2-مقادیر ویژه و بردارهای ویژه

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیستم آذر ۱۴۰۳ | 20:59

مقادیر ویژه و چند جمله ای مشخصه

[ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چند جمله‌ای مشخصه

معادله ( 2 ) یک راه حل غیرصفر v دارد اگر و فقط اگر دترمینان ماتریس ( A - λI ) صفر باشد. بنابراین، مقادیر ویژه A مقادیر λ هستند که معادله را برآورده می کنند

$\det(A-\lambda I)=0$ ( 3 )

با استفاده از فرمول لایب نیتس برای دترمینان ها ، سمت چپ معادله ( 3 ) یک تابع چند جمله ای از متغیر λ است و درجه این چند جمله ای n ، ترتیب ماتریس A است . ضرایب آن به ورودی های A بستگی دارد ، با این تفاوت که ترم درجه n آن همیشه (-1) n λ n است . این چند جمله ای را چند جمله ای مشخصه A می نامند . معادله ( 3 ) را معادله مشخصه یا معادله سکولار A می نامند .

قضیه اساسی جبر دلالت بر این دارد که چند جمله ای مشخصه یک n در n ماتریس A که یک چند جمله ای درجه n است ، می تواند در حاصل ضرب n جمله خطی لحاظ شود.

$\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )(\lambda _{2}-\lambda)\cdots (\lambda _{n}-\lambda)،$ ( 4 )

که در آن هر λ i ممکن است حقیقی باشد اما به طور کلی یک عدد مختلط است. اعداد λ 1 , λ 2 , ... , λ n که ممکن است همه مقادیر متمایز نداشته باشند ریشه های چند جمله ای هستند و مقادیر ویژه A هستند .

به عنوان یک مثال کوتاه که بعداً در بخش مثال ها با جزئیات بیشتر توضیح داده شده است، ماتریس را در نظر بگیرید ${\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.$

با در نظر گرفتن دترمینان ( A - λI ) ، چند جمله ای مشخصه A برابر است با. $\det(A-\lambda I)={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}=3-4\lambda +\lambda ^{2}.$

با تنظیم چند جمله ای مشخصه برابر با صفر، دارای ریشه های λ=1 و λ=3 است که دو مقدار ویژه A هستند . بردارهای ویژه مربوط به هر مقدار ویژه را می توان با حل مولفه های v در معادله پیدا کرد. $\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0}$ . در این مثال، بردارهای ویژه هر مضرب اسکالر غیر صفر هستند

$\mathbf {v} _{\lambda =1}={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} _{\lambda =3}={ \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}.$

اگر ورودی‌های ماتریس A همگی اعداد حقیقی باشند، ضرایب چند جمله‌ای مشخصه نیز اعداد حقیقی خواهند بود، اما مقادیر ویژه ممکن است هنوز دارای بخش‌های غیرصفری فرضی باشند. بنابراین، ورودی های بردارهای ویژه متناظر ممکن است دارای بخش های غیرصفری غیرصفر باشند. به طور مشابه، مقادیر ویژه ممکن است اعداد غیر منطقی باشند حتی اگر تمام ورودی های A اعداد گویا باشند یا حتی اگر همه اعداد صحیح باشند. با این حال، اگر ورودی های A همه اعداد جبری هستند ، که شامل گویا نیز می شود، مقادیر ویژه نیز باید اعداد جبری باشند.

ریشه‌های غیر حقیقی یک چند جمله‌ای حقیقی با ضرایب حقیقی را می‌توان به جفت‌های مزدوج مختلط گروه‌بندی کرد ، یعنی دو عضو هر جفت دارای بخش‌های خیالی هستند که فقط در علامت و یک قسمت حقیقی متفاوت هستند. اگر درجه فرد باشد، بر اساس قضیه مقدار متوسط حداقل یکی از ریشه ها حقیقی است. بنابراین، هر ماتریس حقیقی با ترتیب فرد حداقل دارای یک مقدار ویژه حقیقی است، در حالی که یک ماتریس حقیقی با ترتیب زوج ممکن است هیچ ارزش ویژه حقیقی نداشته باشد. بردارهای ویژه مرتبط با این مقادیر ویژه مختلط نیز مختلط هستند و همچنین در جفت های مزدوج مختلط ظاهر می شوند.

طیف یک ماتریس

[ ویرایش ]

طیف یک ماتریس لیستی از مقادیر ویژه است که بر اساس چندگانگی تکرار می شود . در یک نماد جایگزین مجموعه ای از مقادیر ویژه با چندگانگی آنها.

یک کمیت مهم مرتبط با طیف، حداکثر مقدار مطلق هر مقدار ویژه است. این به عنوان شعاع طیفی ماتریس شناخته می شود.

چندگانگی جبری

[ ویرایش ]

فرض کنید λ i یک مقدار ویژه از n در n ماتریس A باشد . چندگانگی جبری μ A ( λ i ) مقدار ویژه، چندگانگی آن به عنوان ریشه چند جمله ای مشخصه است، یعنی بزرگترین عدد صحیح k به طوری که ( λ - λ i ) k به طور مساوی آن چند جمله ای را تقسیم می کند. [ 9 ] [ 25 ] [ 26 ]

فرض کنید یک ماتریس A دارای بعد n و d ≤ n مقادیر ویژه متمایز است. در حالی که معادله ( 4 ) چند جمله‌ای مشخصه A را در حاصل ضرب n جمله خطی با برخی از جمله‌ها به طور بالقوه تکرار می‌کند، می‌توان چند جمله‌ای مشخصه را نیز به‌عنوان حاصل ضرب d جمله‌هایی نوشت که هر یک به یک مقدار ویژه متمایز مربوط می‌شوند و به توان آن افزایش می‌یابد. چندگانگی جبری،

$\det(A-\lambda I)=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\ lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda)^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.$

اگر d = n باشد ، سمت راست حاصل ضرب n جمله خطی است و این همان معادله ( 4 ) است. اندازه چندگانگی جبری هر مقدار ویژه با بعد n as مرتبط است

${\begin{aligned}1&\leq \mu _{A}(\lambda _{i})\leq n,\\\mu _{A}&=\sum _{i=1}^{ d}\mu _{A}\left(\lambda _{i}\right)=n.\end{تراز شده}}$

اگر μ A ( λ i ) = 1 باشد، می گویند λ i یک مقدار ویژه ساده است . [ 26 ] اگر μ A ( λ i ) برابر است با چندگانگی هندسی λ i , γ A ( λ i ) که در بخش بعدی تعریف شده است، آنگاه می گویند λ i یک مقدار ویژه نیمه ساده است .

فضاهای ویژه، چندگانگی هندسی و مبنای ویژه برای ماتریس ها

[ ویرایش ]

با توجه به یک مقدار ویژه λ از n توسط n ماتریس A ، مجموعه E را همه بردارهایی v که معادله ( 2 ) را برآورده می کنند، تعریف کنید.

$E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.$

از یک طرف، این مجموعه دقیقاً هسته یا فضای خالی ماتریس است ( A - λI ). از سوی دیگر، طبق تعریف، هر بردار غیرصفری که این شرط را برآورده کند، بردار ویژه A مرتبط با λ است . بنابراین، مجموعه E ، اتحاد بردار صفر با مجموعه تمام بردارهای ویژه A مرتبط با λ است ، و E برابر است با فضای خالی ( A - λI ). E به فضای ویژه یا فضای مشخصه A مرتبط با λ گفته می شود . [ 27 ] [ 9 ] به طور کلی λ یک عدد مختلط است و بردارهای ویژه n با 1 ماتریس مختلط هستند. یکی از ویژگی های فضای پوچ این است که یک زیرفضای خطی است ، بنابراین E یک زیرفضای خطی $\mathbb {C} ^{n}$ .

از آنجایی که فضای ویژه E یک زیرفضای خطی است، در صورت جمع بسته می شود . یعنی اگر دو بردار u و v متعلق به مجموعه E باشند که u , v ∈ E نوشته می شود ، آنگاه ( u + v ) ∈ E یا معادل A ( u + v ) = λ ( u + v ) . این را می توان با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب ماتریس بررسی کرد. به همین ترتیب، چون E یک زیرفضای خطی است، تحت ضرب اسکالر بسته می شود. یعنی اگر v ∈ E و α یک عدد مختلط باشد ( α v ) ∈ E یا معادل آن A ( α v ) = λ ( α v ) . این را می توان با توجه به اینکه ضرب ماتریس های مختلط در اعداد مختلط جابجایی است بررسی کرد . تا زمانی که u + v و α v صفر نباشند، بردارهای ویژه A مرتبط با λ هستند .

بعد فضای ویژه E مرتبط با λ ، یا معادل آن حداکثر تعداد بردارهای ویژه مستقل خطی مرتبط با λ ، به عنوان چندگانگی هندسی مقدار ویژه نامیده می شود. $\gamma _{A}(\lambda )$ . از آنجایی که E نیز فضای تهی ( A - λI ) است، چندگانگی هندسی λ بعد فضای خالی ( A - λI ) است، که به آن تهی ( A - λI ) نیز می گویند ، که به بعد و رتبه مربوط می شود. ( A − λI ) به عنوان

$\gamma _{A}(\lambda )=n-\operatorname {rank} (A-\lambda I).$

به دلیل تعریف مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، چندگانگی هندسی یک مقدار ویژه باید حداقل یک باشد، یعنی هر مقدار ویژه حداقل یک بردار ویژه مرتبط داشته باشد. علاوه بر این، چندگانگی هندسی یک مقدار ویژه نمی تواند از چندگانگی جبری آن بیشتر شود. علاوه بر این، به یاد بیاورید که چندگانگی جبری یک مقدار ویژه نمی تواند از n تجاوز کند

$1\leq \gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )\leq n$

برای اثبات نابرابری

$\gamma _{A}(\lambda )\leq \mu _{A}(\lambda )$ ، در نظر بگیرید که چگونه تعریف چندگانگی هندسی دلالت بر وجود دارد $\gamma _{A}(\lambda )$ بردارهای ویژه متعارف

${\boldsymbol {v}}_{1},\,\ldots ,\,{\boldsymbol {v}}_{\gamma _{A}(\lambda )}$ ، طوری که

$A{\boldsymbol {v}}_{k}=\lambda {\boldsymbol {v}}_{k}$ . بنابراین ما می توانیم یک ماتریس (یونیتی) پیدا کنیمV $V$ اولین کسی که $\gamma _{A}(\lambda )$ ستون‌ها این بردارهای ویژه هستند و ستون‌های باقی‌مانده آن‌ها می‌توانند هر مجموعه متعارفی باشند $n-\gamma _{A}(\lambda )$ بردارهای متعامد به این بردارهای ویژه از $A$ . سپسV $V$ دارای رتبه کامل و بنابراین معکوس است. در حال ارزیابی $D:=V^{T}AV$ ، ماتریسی به دست می آوریم که بلوک بالای سمت چپ آن ماتریس مورب است $\lambda I_{\gamma _{A}(\lambda )}$ . این را می توان با ارزیابی عملکرد سمت چپ با بردارهای پایه ستون اول مشاهده کرد. با سازماندهی مجدد و اضافه کردن $-\xi V$ در هر دو طرف، ما دریافت می کنیم $(A-\xi I)V=V(D-\xi I)$ از آنجایی که $I$ رفت و آمد با $V$ . به عبارت دیگر،

$A-\xi I$ شبیه $D-\xi I$ ، است و $\det(A-\xi I)=\det(D-\xi I)$ . اما از تعریف $D$ ، ما این را می دانیم $\det(D-\xi I)$ حاوی یک عامل

$(\xi -\lambda )^{\gamma _{A}(\lambda )}$ ، به این معنی که چندگانگی جبری از $\lambda$ باید راضی کند

$\mu _{A}(\lambda )\geq \gamma _{A}(\lambda )$ .

فرض کنید

$A$ دارد $d\leq n$ مقادیر ویژه متمایز $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{d}$ ، که در آن چندگانگی هندسی از $\lambda _{i}$ است $\gamma _{A}(\lambda _{i})$ . چندگانگی هندسی

کل $A$ ${\begin{aligned}\gamma _{A}&=\sum _{i=1}^{d}\gamma _{A}(\lambda _{i})،\\d&\leq \ گاما _{A}\leq n،\end{تراز شده}}$

بعد مجموع تمام فضاهای ویژه است $A$ مقادیر ویژه یا معادل آن حداکثر تعداد بردارهای ویژه مستقل خط $A$ . اگر $\gamma _{A}=n$ ، سپس

مجموع مستقیم فضاهای ویژه همه $A$ مقادیر ویژه کل فضای برداری است $\mathbb {C} ^{n}$ .
پایه ای از $\mathbb {C} ^{n}$ می توان از $n$ بردارهای ویژه مستقل خطی از $A$ ; چنین مبنایی پایه ویژه نامیده می شود
هر بردار در $\mathbb {C} ^{n}$ را می توان به صورت ترکیبی خطی از بردارهای ویژه نوشت $A$ .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی