ریاضیات

---

### 🔥 قانون فاراده (برداری و چند مرحله‌ای)

```html

🔥 قانون فاراده برداری 🔥

∮C E⃗ · dl⃗ = - dΦB / dt

گام ۱: تعریف سیستم

یک حلقه رسانا با شعاع R داریم که درون میدان مغناطیسی یکنواخت قرار گرفته است.

میدان مغناطیسی در راستای z با زمان تغییر می‌کند:

B⃗(t) = B₀ t · k̂.

گام ۲: شار مغناطیسی برداری

بردار سطح حلقه:

dA⃗ = k̂ · (R² sinθ dθ dφ)

شار کل:

ΦB(t) = ∬ B⃗ · dA⃗ = B₀ t · (π R²)

گام ۳: مشتق زمانی شار

طبق قانون فاراده:

ε = - dΦB/dt = - B₀ · π R²

گام ۴: میدان الکتریکی القایی برداری

میدان القایی مماسی بر مسیر دایره‌ای است.

با تقارن داریم:

∮C E⃗ · dl⃗ = E · (2πR) = ε

⇒ E⃗ = - (B₀ R / 2) · φ̂

گام ۵: نتیجه و کاربرد

میدان الکتریکی القایی حلقه‌وار است و جهت آن طبق اصل لنز مخالف افزایش شار مغناطیسی خواهد بود.

این قانون اساس کار ژنراتورها و ترانسفورماتورهاست.

جمع‌بندی متال

• برداری: ∮ E⃗ · dl⃗ = - dΦB/dt
• شار: ΦB = B(t) · A
• میدان القایی: E⃗ = -(B₀R/2) φ̂
• کاربرد: اساس القای الکترومغناطیسی در مدارهای AC.

```

---