1-تبدیل فوریه

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۱ | 6:54

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک مثال از کاربرد تبدیل فوریه، تعیین گام های سازنده در یک شکل موج موسیقی است. این تصویر نتیجه اعمال تبدیل Constant-Q ( تبدیل مربوط به فوریه ) به شکل موج یک آکورد پیانو ماژور C است. سه قله اول در سمت چپ با فرکانس های فرکانس اصلی وتر (C، E، G) مطابقت دارد. قله‌های کوچک‌تر باقی‌مانده، فرکانس‌های بالاتری از گام‌های اصلی هستند. یک الگوریتم تشخیص گام می تواند از شدت نسبی این قله ها برای استنباط اینکه پیانیست چه نت هایی را فشار داده است استفاده کند.

تبدیل فوریه ( FT ) یک تبدیل ریاضی است که توابع را بسته به مکان یا زمان به توابع بسته به فرکانس مکانی یا فرکانس زمانی تجزیه می کند . به این فرآیند آنالیز نیز می گویند . یک مثال کاربردی می تواند تجزیه شکل موج یک آکورد موسیقی بر حسب شدت زیر و بم های سازنده آن باشد. اصطلاح تبدیل فوریه هم به نمایش دامنه فرکانس و هم اشاره داردعملیات ریاضی که نمایش دامنه فرکانس را به تابعی از مکان یا زمان مرتبط می کند.

تبدیل فوریه یک تابع یک تابع با مقدار مختلط است که نشان دهنده سینوسی های پیچیده است که تابع اصلی را تشکیل می دهند. برای هر فرکانس، بزرگی ( مقدار مطلق ) مقدار مختلط ، دامنه یک سینوسی مختلط تشکیل دهنده با آن فرکانس را نشان می‌دهد، و آرگومان مقدار مختلط نشان‌دهنده افست فاز آن سینوسی پیچیده است . اگر فرکانس وجود نداشته باشد، تبدیل برای آن فرکانس مقدار 0 دارد. تبدیل فوریه به توابع زمان محدود نمی شود، بلکه دامنه تابع اصلی معمولاً به عنوان حوزه زمان نامیده می شود.. قضیه وارونگی فوریه یک فرآیند سنتز را ارائه می دهد که تابع اصلی را از نمایش دامنه فرکانس آن بازسازی می کند.

سینوسی قرمز را می توان با دامنه پیک (1)، پیک به اوج (2)، RMS (3) و طول موج (4) توصیف کرد. سینوسی های قرمز و آبی دارای اختلاف فاز θ هستند.

$\scriptstyle f(t)$

$\scriptstyle {\hat {f}}(\omega)$

$\scriptstyle g(t)$

$\scriptstyle {\hat {g}}(\omega)$

$\scriptstyle t$

$\scriptstyle \omega$

$\scriptstyle t$

$\scriptstyle \omega$

ردیف بالا یک واحد پالس را به عنوان تابعی از زمان ( f ( t ) ) و تبدیل فوریه آن را به عنوان تابعی از فرکانس ( f̂ ( ω ) نشان می دهد. ردیف پایین یک پالس واحد تاخیری را به عنوان تابعی از زمان ( g ( t ) ) و تبدیل فوریه آن را به عنوان تابعی از فرکانس ( ĝ ( ω ) نشان می‌دهد . ترجمه (یعنی تاخیر) در حوزه زمانی به عنوان تغییر فاز پیچیده در حوزه فرکانس تفسیر می شود. تبدیل فوریه یک تابع را به توابع ویژه برای گروه ترجمه ها تجزیه می کند. قسمت خیالی ĝ ( ω )نفی می شود زیرا یک توان علامت منفی در تبدیل فوریه استفاده شده است، که پیش فرض است که از سری فوریه مشتق شده است، اما علامت برای تبدیلی که قرار نیست معکوس شود، مهم نیست.

تبدیل فوریه
تبدیل فوریه پیوسته سری فوریه تبدیل فوریه گسسته زمان تبدیل فوریه گسسته تبدیل فوریه گسسته بر روی یک حلقه تبدیل فوریه بر روی گروه های محدود تحلیل فوریه تبدیل های مرتبط

توابعی که در حوزه زمان بومی سازی شده اند دارای تبدیل فوریه هستند که در دامنه فرکانس پخش می شوند و بالعکس، پدیده ای که به عنوان اصل عدم قطعیت شناخته می شود . مورد بحرانی برای این اصل تابع گاوسی است که در نظریه احتمال و آمار و همچنین در مطالعه پدیده های فیزیکی که توزیع نرمال را نشان می دهند (به عنوان مثال، انتشار ) اهمیت اساسی دارد . تبدیل فوریه یک تابع گاوسی یکی دیگر از تابع های گاوسی است. جوزف فوریه این تبدیل را در مطالعه خود در مورد انتقال حرارت معرفی کرد ، جایی که توابع گاوسی به عنوان راه حل هایی ازمعادله گرما .

تبدیل فوریه را می توان به طور رسمی به عنوان یک انتگرال ریمان نامناسب تعریف کرد که آن را تبدیل به یک تبدیل انتگرال می کند ، اگرچه این تعریف برای بسیاری از کاربردهایی که نیاز به نظریه ادغام پیچیده تری دارند مناسب نیست. [توجه 1] برای مثال، بسیاری از برنامه های نسبتا ساده از تابع دلتای دیراک استفاده می کنند که می توان با آن به طور رسمی به عنوان یک تابع برخورد کرد، اما توجیه نیاز به دیدگاه ریاضی پیچیده تری دارد. [یادداشت 2]

تبدیل فوریه همچنین می تواند به توابع چندین متغیر در فضای اقلیدسی تعمیم داده شود و تابعی از «فضای موقعیت» سه بعدی را به تابعی از تکانه سه بعدی (یا تابعی از مکان و زمان به تابعی از تکانه 4) ارسال کند. ). این ایده باعث می‌شود که تبدیل فوریه فضایی در مطالعه امواج و همچنین در مکانیک کوانتومی بسیار طبیعی باشد، جایی که مهم است بتوان راه‌حل‌های موج را به عنوان توابع موقعیت یا تکانه و گاهی اوقات هر دو نشان داد. به طور کلی، توابعی که روش های فوریه برای آنها قابل استفاده است، دارای مقادیر مختلط و احتمالاً بردار هستند . [یادداشت 3] هنوز تعمیم بیشتر به توابع در گروه ها امکان پذیر است، که علاوه بر تبدیل فوریه اصلی روی R یا R n (به عنوان گروه های تحت اضافه مشاهده می شود)، به ویژه شامل تبدیل فوریه گسسته زمان (DTFT، گروه = Z )، تبدیل فوریه گسسته (DFT، گروه = Z mod N ) است. و سری فوریه یا تبدیل فوریه دایره ای (گروه = S 1 ، دایره واحد ≈ بازه محدود بسته با نقاط پایانی مشخص شده). دومی به طور معمول برای رسیدگی به توابع دوره ای استفاده می شود . تبدیل فوریه سریع (FFT) الگوریتمی برای محاسبه DFT است .

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

چندین قرارداد رایج برای تعریف تبدیل فوریه یک تابع انتگرال پذیر وجود دارد $f:\mathbb {R} \to \mathbb {C}$ . [1] [2] یکی از آنها این است:

انتگرال تبدیل فوریه

${\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \ forall \ \xi \in \mathbb {R} .$

( معادل 1 )

تبدیل تابع $f(x)$ در فرکانس $\xi$ با عدد مختلط داده می شود ${\hat {f}}(\xi )$ . ارزیابی معادله 1 برای همه مقادیر $\xi$ تابع دامنه فرکانس را تولید می کند . تبدیل فوریه در اینجا با افزودن یک حاشیه به نماد تابع نشان داده می شود. زمانی که متغیر مستقل زمان را نشان می دهد (اغلب با نشان داده می شود $تی$ بجای $ایکس$ ، متغیر تبدیل نشان دهنده فرکانس است (اغلب با نشان داده می شود $f$ بجای $\xi$ ). به عنوان مثال اگر زمان بر حسب ثانیه اندازه گیری شود ، فرکانس بر حسب هرتز است.

برای ارزش واقعی $f(x)$ معادله 1 دارای خاصیت تقارن است ${\hat {f}}(-\xi )={\hat {f}}^{*}(\xi ).$ بنابراین می توان آن را به موارد زیر کاهش داد:

${\hat {f}}(\xi )=\left\{{\begin{aligned}&\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-i2\ pi \xi x}\,dx,\ &\xi \geq 0\\&{\hat {f}}^{*}(|\xi |)&\xi <0,\\\end{تراز شده}} \درست.$

به این معنی که مقادیر منفی فرکانس ، $\xi ,$ در این زمینه غیر ضروری هستند.

تحت شرایط مناسب $f$ را می توان به عنوان ترکیبی از نمایی های پیچیده تمام فرکانس های ممکن نشان داد:

انتگرال وارونگی فوریه

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )\ e^{i2\pi \xi x}\,d\xi ,\ quad \forall \ x\in \mathbb {R} ,$

( معادل 2 )

که برای ارزش واقعی $f(x)$ کاهش می دهد به:

${\begin{aligned}f(x)&=2\int _{0}^{\infty }\operatorname {Re} \left({\hat {f}}(\xi )\cdot e^ {i2\pi \xi x}\right)d\xi \\&=2\int _{0}^{\infty }\left(\operatorname {Re} ({\hat {f}}(\xi ) )\cdot \cos(2\pi \xi x)-\operatorname {Im} ({\hat {f}}(\xi ))\cdot \sin(2\pi \xi x)\right)d\xi .\end{تراز شده}}$

عدد مختلط، ${\hat {f}}(\xi )$ ، هم دامنه و هم فاز فرکانس را منتقل می کند $\xi$ . معادله 2 به عنوان قضیه وارونگی فوریه شناخته می شود ، و اولین بار در نظریه تحلیلی گرما فوریه معرفی شد ، [3] [4] اگرچه تا مدت ها بعد اثباتی با استانداردهای مدرن ارائه نشد. [5] [6] توابع $f$ و ${\ کلاه {f}}$ اغلب به عنوان جفت انتگرال فوریه یا جفت تبدیل فوریه نامیده می شود . [7] یک نماد متداول برای تعیین جفت تبدیل این است: [8]

$f(x)\ {\stackrel {\mathcal {F}}{\longleftrightarrow }}\ {\hat {f}}(\xi )$ .

برای سایر قراردادها و نمادهای رایج، از جمله استفاده از فرکانس زاویه ای ω به جای فرکانس معمولی ξ ، سایر قراردادها و نمادهای دیگر را در زیر ببینید. تبدیل فوریه در فضای اقلیدسی به طور جداگانه بررسی می شود، که در آن متغیر x اغلب موقعیت و تکانه ξ را نشان می دهد. قراردادهای انتخاب شده در این مقاله آنالیز هارمونیک هستند و به عنوان قراردادهای منحصر به فرد مشخص می شوند به طوری که تبدیل فوریه هم در L 2 واحد است و هم یک هم شکل جبر از L 1 است.به L ∞ ، بدون عادی سازی مجدد معیار Lebesgue. [9]

بسیاری از خصوصیات دیگر تبدیل فوریه وجود دارد. برای مثال، یکی از قضیه استون-فون نویمان استفاده می‌کند: تبدیل فوریه درهم تنیده واحد منحصربه‌فرد برای بازنمایی‌های شرودینگر اقلیدسی گروه هایزنبرگ است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی