​

تاریخچه [ ویرایش ]

مقالات اصلی: تحلیل فوریه § تاریخچه و سری فوریه § تاریخ

در سال 1822، فوریه ادعا کرد (نگاه کنید به جوزف فوریه § تئوری تحلیلی گرما ) که هر تابع، خواه پیوسته یا ناپیوسته، می تواند به یک سری سینوس بسط یابد. [10] آن کار مهم توسط دیگران تصحیح و گسترش یافت تا پایه و اساس اشکال مختلف تبدیل فوریه را که از آن زمان استفاده شده است، فراهم کند.

مقدمه [ ویرایش ]

همچنین ببینید: تحلیل فوریه و سری فوریه

تابع f (قرمز) ابتدا به سری فوریه آن تبدیل می شود : مجموع امواج سینوسی (به رنگ آبی). سپس این سینوسی ها در سراسر طیف فرکانس پخش می شوند و به صورت پیک ( توابع دلتای دیراک ) در حوزه فرکانس نشان داده می شوند. نمایش دامنه فرکانس تابع ( f̂ ) مجموعه ای از این پیک ها است.

اگرچه سری فوریه می تواند شکل موج های تناوبی را به عنوان مجموع سینوسی های مرتبط با هارمونیک نشان دهد، سری فوریه نمی تواند شکل موج های غیر تناوبی را نشان دهد. با این حال، تبدیل فوریه قادر است شکل موج های غیر تناوبی را نیز نمایش دهد. این امر با اعمال یک فرآیند محدود کننده برای طولانی کردن دوره هر شکل موج تا بی نهایت و سپس در نظر گرفتن آن به عنوان یک شکل موج دوره ای به دست می آید. [11]

در مطالعه سری فوریه، ضرایب فوریه نشان دهنده دامنه هر سینوسی مرتبط با هماهنگی موجود در سری فوریه تابع تناوبی f است. به طور مشابه، تبدیل فوریه دامنه و فاز هر سینوسی موجود در تابع (احتمالاً غیر تناوبی) f را نشان می‌دهد .

تبدیل فوریه از یک انتگرال (یا "جمع پیوسته") استفاده می کند که از ویژگی های سینوس و کسینوس برای بازیابی دامنه و فاز هر سینوسی در یک سری فوریه استفاده می کند. تبدیل فوریه معکوس این امواج را با استفاده از یک انتگرال مشابه برای بازتولید تابع اصلی دوباره ترکیب می کند.

استفاده از سینوسی های مختلط برای نمایش سینوس های حقیقی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: فرکانس منفی § ساده سازی تبدیل فوریه

برای ساده کردن ریاضی، مطلوب است که سری فوریه را به صورت مجموع نمایی های مختلط بنویسیم (به سری فوریه § شکل نمایی مراجعه کنید ). هر سینوسی مختلط نمایی یا مختلط فرکانس ξ را می توان با استفاده از فرمول اویلر به عنوان مجموع موج کسینوس فرکانس ξ برای مولفه حقیقی به اضافه یک موج سینوسی همچنین فرکانس ξ برای مؤلفه موهومی بیان کرد:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{2\pi i\xi x}&=\cos(2\pi \xi x)+i\sin(2\pi \xi x)\end{تراز شده}} }

بیان سینوس های حقیقی به صورت سینوسی های مختلط، ضرایب فوریه را ضروری می کندc_{n}مختلط باشد، اما دارای مزیت نمایش فشرده تمام اطلاعات لازم در مورد هر فرکانس است. تعبیر معمول این عدد مختلط این است که{\displaystyle \left\vert c_{n}\right\vert }( قدر آن ) دامنه و{\displaystyle \arg(c_{n})}( آگومان آن ) فاز سینوسی مختلط را برای آن ضریب نشان می دهد.

نشان دادن نمایی مختلط در سه بعدی. مؤلفه حقیقی یک موج کسینوس است. جزء موهومی یک موج سینوسی است. آنها با هم یک مارپیچ را تشکیل می دهند. نفی فرکانس را می توان به عنوان تغییر دستی مارپیچ درک کرد . چرخش با جهت مخالف اما با همان تعداد چرخش در ثانیه.

این نمایی های مختلط ممکن است فرکانس منفی داشته باشند . برای مثال، هر دو سینوسی مختلط e 2π iξx و e -2π iξx یک چرخه را در هر واحد x کامل می کنند، اما اولی نشان دهنده فرکانس مثبت است در حالی که دومی نشان دهنده فرکانس منفی است. فرکانس مثبت را می توان به عنوان چرخش در خلاف جهت عقربه های ساعت در مورد صفحه مختلط درک کرد در حالی که فرکانس منفی را می توان به عنوان چرخش در جهت عقربه های ساعت در مورد صفحه مختلط درک کرد. هنگامی که سینوسی های مختلط به عنوان یک مارپیچ در سه بعدی تفسیر می شوند (با بعد سوم که جزء موهومی است)، نفی فرکانس به سادگی حالت دستی مارپیچ را تغییر می دهد.. [12]

امواج حقیقی سینوسی و کسینوس را می توان از نمایش نمایی مختلط سینوسی ها بازیابی کرد. به عنوان مثال، نتیجه ای از فرمول اویلر اجازه می دهد تا امواج کسینوس و سینوسی را به عنوان بخش حقیقی یا موهومی یک سینوسی مختلط یا به عنوان مجموع وزنی دو سینوسی مختلط با فرکانس مخالف بیان کنیم:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(2\pi \xi x)&=\operatorname {Re} \left(e^{2\pi i\xi x}\right)={\tfrac {1} {2}}e^{2\pi i\xi x}+{\tfrac {1}{2}}e^{-2\pi i\xi x},\\\sin(2\pi \xi x )&=\operatorname {Im} \left(e^{2\pi i\xi x}\right)={\tfrac {1}{2i}}e^{2\pi i\xi x}-{\ tfrac {1}{2i}}e^{-2\pi i\xi x}.\end{تراز شده}}}

در نتیجه، یک شکل کلی از هر سینوسی حقیقی (با فرکانس ξ ، تغییر فاز θ و دامنه A ) را می توان به صورت مجموع دو سینوسی مختلط با فرکانس مخالف ( ξ و - ξ ) اما قدر مساوی بیان کرد.آ/2) و با تغییر فاز θ که در هر دو ضرایب مختلط آنها تعبیه شده است:

{\displaystyle {\begin{aligned}A\cos(2\pi \xi x+\theta )&={\tfrac {A}{2}}e^{2\pi i\xi x+i\theta }+ {\tfrac {A}{2}}e^{-2\pi i\xi xi\theta }={\tfrac {Ae^{i\theta }}{2}}e^{2\pi i\xi x}+{\tfrac {Ae^{-i\theta }}{2}}e^{-2\pi i\xi x}.\end{تراز شده}}}

از این رو، هر سینوسی حقیقی (و سیگنال حقیقی) را می توان متشکل از یک فرکانس مثبت و منفی در نظر گرفت که اجزای موهومی آن خنثی می شوند اما اجزای حقیقی آن به طور مساوی در تشکیل سیگنال حقیقی مشارکت دارند.

برای اجتناب از استفاده از اعداد مختلط و فرکانس های منفی، تبدیل های سینوسی و کسینوس با هم می توانند به عنوان شکل جایگزین معادل تبدیل فوریه استفاده شوند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

​