ریاضیات

مثال ۸: انتگرال خطی سه‌بعدی روی مسیر مارپیچ

میدان برداری:

F(x,y,z) = (y , z , x)

مسیر: مارپیچ دایره‌ای با پارامتری‌سازی

r(t) = (cos t , sin t , t), 0 ≤ t ≤ 2π.

1. مشتق مسیر:

   dr = (−sin t , cos t , 1) dt

2. میدان روی مسیر:

   F(r(t)) = (sin t , t , cos t)

3. ضرب نقطه‌ای:

   F · dr = (sin t , t , cos t) · (−sin t , cos t , 1) = −sin²t + t cos t + cos t

4. انتگرال‌گیری:

   ∫₀^{2π} (−sin²t + t cos t + cos t) dt

   جزء اول: ∫₀^{2π} −sin²t dt = −π

   جزء دوم: ∫₀^{2π} t cos t dt = 0

   جزء سوم: ∫₀^{2π} cos t dt = 0

   در نتیجه: ∫ F·dr = −π

نتیجه: مقدار انتگرال خطی سه‌بعدی روی مسیر مارپیچ برابر با

−π است.