ریاضیات

5.2
منحصر به فرد بودن راه حل های معادله پواسون

در این بخش نشان خواهیم داد که توزیع پتانسیل مطابق با معادله پواسون در یک حجم V به طور کامل مشخص می شود اگر پتانسیل روی سطوح محدود کننده آن حجم مشخص شود. چنین قضیه منحصربه‌فردی به دو دلیل مفید است: (الف) به ما می‌گوید که اگر چنین راه‌حلی برای معادله پواسون پیدا کرده‌ایم، چه با تحلیل ریاضی یا بینش فیزیکی، تنها راه‌حل را یافته‌ایم. و (ب) به ما می گوید که چه شرایط مرزی برای مشخص کردن یک راه حل مناسب است. اگر باری در حجم مورد نظر وجود نداشته باشد، آنگاه قضیه منحصر به فرد بودن راه حل های معادله لاپلاس را بیان می کند.

با پیروی از روش "reductio ad absurdum"، فرض می کنیم که راه حل منحصر به فرد نیست - دو راه حل a و b وجود دارند که شرایط مرزی یکسانی را برآورده می کنند - و سپس نشان می دهیم که این غیرممکن است. راه حل های احتمالاً متفاوت a و b باید معادله پواسون را با توزیع بار یکسان و باید شرایط مرزی یکسانی را برآورده کنند.

نتیجه می شود که با

d

که به عنوان تفاوت در دو پتانسیل تعریف می شود،

d = a - b ،

اکنون یک استدلال ساده نشان می‌دهد که تنها راهی که d می‌تواند هم معادله لاپلاس را برآورده کند و هم در تمام سطوح مرزی صفر باشد، صفر بودن آن است. اول، استدلال می شود که d نمی تواند در هیچ نقطه ای از V دارای حداکثر یا حداقل باشد . با کمک شکل 5.2.1، منفی گرادیان d را تجسم کنید ، یک خط میدان که از نقطه ای r o می گذرد . از آنجا که میدان سلونوئیدی است (بدون واگرایی)، چنین خط میدانی نمی تواند در V شروع یا متوقف شود (بخش 2.7). علاوه بر این، فیلد یک پتانسیل را تعریف می کند (4.1.4). از این رو، همانطور که در امتداد خط میدان در جهت گرادیان منفی پیش می رود، پتانسیل باید کاهش یابد تا زمانی که خط میدان به یکی از سطوح S i محدود کننده V برسد . به طور مشابه، در جهت مخالف، پتانسیل باید افزایش یابد تا به یکی از سطوح دیگر برسد. بر این اساس، تمام مقادیر حداکثر و حداقل d ( r ) باید روی سطوح قرار گیرند.

شکل 5.2.1 خط میدانی که از یک قسمت از سطح مرزی منشا گرفته و پس از عبور از نقطه r o به دیگری ختم می شود.

پتانسیل اختلاف در هر نقطه داخلی نمی تواند مقداری بزرگتر یا کوچکتر از بزرگترین یا کوچکترین مقدار پتانسیل روی سطوح را در نظر بگیرد. اما سطوح خود در پتانسیل صفر هستند. نتیجه این است که پتانسیل اختلاف در همه جای V صفر است و a = b . بنابراین، تنها یک راه حل برای مسئله مقدار مرزی بیان شده با (1) وجود دارد.