ریاضیات

مثال ۵: انتگرال خطی روی مسیر مثلثی

میدان برداری:

F(x,y) = (x+y , x−y)

مسیر مثلثی: از

A(0,0)

به

B(1,0)

سپس به

C(1,1)

و در نهایت بازگشت به

A(0,0).

مسیر AB:

r(t) = (t,0), 0 ≤ t ≤ 1

میدان:

F(t,0) = (t , t)

ضرب نقطه‌ای:

F·dr = t dt

انتگرال:

∫₀¹ t dt = 1/2

مسیر BC:

r(t) = (1,t), 0 ≤ t ≤ 1

میدان:

F(1,t) = (1+t , 1−t)

ضرب نقطه‌ای:

(1−t) dt

انتگرال:

∫₀¹ (1−t) dt = 1/2

1. مسیر CA:

   r(t) = (1−t , 1−t), 0 ≤ t ≤ 1

   میدان: F(1−t , 1−t) = (2−2t , 0)

   ضرب نقطه‌ای:

2. −(2−2t) dt

   انتگرال:

3. ∫₀¹ (−2+2t) dt = −1

جمع کل:

1/2 + 1/2 − 1 = 0

نتیجه: مقدار انتگرال خطی روی مسیر مثلثی برابر با

0 است.