5-معادله دیراک

تقارن محوری [ ویرایش ]

فرمیونهای دیراک بدون جرم ، یعنی $\psi (x)$ ارضای معادله دیراک با $m=0$ ، اعتراف به دوم، نامتعادل ${\text{U}}(1)$ تقارن

این امر با نوشتن فرمیون چهار جزئی دیراک به راحتی قابل مشاهده است $\psi (x)$ به عنوان یک جفت میدان برداری دو جزئی،

$\psi (x)={\begin{pmatrix}\psi _{1}(x)\\\psi _{2}(x)\end{pmatrix}}،$ و اتخاذ نمایش کایرال برای ماتریس های گاما، به طوری که $i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }$ ممکن است نوشته شود

$i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\\i{\bar {\sigma } }^{\mu }\جزئی _{\mu }\ &0\end{pmatrix}}$ جایی که $\sigma ^{\mu }$ دارای اجزاء $(I_{2}،\sigma ^{i})$ و ${\bar {\sigma }}^{\mu }$ دارای اجزاء $(I_{2},-\sigma ^{i})$ .

سپس اکشن دیراک شکل می گیرد

$S=\int d^{4}x\,\psi _{1}^{\dagger }(i\sigma ^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{1}+ \psi _{2}^{\ خنجر }(i{\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu })\psi _{2}.$ یعنی به نظریه دو اسپینور ویل یا فرمیون ویل جدا می شود.

تقارن برداری قبلی هنوز وجود دارد، جایی که $\psi _{1}$ و2 $\psi _{2}$ به طور یکسان بچرخد این شکل از عمل، دوم را بی‌معادل می‌کند ${\text{U}}(1)$ آشکار تقارن:

${\begin{aligned}\psi _{1}(x)&\mapsto e^{i\beta }\psi _{1}(x)،\\\psi _{2}(x)& \mapsto e^{-i\beta }\psi _{2}(x).\end{تراز شده}}$ این را می توان در سطح فرمیون دیراک نیز بیان کرد

$\psi (x)\mapsto \exp(i\beta \gamma ^{5})\psi (x)$

جایی که $\ Exp$ نقشه نمایی برای ماتریس ها است.

این تنها نیست ${\text{U}}(1)$ تقارن ممکن است، اما متعارف است. هر "ترکیب خطی" تقارن بردار و محوری نیز a است ${\text{U}}(1)$ تقارن

به طور کلاسیک، تقارن محوری یک نظریه گیج به خوبی فرمول بندی شده را می پذیرد. اما در سطح کوانتومی، یک ناهنجاری وجود دارد ، یعنی مانعی برای سنجش.

بسط تقارن رنگ [ ویرایش ]

همچنین ببینید: کرومودینامیک کوانتومی

ما می توانیم این بحث را از یک آبلی بسط دهیم ${\text{U}}(1)$ تقارن به یک تقارن غیر آبلی عمومی تحت یک گروه سنج جی $جی$ ، گروه تقارن رنگ برای یک نظریه.

برای بتن ریزی، رفع می کنیم $G={\text{SU}}(N)$ ، گروه واحد ویژه ای از ماتریس ها عمل می کنند ${\mathbb {C}}^{N}$ .

قبل از این بخش، $\psi (x)$ می تواند به عنوان یک میدان اسپینور در فضای مینکوفسکی، به عبارت دیگر یک تابع در نظر گرفته شود: $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\mapsto \mathbb {C} ^{4}$ ، و اجزای آن در $\mathbb {C} ^{4}$ با شاخص‌های اسپین برچسب‌گذاری می‌شوند، شاخص‌های مرسوم یونانی که از ابتدای الفبا گرفته شده‌اند.،،⋯ $\alpha,\beta,\gamma,\cdots$ .

ترویج این نظریه به نظریه گیج، به صورت غیررسمی $\psi$ تبدیل بخشی مانند ${\mathbb {C}}^{N}$ و اینها با شاخص های رنگی، که معمولاً شاخص های لاتین هستند، برچسب گذاری می شوند $i,j,k,\cdots$ . در مجموع، $\psi (x)$ دارد $4N$ مولفه ها، در شاخص های ارائه شده توسط، $\psi ^{i,\alpha }(x)$ . اسپینور فقط چگونگی تبدیل میدان را تحت تبدیل فضازمان نشان می دهد.

به طور رسمی، $\psi (x)$ در یک ضرب تانسور ارزش گذاری می شود، یعنی یک تابع است: $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes \mathbb {C} ^{N}.$

سنجش مشابه آبلیان انجام می شود ${\text{U}}(1)$ مورد، با چند تفاوت تحت یک تغییر سنج $U:\mathbb {R} ^{1,3}\right arrow {\text{SU}}(N)$ میدانهای اسپینور به صورت تبدیل می شوند

$\psi (x)\mapsto U(x)\psi (x)$

${\bar {\psi }}(x)\mapsto {\bar {\psi }}(x)U^{\dagger }(x).$ میدان گیج با ارزش ماتریس $A_{\mu }$ یا ${\text{SU}}(N)$ اتصال به عنوان تبدیل می شود

$A_{\mu }(x)\mapsto U(x)A_{\mu }(x)U(x)^{-1}+{\frac {1}{g}}(\partial _{ \mu }U(x))U(x)^{-1}،$

و مشتقات کوواریانت تعریف شده

$D_{\mu }\psi =\جزئی _{\mu }\psi +igA_{\mu }\psi ,$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}=\partial _{\mu }{\bar {\psi }}-ig{\bar {\psi }}A_{\mu }^{\ خنجر }$ تبدیل به عنوان

$D_{\mu }\psi (x)\mapsto U(x)D_{\mu }\psi (x)$

$D_{\mu }{\bar {\psi }}(x)\mapsto (D_{\mu }{\bar {\psi }}(x))U(x)^{\dagger }.$

نوشتن یک کنش ناتغییر سنج دقیقاً مانند آن پیش می رود ${\text{U}}(1)$ مورد، جایگزینی ماکسول لاگرانژی با لاگرانژی یانگ میلز

$S_{\text{YM}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_ {\mu \nu })$

که در اینجا قدرت یا انحنای میدان یانگ -میلز به صورت تعریف شده است

$F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }-ig\left[A_{\mu },A_{\ nu }\راست]$ و $[\cdot،\cdot]$ جابجاگر ماتریسی است.

عمل پس از آن است

عمل QCD

$S_{\text{QCD}}=\int d^{4}x\,-{\frac {1}{4}}{\text{Tr}}(F^{\mu \nu }F_ {\mu \nu })+{\bar {\psi }}\,(iD\!\!\!\!{\big /}-m)\,\psi$

کاربردهای فیزیکی [ ویرایش ]

برای کاربردهای فیزیکی، مورد $N=3$ بخش کوارکی مدل استاندارد را توصیف می کند که برهمکنش های قوی را مدل می کند . کوارک ها به عنوان اسپینور دیراک مدل می شوند. میدان گیج میدان گلوئون است . مورد $N=2$ بخشی از بخش الکتروضعیف مدل استاندارد را توصیف می کند. لپتون‌ها مانند الکترون‌ها و نوترینوها اسپینورهای دیراک هستند. میدان سنج است $دبلیو$ بوزون گیج

کلیات [ ویرایش ]

این عبارت را می توان به گروه لی دلخواه تعمیم داد $جی$ با اتصال $A_{\mu }$ و یک نمایندگی $(\rho,G,V)$ ، جایی که قسمت رنگ از $\psi$ در ارزش گذاری شده است $V$ . به طور رسمی، میدان دیراک یک تابع است:⊗. $\psi :\mathbb {R} ^{1,3}\to \mathbb {C} ^{4}\otimes V.$

سپس $\psi$ تحت یک تبدیل سنج تبدیل می شود: $g:\mathbb {R} ^{1,3}\to G$ مانند

$\psi (x)\mapsto \rho (g(x))\psi (x)$ و مشتق کوواریانت تعریف شده است

$D_{\mu }\psi =\جزئی _{\mu }\psi +\rho (A_{\mu })\psi$ که در اینجا ما مشاهده می کنیم $\rho$ به عنوان یک نمایش جبر لی از جبر لی ${\mathfrak {g}}={\text{L}}(G)$ مرتبط به $جی$ .

این نظریه را می توان به فضا-زمان منحنی تعمیم داد، اما نکات ظریفی وجود دارد که در نظریه گیج در یک فضازمان کلی (یا به طور کلی ثابت تر، یک منیفولد) بوجود می آید که در فضای زمان مسطح، می توان نادیده گرفت. این در نهایت به دلیل انقباض پذیری فضازمان مسطح است که به ما امکان می دهد یک میدان سنج و تبدیلات سنج را همانطور که در سطح جهانی در تعریف شده است مشاهده کنیم. $\mathbb {R} ^{1،3}$ .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

مقالات معادله دیراک [ ویرایش ]

میدان دیراک
دیراک اسپینور
تجزیه گوردون
پارادوکس کلاین
معادله غیر خطی دیراک

معادلات دیگر [ ویرایش ]

معادله بریت
معادله دیراک – کاهلر
معادله کلاین-گوردون
معادله راریتا – شوینگر
معادلات دیراک دو جسمی
معادله ویل
معادله مایورانا

سایر موضوعات [ ویرایش ]

میدان فرمیونی
شطرنجی فاینمن
تبدیل Foldy-Wouthuysen
الکترودینامیک کوانتومی
کرومودینامیک کوانتومی

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_equation

+ نوشته شده در یکشنبه چهاردهم آبان ۱۴۰۲ ساعت 17:11 توسط علی رضا نقش نیلچی |

ریاضیات

آموزش ریاضی