2-چند جمله ای هرمیت

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و هشتم آبان ۱۴۰۲ | 3:16

متعامد بودن [ ویرایش ]

H n ( x ) و He n ( x ) n چند جمله ای درجه ام برای n = 0, 1, 2, 3,... هستند. این با توجه به تابع وزن متعامد هستند ( اندازه گیری )

$w(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\quad ({\text{for }}{\mathit {He}})$

یا

$w(x)=e^{-x^{2}}\quad ({\text{برای }}H)،$

یعنی داریم

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,w(x)\,dx=0\quad {\text{برای همه } }m\neq n.$

علاوه بر این،

$\int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt { \pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{- {\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},$

جایی که $\delta _{nm}$ دلتای کرونکر است .

بنابراین چند جمله ای های احتمالی با توجه به تابع چگالی احتمال عادی متعامد هستند.

کامل بودن [ ویرایش ]

چند جمله‌ای هرمیت (احتمال‌شناس یا فیزیکدان) مبنایی متعامد از فضای هیلبرت از توابع رضایت‌بخش را تشکیل می‌دهند.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,$

که در آن حاصلضرب داخلی توسط انتگرال داده می شود

$\langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx$

از جمله تابع وزن گاوسی w ( x ) تعریف شده در بخش قبل

یک پایه متعامد برای L 2 ( R , w ( x ) dx ) یک سیستم کامل متعامد است . برای یک سیستم متعامد، کامل بودن معادل این واقعیت است که تابع 0 تنها تابع f ∈ L 2 ( R , w ( x ) dx ) متعامد به همه توابع در سیستم است.

از آنجایی که گستره خطی چندجمله ای های هرمیت فضای همه چندجمله ای ها است، باید نشان داد (در مورد فیزیکدان) که اگر f برآورده شود

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0$

برای هر n ≥ 0 ، سپس f = 0 .

یکی از راه‌های ممکن برای انجام این کار، قدردانی از کل عملکرد است

$F(z)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{zx-x^{2}}\,dx=\sum _{n=0}^{ \infty }{\frac {z^{n}}{n!}}\int f(x)x^{n}e^{-x^{2}}\,dx=0$

یکسان ناپدید می شود این واقعیت که F ( it ) = 0 برای هر t واقعی است به این معنی است که تبدیل فوریه f ( x ) e − x 2 0 است، بنابراین f تقریبا در همه جا 0 است. انواع اثبات کامل بودن فوق در مورد وزن های دیگر با فروپاشی نمایی اعمال می شود.

در مورد هرمیت، اثبات اتحاد صریح که دلالت بر کامل بودن دارد نیز ممکن است (به بخش مربوط به رابطه کامل بودن در زیر مراجعه کنید).

یک فرمول معادل این واقعیت که چندجمله‌ای هرمیت یک مبنای متعامد برای L 2 هستند ( R , w ( x ) dx ) شامل معرفی توابع هرمیت است (به زیر مراجعه کنید) و گفتن اینکه توابع هرمیت یک مبنای متعامد برای L 2 هستند ( ر ) .

معادله دیفرانسیل هرمیت [ ویرایش ]

چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا راه حل های معادله دیفرانسیل هستند

$\left(e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}u'\right)'+\lambda e^{-{\frac {1}{2}}x ^{2}}u=0،$

جایی که λ یک ثابت است. با تحمیل شرط مرزی که u باید به صورت چندجمله‌ای در بی‌نهایت محدود شود، معادله تنها در صورتی راه‌حل دارد که λ یک عدد صحیح غیرمنفی باشد، و راه‌حل به‌طور یکتا با $u(x)=C_{1}He_{\lambda }(x)$ ، جایی که $ج_{1}}$ یک ثابت را نشان می دهد.

بازنویسی معادله دیفرانسیل به عنوان یک مسئله ارزش ویژه

$L[u]=u''-xu'=-\lambda u,$

چند جمله ای های هرمیت $He_{\lambda }(x)$ ممکن است به عنوان توابع ویژه عملگر دیفرانسیل درک شود $L[u]$ . این مسئله ارزش ویژه معادله هرمیت نامیده می شود ، اگرچه این اصطلاح برای معادله نزدیک به هم استفاده می شود.

$u''-2xu'=-2\lambda u.$

که راه حل آن به طور منحصر به فرد بر حسب چندجمله ای های هرمیت فیزیکدان در شکل داده شده استتو(ایکس)= $u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)$ ، جایی که $ج_{1}}$ پس از تحمیل شرط مرزی که u باید به صورت چند جمله ای در بی نهایت محدود شود، یک ثابت را نشان می دهد.

راه‌حل‌های کلی معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم بالا در واقع ترکیب‌های خطی هر دو چند جمله‌ای هرمیت و توابع ابرهندسی متقابل نوع اول هستند. به عنوان مثال، برای معادله هرمیت فیزیکدان

$u''-2xu'+2\lambda u=0,$

راه حل کلی شکل می گیرد

$u(x)=C_{1}H_{\lambda }(x)+C_{2}h_{\lambda }(x)،$

جایی که $ج_{1}}$ و $ج_{{2}}$ ثابت هستند، $H_{\lambda }(x)$ چند جمله ای های هرمیت فیزیکدان (از نوع اول) هستند و $h_{\lambda }(x)$ توابع هرمیت فیزیکدان (از نوع دوم) هستند. توابع دوم به طور فشرده به عنوان نشان داده می شوند $h_{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-{\tfrac {\lambda }{2}};{\tfrac {1}{2}};x^{ 2})$ جایی که ${}_{1}F_{1}(a;b;z)$ توابع ابر هندسی همرو از نوع اول هستند . چند جمله‌ای‌های مرسوم هرمیت را می‌توان بر حسب توابع ابرهندسی متقابل بیان کرد، در زیر ببینید.

با شرایط مرزی کلی تر ، چندجمله ای های هرمیت را می توان تعمیم داد تا توابع تحلیلی کلی تری برای λ با مقدار مختلط به دست آورد . یک فرمول صریح از چند جمله ای های هرمیت بر حسب انتگرال های کانتور ( Courant & Hilbert 1989 ) نیز امکان پذیر است.

رابطه بازگشتی [ ویرایش ]

دنباله چند جمله ای های هرمیت احتمال گرا نیز رابطه بازگشتی را برآورده می کند.

${\displaystyle {\mathit {He}}_{n+1}(x)=x{\mathit {He}}_{n}(x)-{\mathit {He}}_{n}'(x )$

ضرایب فردی با فرمول بازگشتی زیر مرتبط می شوند:

$a_{n+1,k}={\begin{cases}-(k+1)a_{n,k+1}&k=0,\\a_{n,k-1}-(k+ 1)a_{n,k+1}&k>0,\end{موارد}}$

و 0,0 = 1 , a 1,0 = 0 , a 1,1 = 1 .

برای چند جمله ای های فیزیکدان، با فرض

$H_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}x^{k}،$

ما داریم

$H_{n+1}(x)=2xH_{n}(x)-H_{n}'(x).$

ضرایب فردی با فرمول بازگشتی زیر مرتبط می شوند:

$a_{n+1,k}={\begin{cases}-a_{n,k+1}&k=0,\\2a_{n,k-1}-(k+1)a_{n ,k+1}&k>0,\end{موارد}}$

و 0,0 = 1 , a 1,0 = 0 , a 1,1 = 2 .

چند جمله ای های هرمیت یک دنباله اپل را تشکیل می دهند ، به عنوان مثال، آنها یک دنباله چند جمله ای هستند که اتحاد را برآورده می کنند.

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}'(x)&=n{\mathit {He}}_{n-1}(x)،\\H_{n} '(x)&=2nH_{n-1}(x).\end{تراز شده}}$

به طور معادل، توسط Taylor-Expanding ،

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x ^{nk}{\mathit {He}}_{k}(y)&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\mathit {He}}_{nk}\left(x{\sqrt {2}}\right){\mathit {He}}_{k}\left(y{\sqrt {2}}\right)،\\H_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}H_{k}(x) (2y)^{(nk)}&&=2^{-{\frac {n}{2}}}\cdot \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}} H_{nk}\left(x{\sqrt {2}}\right)H_{k}\left(y{\sqrt {2}}\sqrt).\end{تراز شده}}$

این اتحاد های آمبرال بدیهی هستند و در نمایش عملگر دیفرانسیل که در زیر توضیح داده شده است، گنجانده شده اند .

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}(x)&=e^{-{\frac {D^{2}}{2}}}x^{n}، \\H_{n}(x)&=2^{n}e^{-{\frac {D^{2}}{4}}}x^{n}.\end{تراز شده}}$

در نتیجه، برای مشتقات m روابط زیر برقرار است:

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n}^{(m)}(x)&={\frac {n!}{(nm)!}}{\mathit {He }}_{nm}(x)&&=m!{\binom {n}{m}}{\mathit {He}}_{nm}(x)،\\H_{n}^{(m)} (x)&=2^{m}{\frac {n!}{(nm)!}}H_{nm}(x)&&=2^{m}m!{\binom {n}{m}} H_{nm}(x).\end{تراز شده}}$

نتیجه می شود که چند جمله ای های هرمیت نیز رابطه بازگشتی را برآورده می کنند

${\begin{aligned}{\mathit {He}}_{n+1}(x)&=x{\mathit {He}}_{n}(x)-n{\mathit {He} }_{n-1}(x)،\\H_{n+1}(x)&=2xH_{n}(x)-2nH_{n-1}(x).\end{تراز شده}}$

این روابط آخر، همراه با چند جمله ای های اولیه H 0 ( x ) و H 1 ( x ) را می توان در عمل برای محاسبه سریع چند جمله ای ها استفاده کرد.

نابرابری های توران هستند

${\mathit {H}}_{n}(x)^{2}-{\mathit {H}}_{n-1}(x){\mathit {H}}_{n+1 }(x)=(n-1)!\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {2^{ni}}{i!}}{\mathit {H}}_{i }(x)^{2}>0.$

علاوه بر این، قضیه ضرب زیر نیز صادق است:

${\begin{aligned}H_{n}(\gamma x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor }\ گاما ^{n-2i}(\گاما ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}}H_{n-2i }(x)،\\{\mathit {He}}_{n}(\گاما x)&=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\ right\rfloor }\gamma ^{n-2i}(\gamma ^{2}-1)^{i}{\binom {n}{2i}}{\frac {(2i)!}{i!}} 2^{-i}{\mathit {He}}_{n-2i}(x).\end{تراز شده}}$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی