شود، همگرا شود. به این ترتیب، می‌تواند برای سری‌ها و انتگرال‌های به‌طور نمایی واگرا همگرا شود، در حالی که تجزیه فوریه اصلی نمی‌تواند، امکان تجزیه و تحلیل سیستم‌های دارای عناصر واگرا یا بحرانی را فراهم می‌کند. دو نمونه خاص از پردازش سیگنال خطی، ساخت شبکه‌های فیلتر همه‌گذر از فیلترهای حساس و کاهش‌دهنده از طریق لغو دقیق قطب صفر در دایره واحد است. چنین طرح‌هایی در پردازش صوتی رایج هستند، جایی که پاسخ فاز بسیار غیرخطی مانند Reverb جستجو می‌شود.

علاوه بر این، زمانی که پاسخ‌های پالس‌مانند تمدید شده برای کار پردازش سیگنال جستجو می‌شوند، ساده‌ترین راه برای تولید آن‌ها داشتن یک مدار است که یک پاسخ زمانی واگرا تولید می‌کند، و سپس لغو واگرایی آن از طریق پاسخ متضاد و جبرانی تاخیری. در آنجا، فقط مدار تأخیر در بین، توصیف فوریه کلاسیک را می پذیرد که بسیار مهم است. هر دو مدار کناری ناپایدار هستند و تجزیه فوریه همگرا را قبول ندارند. با این حال، آن‌ها یک توصیف دامنه لاپلاس را می‌پذیرند، با نیم‌صفحه‌های همگرایی یکسان در صفحه مختلط (یا در مورد گسسته، صفحه Z)، که در آن اثرات آنها لغو می‌شود.

در ریاضیات مدرن، تبدیل لاپلاس به طور معمول تحت روش های فوریه قرار می گیرد. هر دوی آنها با ایده بسیار کلی تر و انتزاعی تر تحلیل هارمونیک جمع می شوند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی