ریاضیات

تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس

از آنجایی که هر عملگر خطی با ضرب چپ در مقداری ماتریس مربع به دست می آید، یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه یک عملگر خطی معادل یافتن مقادیر ویژه و بردارهای ویژه ماتریس مربع مرتبط است. این اصطلاحی است که دنبال خواهد شد. علاوه بر این، از آنجایی که مقادیر ویژه و بردارهای ویژه فقط برای ماتریس های مربع معنا دارند، در سراسر این بخش، همه ماتریس ها مربع فرض می شوند.

با توجه به یک ماتریس مربع A ، شرطی که یک مقدار ویژه، λ را مشخص می کند، وجود یک بردار غیرصفر x است به طوری که

 A x = λ x ; این معادله را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

این شکل نهایی معادله روشن می کند که x حل یک سیستم مربعی و همگن است. اگر راه حل های غیر صفر مورد نظر باشد، آنگاه تعیین کننده ماتریس ضریب - که در این مورد A - λ I است - باید صفر باشد. اگر نه، آنگاه سیستم فقط دارای راه حل بی اهمیت x = 0 است. از آنجایی که بردارهای ویژه، طبق تعریف، غیر صفر هستند، برای اینکه x بردار ویژه ماتریس A باشد ، λ باید طوری انتخاب شود که 

هنگامی که دترمینان A - λ I نوشته می شود، عبارت به دست آمده یک چند جمله ای مونیک در λ است. [ چندجمله‌ای مونیک آن است که ضریب جمله پیشرو (بالاترین درجه) 1 باشد.] به آن چند جمله‌ای مشخصه A می‌گویند و اگر A nxn باشد درجه n خواهد بود . صفرهای چند جمله‌ای مشخصه A - یعنی جواب‌های معادله مشخصه ، det( A - λ I ) = 0- مقادیر ویژه A هستند.

مثال 1 : مقادیر ویژه ماتریس را تعیین کنید

ابتدا ماتریس A - λ I را تشکیل دهید : 

نتیجه ای که به سادگی با کم کردن λ از هر یک ازدرایه های قطر اصلی به دست می آید. حال، دترمینان  A - λ I را بگیرید :

این چند جمله ای مشخصه A است، و جواب های معادله مشخصه، det( A - λ I ) = 0، مقادیر ویژه A هستند :

در برخی متون، چند جمله ای مشخصه A به جای det ( A - λ I )مقدار det (λI - A ) نوشته می شود. برای ماتریس های با ابعاد زوج، این چند جمله ای ها دقیقاً یکسان هستند، در حالی که برای ماتریس های مربعی با ابعاد فرد، این چند جمله ای ها معکوس جمعی هستند. این تمایز صرفا جنبه زیبایی دارد، زیرا محلول‌های det (λI - A ) = 0 دقیقاً مشابه محلول‌های det ( A - λ I ) = 0 هستند. بنابراین، چه چند جمله‌ای مشخصه A را به عنوان det بنویسید. λ I − A ) یا به صورت det( A − λ I) هیچ تأثیری در تعیین مقادیر ویژه یا بردارهای ویژه مربوط به آنها نخواهد داشت.

مثال 2 : مقادیر ویژه ماتریس 3 در 3 شطرنجی را بیابید

دترمینان 

ابتدا ردیف دوم را به ردیف سوم اضافه می کنیم و سپس یک بسط لاپلاس توسط ستون اول انجام می دهیم:

ریشه های معادله مشخصه،

-λ^ 2 (λ - 3) = 0، λ = 0 و λ = 3

هستند. اینها مقادیر ویژه C هستند.

منبع

https://www.cliffsnotes.com/study-guides/algebra/linear-algebra/eigenvalues-and-eigenvectors/determining-the-eigenvalues-of-a-matrix