5-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:20

رابطه کامل بودن [ ویرایش ]

فرمول کریستوفل -داربوکس برای چندجمله‌ای هرمیت می‌خواند

$\sum _{k=0}^{n}{\frac {H_{k}(x)H_{k}(y)}{k!2^{k}}}={\frac {1 }{n!2^{n+1}}}\,{\frac {H_{n}(y)H_{n+1}(x)-H_{n}(x)H_{n+1}( y)}{xy}}.$

علاوه بر این، هویت کامل زیر برای توابع Hermite فوق در معنای توزیع وجود دارد :

$\sum _{n=0}^{\infty }\psi _{n}(x)\psi _{n}(y)=\delta (xy)$

که در آن δ تابع دلتای دیراک است ، ψn توابع هرمیت، و δ ( x - y ) نشان‌دهنده اندازه لبگ در خط y = x در R2 است ، به طوری که پیش‌بینی آن روی محور افقی، اندازه‌گیری معمول لبگ است .

این هویت توزیعی از وینر (1958) پیروی می کند و با گرفتن u → 1 در فرمول مهلر ، زمانی معتبر است که -1 < u <1 :

$E(x,y;u):=\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\,\psi _{n}(x)\,\psi _{n} (y)={\frac {1}{\sqrt {\pi (1-u^{2})}}}\,\exp \left(-{\frac {1-u}{1+u}} \,{\frac {(x+y)^{2}}{4}}-{\frac {1+u}{1-u}}\,{\frac {(xy)^{2}}{ 4}}\راست)،$

که اغلب به صورت معادل به عنوان یک هسته قابل تفکیک بیان می شود، [17] [18]

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {H_{n}(x)H_{n}(y)}{n!}}\left({\frac {u}{ 2}}\right)^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-u^{2}}}}e^{{\frac {2u}{1+u}}xy-{\ frac {u^{2}}{1-u^{2}}}(xy)^{2}}.$

تابع ( x , y ) → E ( x , y , u ) چگالی احتمال گاوسی دو متغیره روی R 2 است که وقتی u نزدیک به 1 است، در اطراف خط y = x بسیار متمرکز است و در آن بسیار گسترده است. آن خط نتیجه می شود که

$\sum _{n=0}^{\infty }u^{n}\langle f,\psi _{n}\rangle \langle \psi _{n},g\rangle =\iint E( x,y;u)f(x){\overline {g(y)}}\,dx\,dy\to \int f(x){\overline {g(x)}}\,dx=\langle f,g\rangle$

هنگامی که f و g پیوسته و فشرده هستند.

این نتیجه می دهد که f را می توان در توابع هرمیت به عنوان مجموع یک سری از بردارها در L 2 ( R ) بیان کرد ، یعنی:

$f=\sum _{n=0}^{\infty }\langle f,\psi _{n}\rangle \psi _{n}.$

برای اثبات تساوی فوق برای E ( x , y ; u ) ، تبدیل فوریه توابع گاوسی به طور مکرر استفاده می شود:

$\rho {\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {\rho ^{2}x^{2}}{4}}}=\int e^{isx-{\frac { s^{2}}{\rho ^{2}}}}\,ds\quad {\text{for }}\rho >0.$

سپس چند جمله ای هرمیت به صورت نمایش داده می شود

$H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left({ \frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int e^{isx-{\frac {s^{2}}{4}}}\,ds\right)=(-1) ^{n}e^{x^{2}}{\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int (is)^{n}e^{isx-{\frac {s ^{2}}{4}}}\,ds.$

با این نمایش برای H n ( x ) و H n ( y ) ، بدیهی است که

${\begin{aligned}E(x,y;u)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{2^{n}n! {\sqrt {\pi }}}}\,H_{n}(x)H_{n}(y)e^{-{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}} }\\&={\frac {e^{\frac {x^{2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint \left (\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n!}}(-ust)^{n}\right)e^{isx+ity-{\ frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt\\&={\frac {e^{\frac {x^ {2}+y^{2}}{2}}}{4\pi {\sqrt {\pi }}}}\iint e^{-{\frac {ust}{2}}}\,e^ {isx+ity-{\frac {s^{2}}{4}}-{\frac {t^{2}}{4}}}\,ds\,dt,\end{تراز شده}}$

و این وضوح مطلوب نتیجه هویت را با استفاده مجدد از تبدیل فوریه هسته‌های گاوسی تحت جایگزینی به دست می‌دهد.

$s={\frac {\sigma +\tau }{\sqrt {2}}},\quad t={\frac {\sigma -\tau }{\sqrt {2}}}.$

همچنین ببینید [ ویرایش ]

یادداشت ها [ ویرایش ]

^ لاپلاس (1811). "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultsats des observations" [ یادداشت در مورد انتگرال های معین و کاربرد آنها در احتمالات، و به ویژه در جستجوی من باید از میان نتایج مشاهدات انتخاب شود]. Memoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France (به فرانسوی). 11 : 297-347.
^ لاپلاس، P.-S. (1812)، Théorie analytique des probabilités [ نظریه احتمال تحلیلی ]، جلد. 2، صص 194-203جمع آوری شده در Œuvres complètes VII .
↑ Tchébychef، P. (1860). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [در مورد توسعه توابع تک متغیری]. Bulletin de l'Académie Impériale des Sciences de St.-Pétersbourg (به فرانسوی). 1 : 193-200.گردآوری شده در Œuvres I ، 501–508.
^ هرمیت، سی (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [در مورد توسعه جدید در سری عملکرد]. CR Acad. علمی پاریس (به فرانسوی). 58 : 93-100.گردآوری شده در Œuvres II ، 293-303.
↑ Tom H. Koornwinder، Roderick SC Wong، و Roelof Koekoek و همکاران. ( 2010 ) و آبراموویتز و استگان .
↑ «18. چند جمله‌ای متعامد، چندجمله‌ای متعامد کلاسیک، مجموع» . کتابخانه دیجیتال توابع ریاضی . موسسه ی ملی استانداردها و تکنولوژی . بازبینی شده در 30 ژانویه 2015 .
↑ آبراموویتز و استگان 1983 ، ص. 508–510، 13.6.38 و 13.5.16 .
↑ Szegő 1955 ، ص. 201
↑ رومن، استیون (1984)، محاسبات آمبرال ، ریاضیات محض و کاربردی، جلد. 111 (چاپ اول)، انتشارات دانشگاهی، صص 87–93، شابک 978-0-12-594380-2

https://en.wikipedia.org/wiki/Hermite_polynomials#References

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

5-چند جمله ای هرمیت

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین